1.10 Vektor, Skalar und Feld

Die Physik verwendet für die Beschreibung ihrer Gesetze die Sprache der Mathematik. Das war nicht immer so. Physikerinnen und Physiker haben erst um etwa 1600 begonnen ihre Naturgesetze in mathematischen Formeln aufzuschreiben.

Physikalische Formeln geschrieben von Albert Einstein

Bild 1.15: Physikalische Formeln geschrieben von Albert Einstein

In den darauf folgenden Jahrhunderten hat sich die Beschreibung der Physik durch Mathematik als extrem erfolgreich herausgestellt. Eugene Wigner schreibt dazu in einem seiner Artikel:

„Das Wunder der Angemessenheit der Sprache der Mathematik für die Formulierung der Gesetze der Physik ist ein wunderbares Geschenk, das wir weder verstehen noch verdienen.“

In diesem Kapitel geht es daher um die grundlegenden Objekte der Mathematik wie Zahl und Vektor in der Physik.

1.10.1 Skalare physikalische Größen

Für die Beschreibung einiger physikalischer Größen, brauchen wir (neben einer Einheit) nur eine Zahl, auch Skalar genannt. Einige dieser Größen kennst du bestimmt, wie etwa die Zeit (zum Beispiel: \(5\;\mathrm{s}\)) oder auch die Temperatur (zum Beispiel: \(21\;^{\circ}\mathrm{C}\)). Diese Größen heißen Zahl- oder Skalargrößen.

1.10.2 Vektorielle physikalische Größen

Für einige physikalische Größen (1.7.1) reicht eine Zahl zur Beschreibung nicht aus, weil sie eine Richtungsinformation enthalten. Bei einer Kraft zum Beispiel ist es sehr wesentlich zu wissen, in welche Richtung der Zug erfolgt, oder bei der Angabe einer Geschwindigkeit eines Körpers in welche Richtung sich der Körper eigentlich bewegt. Für ihre Beschreibung wird (neben einer Einheit) ein Pfeil oder Vektor benötigt. Die Richtung des Pfeils entspricht der Richtung der Kraft, Geschwindigkeit, usw. und die Länge des Pfeils entspricht der Größe der Kraft, Geschwindigkeit, usw. Diese Größen heißen Pfeil- oder Vektorgrößen.

1.10.3 Rechnen mit Vektoren

So wie mit Zahlen, kannst du auch mit Vektoren rechnen, allerdings brauchst du andere Rechenregeln dafür. Solltest du noch nicht oder nicht mehr wissen, wie mit Vektoren gerechnet wird, kannst du das hier nachlesen:

1.10.4 Koordinatensysteme

Wie du aus dem Geometrie-Unterricht weißt, sind die Komponenten eines Vektors nur dann richtig zu verstehen, wenn auch das zugrundeliegende Koordinatensystem bekannt ist. Für die Beschreibung einer Vektorgröße im Raum benötigen wir ein 3-dimensionales Koordinatensystem bestehend aus drei zueinander orthogonalen Achsen. Für die Beschreibung einer Vektorgröße in der Ebene benötigen wir nur ein 2-dimensionales Koordinatensystem bestehend aus zwei zueinander orthogonalen Achsen. Für die Beschreibung einer Vektorgröße entlang einer Geraden ist schon ein 1-dimensionales Koordinatensystem – bestehend aus einer einzigen Achse – ausreichend.

1.10.5 Eindimensionale Vektorgrößen

In einem eindimensionalen Koordinatensystem bestehen Vektoren nur aus einer einzigen Komponente. In diesem Fall können wir – obwohl es sich eigentlich um eine Vektorgröße handelt – wie mit einer Skalargröße rechnen. Die Richtung des Pfeils wird dann durch das Vorzeichen der Zahl ausgedrückt.

1.10.6 Feldbegriff

Physikerinnen und Physiker sprechen von einem Feld, wenn jedem Raumpunkte eine eindeutige Zahl oder einen Vektor zuordnen werden kann – entsprechend heißt das Feld dann entweder ein Skalar- oder ein Vektorfeld.

In Bild 1.16 siehst du ein Temperaturfeld. Ein Temperaturfeld ist ein Beispiel für ein Skalarfeld, wo jedem Raumpunkt eine Zahl (hier die Temperatur) zugeordnet ist.

Temperaturfeld (farbcodiert)

Bild 1.16: Temperaturfeld (farbcodiert)

Neben der farbkodierte Darstellung (Bild 1.16) eines Skalarfelders (jeder Wert entspricht einer bestimmten Farbe), gibt es noch die Isolinien-Darstellung (vom griechischen Wort isos für „gleich“) eines Skalarfeldes (gleich Werte sind durch eine Linie verbunden, Bild 1.17).

Temperaturfeld in Isolinien Darstellung

Bild 1.17: Temperaturfeld in Isolinien Darstellung

Das Strömungsfeld eines Beckens ist ein Beispiel für ein Vektorfeld, wo jedem Raumpunkt ein Vektor (hier die Strömungsgeschwindigkeit der Wasserteilchen) zugeordnet ist. Die Länge des Feldvektors ist ein Maß für die Stärke des Feldes an dieser Stelle.

Beispiele für Vektorfelder

Bild 1.18: Beispiele für Vektorfelder

In Bild 1.18 siehst du vier Beispiele für Vektorfelder. Sind alle Feldvektoren parallel und gleich lang, ist das Feld homogen (a). Sind die Feldlinien geschlossen, handelt es sich um ein Wirbelfeld (d).

Unterschiedliche Darstellungen des selben Vektorfeldes

Bild 1.19: Unterschiedliche Darstellungen des selben Vektorfeldes

Auch für ein Vektorfeld gibt es unterschiedliche Darstellungen (Bild 1.19):

  • In regelmäßigen Abständen sind die Vektoren mit ihrer tatsächlichen Länge eingezeichnet (Darstellung links).

  • In regelmäßigen Abständen sind die Vektorpfeile alle gleich lang und die Farbe gibt Auskunft über die Länge der Feldvektoren (Darstellung rechts).

  • Feldlinienbild eines Vektorfeldes (Darstellung Mitte).

Hier noch ein paar wichtige Eigenschaften von Feldlinien:

  • Alle Vektoren entlang einer Feldlinie liegen auf den Tangenten an der Feldlinie im jeweiligen Punkt.

  • Jede Feldlinie hat eine eindeutige Richtung.

  • nimmt die Feldliniendichte in einem Bereich zu, nimmt dort die Stärke des Feldes zu. Umgekehrt nimmt die Feldliniendichte in einem Bereich ab, nimmt dort auch die Stärke des Feldes ab.