A.5.1 Idee

Je nachdem, wie wir uns mit der Erde zum Ausbreitungsmedium des Lichts bewegen, sollte sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts verändern. Da Licht aber eine so große Geschwindigkeit hat, ist es sehr schwierig, eine kleine Abweichung davon direkt festzustellen. Deshalb verwendet das Michelson-Morley-Experiment einen Trick, um noch so kleine Abweichungen festzustellen.

Bild A.21: Prinzip eines Interferometers

Dabei wird ein Lichtstrahl in zwei Teilstrahlen aufgeteilt, die sich in unterschiedliche Richtungen bewegen. Wenn die Teilstrahlen danach durch Spiegel wieder vereint werden, kann bei einer Laufzeitdifferenz Interferenz festgestellt werden. Damit das funktioniert, muss die Lichtquelle monochromatisches (Licht einer Wellenlänge) und kohärentes (alle Lichtwellen befinden sich zu Beginn in gleicher Phase) Licht aussenden (Bild A.21).

Links:

• Video: Interferometer Animation

A.5.2 Details

Gefühlsmäßig könntest du annehmen, dass sich die längere Laufzeit mit dem Wind und die kürzere Laufzeit gegen den Wind genau aufheben und die Laufzeitdifferenz insgesamt null ist.

Um das zu widerlegen, betrachten wir als Beispiel ein Wettrennen zwischen zwei Flugzeugen. Für beide Maschinen ist der Punkt \(O\) der Start und das Ziel und beide Flugzeuge fliegen Strecken derselben Länge \(L\) im Gelände ab. Der einzige Unterschied ist: Das rote Flugzeug fliegt nach Norden um den Pylon A (Strecke O-A-O) und das blaue Flugzeug fliegt nach Osten und um den Pylon B (Strecke O-B-O) (Bild A.22).

Bild A.22: Flugzeugwettrennen ohne Wind

Beide Maschinen fliegen mit der Geschwindigkeit \(c\) und so endet jedes Wettrennen bei Windstille mit einem Unentschieden. Die Zeit für einen Rundkurs ist für beide Flugzeuge gleich und beträgt:

\[ t = \frac{s}{v} = \frac{2\cdot L}{c} \]

Am nächsten Tag ändern sich die Flugbedingungen. Es weht ein konstanter Westwind (aus Westen kommend) von \(w\) (Bild A.23). Wie wirkt sich das Wetter auf die Flugzeiten aus?

Bild A.23: Flugzeugwettrennen mit Wind

Betrachten wir zunächst den Flug des blauen Flugzeugs. Dieses hat im Hinflug Rückenwind. Die Reisegeschwindigkeit erhöht sich auf \(v_\text{hin}=c + w\) ist und die Zeit für den Hinflug ist:

\[\begin{equation} t_\text{hin} = \frac{L}{c+w} \tag{A.12} \end{equation}\]

Für den Rückflug hat die Maschine Gegenwind. Die Reisegeschwindigkeit verringert sich auf \(v_\text{hin}=c - w\) ist und die Zeit für den Rückflug ist:

\[\begin{equation} t_\text{rück} = \frac{L}{c-w} \tag{A.13} \end{equation}\]

Die Gesamtflugdauer des blauen Flugzeugs ist die Summe aus Hin- und Rückflugzeit:

\[\begin{align} t_\text{blau} & = t_\text{hin}+t_\text{rück} \notag \\[0.5em] & = \frac{L}{c+w} + \frac{L}{c-w} \notag \\[0.5em] & = \frac{L\cdot(c-w)+L\cdot(c+w)}{(c+w)\cdot(c-w)} \notag \\[0.5em] & = \frac{L\cdot c- L\cdot w + L\cdot c+L\cdot w)}{(c+w)\cdot(c-w)} \notag \\[0.5em] & = \frac{2\cdot L\cdot c}{(c+w)\cdot(c-w)} &&\Bigr\rvert\quad \text{3. binomische Formel} \notag \\[0.5em] & = \frac{2\cdot L\cdot c}{c^2-w^2}&&\Bigr\rvert\quad c^2\;\text{herausheben} \notag \\[0.5em] & = \frac{2\cdot L\cdot c}{c^2\cdot\left(1-\frac{w^2}{c^2}\right)} \notag \\[0.5em] & = \frac{2\cdot L}{c\cdot\left(1-\frac{w^2}{c^2}\right)} \tag{A.14} \end{align}\]

Sehen wir uns jetzt den Flug der roten Maschine an. Dieses Flugzeug hat sowohl beim Hin- als auch Rückflug Seitenwind. Würde sie direkt auf den Pylon \(A\) zusteuern, würde sie abgetrieben. Damit sie die kürzest mögliche Zeit fliegt, muss die Maschine gegen den Wind steuern. Die genaue Richtung ergibt sich aus der Vektoraddition der Geschwindigkeiten (Bild A.24: Hinflug (a), Rückflug (b)).

