2.12 Waagrechter Wurf

Springst du von einem Felsen ins Wasser (Bild 2.22) ist es wichtig so weit nach vorne zu springen, dass du das tiefe Wasser erreicht, um dich nicht zu verletzen. Wie du eine bestimmte Weite vom Absprungpunkt erreichst, erfährst du in diesem Kapitel.

2.12.1 Was ist ein waagrechter Wurf?

Unter einem waagrechten Wurf (engl. horizontal projectile motion) versteht man die Bewegung eines Körpers, der mit einer bestimmten waagrechten Anfangsgeschwindigkeit geworfen wird und anschließend zu Boden fällt.

2.12.2 Mathematische Beschreibung des waagrechten Wurfs

Beim waagrechten Wurf handelt es sich um eine zweidimensionale Bewegung. Für die Beschreibung der Bewegung benötigen wir daher zwei Koordiatenachsen (Bild 2.23).

Koordinatensystem für Aufgaben beim waagrechten Wurf image source

Bild 2.23: Koordinatensystem für Aufgaben beim waagrechten Wurf

Der Ort 0 (Höhe Null) bezeichnet den Erdboden. Unsere Bewegung beginnt daher am Ort \(h_0\) (Anfangshöhe). Die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) ist waagrecht, besitzt also keine y-Komponente. Da wir das Koordinatensystem so gelegt haben, dass „oben“ der positiven y-Richtung und „unten“ der negativen y-Richtung entspricht, hat die Fallbeschleunigung ein negatives Vorzeichen, da sie ja nach unten zeigt. Wir verwenden also \(g=-9{,}81\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\).

Bei dieser Bewegung handelt es sich um eine Überlagerung von zwei Bewegungen: einer gleichförmigen Bewegung (durch die vertikale Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\)) in x-Richtung und einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung (durch die Fallbeschleunigung) in y-Richtung. Da wir eine zweidimensionale Bewegung haben, gibt es doppelt so viele Gleichungen: Nämlich die Gleichung für die x-Richtung

\[ \begin{array}{lcc} s_x &=& v_0\cdot t \\ v_x &=& v_0 \\ a_x &=& 0 \end{array} \]

und die Gleichung für die y-Richtung

\[ \begin{array}{lcccc} s_y &=& h_0 &+& \frac{g}{2}\cdot t^2 \\ v_y &=& &+& g\cdot t \\ a_y &=& & & g \end{array} \]

In der interaktiven Abbildung 2.24 ist die Bahn des Körpers in einem x-y-Diagramm gezeichnet.

Interaktive Abbildung eines waagrechten Wurfs image source

Bild 2.24: Interaktive Abbildung eines waagrechten Wurfs

2.12.3 Waagrechter Wurf Beispielrechnung

Wenden wir diese Gleichungen auf ein konkretes Beispiel an: Eine Ballwurfmaschine wird so eingestellt, dass sie Bälle waagrecht mit einer Anfangsgeschwindigkeit von \(v_0=20\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) abgeschossen werden. Der Abschusspunkt befindet sich \(h_0 = 1{,}5\;\mathrm{m}\) über dem Boden.

Wir wollen berechnen, wie weit vom Abschusspunkt entfernt der Ball am Boden aufkommt (Wurfweite). Für die weitere Rechnung ist folgende Überlegung sehr wichtig: Unabhängig von der waagrechten Geschwindigkeit dauert ein Wurf aus gleicher Höhe immer gleich lange. Das erkennst du an der Gleichung für y-Richtung: Hier kommt die Geschwindigkeit \(v_0\) überhaupt nicht vor. Im ersten Schritt berechnen wir, wie lange der waagrechte Wurf dauert (Wurfdauer). Wie du das berechnest, hast du schon in der Beispielrechnug für den freien Fall gesehen. Für unser Beispiel kommt eine Fallzeit von \(t_\mathrm{end}=0{,}55\;\mathrm{s}\) heraus.

Um die Wurfweite zu berechnen, setzen wir die Wurfdauer in die Gleichung für die x-Komponente des Orts ein und berechnen, wie weit sich der Ball waagrecht in dieser Zeit bewegt hat.

\[ x = 20\cdot 0{,}55 \]

Die Wurfweite ist daher \(x_\mathrm{end}=11{,}06\;\mathrm{m}\).