2.7 Zusammenhang Orts-Zeit- und Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm

Vielleicht ist dir schon aufgefallen, dass das Orts-Zeit Diagramm und das Geschwindigkeit-Zeit Diagramm einer Bewegung nicht unabhängig von einander sind. Aber da steckt noch mehr dahinter: Sie hängen nicht nur zusammen, du kannst sogar aus dem einen Diagramm das jeweils andere rekonstruieren!

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Bild 2.14: Zusammenhang Orts-Zeit und Geschwindigkeit-Zeit Diagramm

2.7.1 Momentangeschwindigkeit aus dem Orts-Zeit-Diagramm bestimmen

Beginnen wir mit dem Ort-Zeit-Diagramm. Zum Zeitpunkt \(t_1\) befindet sich der Körper an einem bestimmten Ort. Die Steigung der Tangente an die Orts-Kurve in diesem Zeitpunkt liefert dir die Größe der Momentangeschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt. Du findest den Wert zum selben Zeitpunkt im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, wenn du dem strichlierten Ordner nach unten folgst. Warum das so sein muss, erkennst du im Steigungsdreiecks der Tangente - dort findest du den Differenzenquotien aus der Definition der mittleren Geschwindigkeit wieder.

2.7.2 Näherungsweise Bestimmung der Momentangeschwindigkeit aus dem Orts-Zeit-Diagramm

Wenn du keine Tangente an die Kurve festlegen kannst, verwende ersatzweise eine Sekante durch zwei Punkte auf der Orts-Kurve. Bedenke, je kleiner das Zeitintervall der beiden Kurvenpunkte, desto genauer die Näherung für die Tangente.

2.7.3 Den Ort aus dem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm bestimmen

Betrachten wir jetzt das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm. Zum Zeitpunkt \(t_2\) finden wir die Momentangeschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt eingetragen. Bilden wir die Summe der Flächeninhalte unter der Geschwindigkeitskurve, so können wir diese Summe als die Gesamt-Ortsänderung, bis zu diesem Zeitpunkt, interpretieren. Folge dem punktierten Ordner in das Orts-Zeit-Diagramm und du findest den entsprechenden Wert auf der Orts-Achse. Beachte, dass die Flächeninhalte oberhalb der Zeitachse positiv zur Summe beitragen und Flächenteile unterhalb der Zeitachse negativ. Nur dann entspricht die Summe der Gesamt-Ortsänderung. Die Gesamt-Ortsänderung ist dabei in den meisten Fällen nicht der zurückgelegte Weg des Körpers!

2.7.4 Näherungsweise Bestimmung des Orts aus dem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

Wenn du für die unregelmäßigen Flächen unter der Kurve den Flächeninhalt nicht berechnen kannst, gibt es die Möglichkeit durch einen Raster aus gleich großen Quadraten oder durch rechteckige Streifen den Flächeninhalt näherungsweise zu bestimmen.

2.7.5 Mathematische Begründung durch Integral- und Differenzialrechnung

Beherrscht du schon die Differenzial- und Integralrechnung, dann erkennst du in

\[{\vec {v}}={\underset {\Delta t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\Delta {\vec {s}}}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}}{\mathrm {d} t}}\]

einen Differentialquotienten. Die Steigung der Tangente und somit die Momentangeschwindigkeit erhältst du aus der Ableitung der Ortsfunktion. Umgekehrt erhältst du den Ort zu einem Zeitpunkt als bestimmtes Integral der Geschwindigkeitskurve über die Grenzen 0 und dem gesuchten Zeitpunkt (z.B. \(t_2\)).

2.7.6 Zusammenhang Geschwindigkeits-Zeit- und Beschleunigungs-Zeit-Diagramm

Da die Definitionen von Momentangeschwindigkeit und Momentanbeschleunigung gleichartig aufgebaut sind, gelten die obigen Beziehungen auch zwischen Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm und Beschleunigung-Zeit-Diagramm: Die Tangentensteigung der Geschwindigkeitskurve liefert den Wert für die Momentanbeschleunigung und die Summe der Flächen unter der Beschleunigung-Zeit-Diagramm lassen sich als Gesamtänderung der Geschwindigkeit interpretieren.