2.11 Senkrechter (lotrechter) Wurf

2.11.1 Was ist ein senkrechter (lotrechter) Wurf?

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Bild 2.19: Tennisspieler beim Aufschlag

Unter einem senkrechten oder lotrechten Wurf (engl. vertical projectile motion) versteht man die Bewegung eines Körpers, der senkrecht in die Höhe geworfen wird, wie der Ball beim Tennis-Aufschlag in Bild 2.19. Dabei kommt es nicht nur auf die Anfangsgeschwindigkeit, sondern auch auf die lokale Fallbeschleunigung, den Ortsfaktor, an. Sobald der Körper die Hand verlässt, nimmt seine Geschwindigkeit ständig ab, bis sie am Umkehrpunkt sogar kurzfristig Null ist. Ab jetzt bewegt sich der Körper mit zunehmender negativer Geschwindigkeit nach unten.

2.11.2 Mathematische Beschreibung des senkrechten Wurfs

Wie beim freien Fall handelt es sich auch beim senkrechten Wurf um eine eindimensionale Bewegung. Daher benötigen wir für die Beschreibung nur eine einzige Koordinatenachse (Bild 2.20).

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Bild 2.20: Koordinatensystem für Aufgaben beim senkrechten Wurf

Der Ort 0 (Höhe Null) bezeichnet den Erdboden. Unsere Bewegung beginnt daher am Ort \(h_0\) (Anfangshöhe). Da wir das Koordinatensystem so gelegt haben, dass „oben“ der positiven y-Richtung und „unten“ der negativen y-Richtung entspricht, hat die Fallbeschleunigung ein negatives Vorzeichen, da sie ja nach unten zeigt. Wir verwenden also \(g=-9{,}81\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\).

Bei dieser Bewegung handelt es sich um eine Überlagerung von zwei Bewegungen: einer gleichförmigen Bewegung (durch die vertikale Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\)) und einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung (durch die Fallbeschleunigung). In den Gleichungen kommen daher Anteile von beiden Bewegungsformen vor.

\[ \begin{array}{rcccccc} s &=& h_0 &+& v_0\cdot t &+& \frac{g}{2}\cdot t^2 \\ v &=& & & v_0 &+& g\cdot t \\ a &=& & & & & g \end{array} \]

2.11.3 Unabhängigkeitsprinzip von Bewegungen

Die gleichförmigen Bewegung und die gleichmäßig beschleunigte Bewegung kannst du dir wie Bausteine von Bewegungen vorstellen, die du durch einfache Addition (und im zwei- oder dreidimensionalen Fall durch Vektoraddition) im Baukastenprinzip zu komplizierteren Bewegungen zusammensetzen kannst. Dieses Unabhängigkeitsprinzip von Bewegungen oder Superpositionsprinzip (engl. principle of compound motion), wurde schon von Galileo Galilei entdeckt.

2.11.4 Senkrechter Wurf Beispielrechnung

Wenden wir diese Gleichungen auf ein konkretes Beispiel an: Eine Person wirft einen Jonglierball mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=5\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) in die Höhe und fängt ihn auf der selben Höhe wieder auf. In unserem Beispiel ist es daher sinnvoll, die Anfangshöhe \(h_0 = 0\;\mathrm{m}\) zu setzen.

Zunächst berechnen wir die Wurfzeit. Da der Ball in der Abwurfhöhe auch wieder gefangen wird, setzen wir in der Ortsfunktion für \(y\) den Ort \(0\) ein.

\[ 0 = 5\cdot t + \frac{-9{,}81}{2}\cdot t^2 \]

Löst du die quadratische Gleichung nach der Zeit, bekommst du zwei Lösungen \(t_1=0\;\mathrm{s}\) und \(t_2=1{,}02\;\mathrm{s}\). Das muss auch so sein, weil sich der Ball zweimal am Ort \(y=0\) befindet. Einmal wenn er hochgeworfen wird und dann ein zweites Mal, wenn er wieder gefangen wird. Die gesuchte Wurfdauer ist also die zweite Lösung.

Als nächstes wollen wir berechnen, wie groß die Geschwindigkeit des Balls ist, wenn er wieder gefangen wird. Dazu setze in die Geschwindigkeits-Gleichung die eben berechnete Wurfdauer ein.

\[ v = 5 + (-9{,}81\cdot 1{,}02) \]

Für die Geschwindigkeit erhältst du wieder die Anfangsgeschwindigkeit allerdings mit negativem Vorzeichen (der Körper bewegt sich in negative y-Richtung).

Am Schluss interessieren wir uns noch für die maximal erreichte Wurfhöhe (Scheitelhöhe) \(h_\mathrm{max}\). Für den Ort verwenden wir die Orts-Gleichung. Allerdings haben wir dann zwei noch zwei Unbekannte: den Ort und die Zeit. Wir brauchen also zuerst die Zeit bis der Körper den Umkehrpunkt (gleich der maximalen Wurfhöhe) erreicht (Steigzeit). Am Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit exakt Null. Das verwenden wir, um aus der Geschwindigkeits-Gleichung die Steigzeit \(t_u\) bis zum Erreichen des Umkehrpunkts zu berechnen.

\[ 0 = 5 + (-9{,}81\cdot t_u ) \]

Löst du die Gleichung bekommst du für die Zeit den Wert \(t_u = 0{,}51\;\mathrm{s}\) – genau die Hälfte der Zeit zwischen Abwerfen und Auffangen des Körpers. Diese Zeit können wir jetzt verwenden, um aus der Ortsgleichung die maximale Wurfhöhe zu berechnen.

\[ h_\mathrm{max} = 5\cdot 0{,}51 + \frac{-9{,}81}{2}\cdot 0{,}51^2 \]

Du erhältst den Wert \(h_\mathrm{max} = 1{,}27\). Die maximale Wurfhöhe befindet sich also \(1{,}27\;\mathrm{m}\) über dem Abwurfpunkt.

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Bild 2.21: Orts-Zeit und Geschwindigkeits-Zeit Diagramm eines senkrechten Wurfs

Das Orts-Zeit- und das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (Bild 2.21) fassen die Bewegung noch einmal zusammen. Beachte den geraden Verlauf der Kurve im Geschwindigkeits-Zeit Diagramm. Daran kannst du ebenfalls erkennen, dass es sich die gesamte Zeit über um eine konstante Beschleunigung handelt.