Bild A.24: Vektorsumme für Hin- und Rückflug der rote Maschine

Beide Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich). Daher beträgt die Reisegeschwindigkeit nach dem Satz des Pythagoras für Hin- und Rückflug:

\[\begin{equation} t_\text{hin} = t_\text{rück} = \frac{L}{\sqrt{c^2-w^2}} \tag{A.15} \end{equation}\]

Die Gesamtflugdauer für das rote Flugzeug ist:

\[\begin{align} t_\text{rot} & = t_\text{hin}+t_\text{rück} \notag \\[0.5em] & = \frac{2\cdot L}{\sqrt{c^2-w^2}} \notag \\[0.5em] & = \frac{2\cdot L}{\sqrt{c^2\cdot(1-\frac{w^2}{c^2})}} \notag \\[0.5em] & = \frac{2\cdot L}{c\cdot\sqrt{(1-\frac{w^2}{c^2})}} \tag{A.16} \\ \end{align}\]

Die Flugzeiten beider Maschinen sind ähnlich, aber nicht gleich. Welche Maschine ist langsamer, welche schneller? Wenn die Windgeschwindigkeit \(w\) kleiner als die Flugzeuggeschwindigkeit \(c\) ist, gilt:

\[ \begin{aligned} w < c & \implies 0 < \frac{w^2}{c^2} < 1 \\[0.5em] & \implies 0 < 1-\frac{w^2}{c^2} < 1 \\[0.5em] & \implies \sqrt{(1-\frac{w^2}{c^2})} > (1-\frac{w^2}{c^2}) \\[0.5em] & \implies \frac{1}{c\cdot\sqrt{(1-\frac{w^2}{c^2})}} < \frac{1}{c\cdot (1-\frac{w^2}{c^2})} \end{aligned} \]

Unter diesen Umständen gewinnt die rote Maschine also immer diesen Wettflug. Du kannst das auch mit einem konkreten Zahlenbeispiel überprüfen (\(w=2\;\mathrm{m/s}\), \(c=5\;\mathrm{m/s}\), \(L=100\;\mathrm{m}\)).

\[ \begin{aligned} t_\text{rot} & = 43{,}64\ldots\;\mathrm{s} \\ t_\text{blau} & = 47{,}61\ldots\;\mathrm{s} \end{aligned} \]

In Hinblick auf das Michelson-Morley-Experiment interessiert uns die Zeitdifferenz zwischen beiden Flügen. Da wir voraussetzen können, dass die Geschwindigkeit \(c\) wesentlich größer als die Windgeschwindigkeit \(w\) ist, können wir die Ausdrücke für das blaue und rote Flugzeug durch folgende Näherungen ersetzen (Taylorreihenentwicklung):

\[\begin{equation} \frac{1}{1-\frac{w^2}{c^2}} = \left(1-\frac{w^2}{c^2}\right)^{-1} \approx 1+\frac{w^2}{c^2} \tag{A.17} \end{equation}\]

Und

\[\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{(1-\frac{w^2}{c^2})}} = \left(1-\frac{w^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}} \approx 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{w^2}{c^2} \tag{A.18} \end{equation}\]

Damit erhältst du für die Zeitdifferenz:

\[\begin{align} \Delta t & = t_\text{blau} - t_\text{rot} \notag \\[0.5em] & \approx \frac{2\cdot L}{c}\cdot\left(1+\frac{w^2}{c^2}\right) -\frac{2\cdot L}{c}\cdot\left(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{w^2}{c^2}\right) \notag \\[0.5em] & = \frac{2\cdot L}{c}\cdot\left[\left(1+\frac{w^2}{c^2}\right)-\left(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{w^2}{c^2}\right)\right] \notag \\[0.5em] & = \frac{2\cdot L}{c}\cdot\left[\frac{1}{2}\cdot\frac{w^2}{c^2}\right] \notag \\ & = \frac{L\cdot w^2}{c^3} \tag{A.19} \end{align}\]

A.5.3 Aufbau

In Bild A.25 siehst du den Aufbau und den Strahlenverlauf eines Interferometers.

Bild A.25: Aufbau Michelson-Morley-Experiment

Licht einer kohärenten Lichtquelle (zum Beispiel einem Laser) trifft auch einen halbdurchlässigen Spiegel in der Mitte. Dieser teilt den Lichtstrahl in zwei Teilstrahlen (im Bild nach oben und rechts). Beide Teilstrahlen werden an Spiegeln reflektiert und gelangen wieder zum halbdurchlässigen Spiegel zurück. Dort wird ein Teil des Lichts aus beiden Strahlen nach unten zum Detektor abgelenkt, wo sie wie beim Doppelspalt-Experiment zu einem Interferenzbild überlagert werden. Ein Abweichen in der Phase verschiebt das Interferenzbild nach links oder rechts. So lassen sich Laufzeitdifferenzen noch exakter feststellen als nur durch einen Helligkeitsunterschied.

A.5.4 Ergebnis

Obwohl das Michelson-Morley-Experiment wiederholt an verschiedenen Orten auf der Erde durchgeführt wurde, konnte nie eine Phasenverschiebung festgestellt werden. Um eine zufällige Phasenverschiebung, um ein ganzzahliges Vielfaches der Lichtwellenlänge auszuschließen, wurde das Experiment auch gedreht. Alle dieser Experimente haben gezeigt: Licht breitet sich in allen Richtungen immer mit der gleichen Geschwindigkeit aus.

Es gab einige Ideen, um diesen Ausgang des Experiments mithilfe des Lichtäthers zu erklären. Sie alle konnten durch Experimente widerlegt werden. Schließlich wurde die Ätherhypothese aufgegeben. Licht – im Gegensatz zu einer mechanischen Welle – benötigt kein Ausbreitungsmedium.

A.5.5 Historische Bedeutung

Zum einen ist es das bekannteste Experiment mit negativem Ausgang, da es keinen Unterschied in den Lichtlaufzeiten feststellen konnte.

Aber auch ein negatives Resultat bei einem Experiment liefert neue Erkenntnisse. So gilt das Ergebnis des Michelson-Morley-Experiments als der Ausgangspunkt für die Relativitätstheorie von Albert Einstein.

Der geniale Trick, mithilfe von Interferenz kleinste Laufzeitunterschiede von Licht zu messen, wird bis zum heutigen Tag (etwa beim Nachweis von Gravitationswellen) verwendet.