2.10 Freier Fall

Ein freier Fall (engl. free fall) ist die Bewegung eines zunächst ruhenden Körpers, der nur durch die Schwerkraft beeinflusst wird.

2.10.1 Fallbeschleunigung

Schon Galileo Galilei hat mit seinen Fallversuchen (siehe Anhang) gezeigt: Spielt der Luftwiderstand keine Rolle (zum Beispiel in einer evakuierten Röhre), bewegen sich alle Massen mit derselben konstanten Beschleunigung im freien Fall Richtung Erdboden. Diese Beschleunigung nennt man Fallbeschleunigung (engl. gravitational acceleration). Für die Fallbeschleunigung verwendet man üblicherweise das Formelzeichen \(g\), um sie von einer allgemeinen Beschleunigung \(a\) zu unterscheiden.

2.10.2 Ortsfaktor

Die Größe der Fallbeschleunigung hängt von der Masse des Himmelskörpers und der Entfernung des Körpers vom Massenmittelpunkt ab.

Variation der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche, NASA GRACE Mission image source

Bild 2.17: Variation der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche, NASA GRACE Mission

Die Erdgestalt ist aber keine perfekte Kugel. Deshalb ist die Größe der Fallbeschleunigung auf der Erde von Ort zu Ort verschieden (Bild 2.17). Die Fallbeschleunigung an einem bestimmten Ort nennt man daher auch Ortsfaktor. Die Fallbeschleunigung auf der Erde beträgt zwischen \(g=9{,}76\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\) und \(g=9{,}83\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\). Der Ortsfaktor für Deutschland, Österreich und die Schweiz ist etwa \(g=9{,}81\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\).

2.10.3 Ortsfaktor auf anderen Himmelskörpern

Die Masse des Mondes ist kleiner als die Masse der Erde. Deshalb beträgt die Fallbeschleunigung auf der Mondoberfläche nur rund \(1{,}62\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\). Also ungefähr 1/6 der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche.

Auch der Planet Mars ist kleiner als die Erde. Der mittlere Ortsfaktor beträgt dort rund \(3{,}69\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\). Hier findest du eine Liste von Fallbeschleunigungen auf weiteren Himmelskörpern.

2.10.4 Mathematische Beschreibung der Fallbewegung

Für die mathematische Beschreibung legen wir unser Koordinatensystem klugerweise so, dass wir es nur mit einer eindimensionalen Bewegung zu tun haben (Bild 2.18).

Koordinatensystem für Aufgaben des Freien Falls image source

Bild 2.18: Koordinatensystem für Aufgaben des Freien Falls

Der Ort 0 (Höhe Null) bezeichnet den Erdboden. Unsere Bewegung beginnt daher am Ort \(h_0\) (Anfangshöhe). Da wir das Koordinatensystem so gelegt haben, dass „oben“ der positiven y-Richtung und „unten“ der negativen y-Richtung entspricht, hat die Fallbeschleunigung ein negatives Vorzeichen, da sie ja nach unten zeigt. Wir verwenden also \(g=-9{,}81\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\).

Da es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt können wir die Gleichungen für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung aus diesem Kapitel übernehmen und an unsere Situation geringfügig anpassen.

\[ \begin{aligned} s &= h_0 + \frac{g}{2}\cdot t^2 \\ v &= g\cdot t \\ a &= g \end{aligned} \]

2.10.5 Fallbewegung Beispielrechnung

Wenden wir diese Gleichungen auf ein konkretes Beispiel an: Eine Person lässt sich aus einem Fenster im 3. Stock (Höhe 10m) in ein Sprungtuch der Feuerwehr fallen.

Zunächst wollen wir wissen, wie lange der freie Fall dauert. Dazu nehmen wir die Orts-Gleichung und setzen für den Ort 0 ein (denn hier endet der Fall).

\[ 0 = 10 + \frac{-9{,}81}{2}\cdot t^2 \]

Umformen der Gleichung und ausrechnen der Zeit liefert das Ergebnis \(t=1{,}43\;\mathrm{s}\).

Als nächstes interessiert uns, wie groß die Geschwindigkeit des Springers beim Eintauchen in das Sprungtuch ist. Dazu setzen wir die eben errechnete Fallzeit in die Gleichung für die Geschwindigkeit ein.

\[ v = -9{,}81\cdot 1{,}43 \]

Das Ergebnis ist \(14{,}01\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Das sind rund \(50\;\mathrm{km}/\mathrm{h}\)!