A.4.2.1 Teil 1

Bild A.15: Teilchen fällt im Gravitationsfeld

Für kleine Tropfen spielt die Luftreibung eine große Rolle. Daher stellt sich im ersten Teil des Experiments nach kurzer Fallzeit ein Gleichgewicht zwischen Gewichtskraft und Reibungskraft (Gesetz von Stokes) ein – das Tröpfchen fällt jetzt mit seiner konstanten Maximalgeschwindigkeit (Bild A.15).

\[\begin{equation} F_{G} = F_{r} \end{equation}\]

Und nach dem Einsetzen der Kräfte:

\[\begin{equation} m\cdot g = 6\cdot\pi \cdot r\cdot\eta\cdot v \tag{A.6} \end{equation}\]

In dieser Gleichung stehen:

• \(m\) für die Masse des Tröpfchens (Einheit: \(\mathrm{kg}\))
• \(g\) für die Fallbeschleunigung Erde (\(9{,}81\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\))
• \(r\) für den Radius des Tröpfchens (Einheit: \(\mathrm{m}\))
• \(\eta\) für die Viskosität von Luft (\(1{,}8\cdot 10^{-5}\;\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}/\mathrm{m}^2\))
• \(v\) für die Fallgeschwindigkeit des Tröpfchens (Einheit: \(\mathrm{m}/\mathrm{s}\))

Gehen wir von einem kugelförmigen Tröpfchen aus, können wir seine Masse über die Dichte (\(\rho_{Öl}=950\;\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\)) und sein Kugelvolumen und daher über seinen Radius ausdrücken:

\[\begin{align} m = {} & \rho\cdot V_{Kugel} \notag \\ = {} & \rho \cdot \frac {4}{3}\cdot\pi\cdot r^{3} \tag{A.7} \\ \end{align}\]

Setzen wir diese Masse in die Gleichung (A.6), erhalten wir:

\[\begin{align} \rho \cdot \frac {4}{3}\cdot\pi\cdot r^{3}\cdot g & = 6\cdot\pi \cdot r\cdot\eta\cdot v &&\Bigr\rvert\cdot \frac{3}{4\cdot g\cdot \rho\cdot \pi\cdot r} \notag \\ r^{2} & = \frac{9\cdot\eta\cdot v}{2\cdot g\cdot \rho} &&\Bigr\rvert\; \sqrt{(\ldots)} \notag \\ r & = \sqrt{\frac{9\cdot\eta\cdot v}{2\cdot g\cdot \rho}} \tag{A.8} \end{align}\]

In dieser Gleichung sind die einzigen unbekannten Größen die Fallgeschwindigkeit \(v\) und der Radius \(r\) des Tröpfchens. Aus der Messung der Fallgeschwindigkeit kann der Tröpfchenradius berechnet werden.

A.4.2.2 Teil 2

Im zweiten Teil des Experiments schalten wir ein Kondensatorfeld ein und verändern die Spannung so, dass das Tröpfchen schwebt (Bild A.16).

Bild A.16: Geladenes Teilchen schwebt im elektrischen Feld

Im Schwebezustand herrscht ein Gleichgewicht zwischen der Gewichtskraft \(F_G\) und der elektrischen Kraft \(F_C\).

Für einen Plattenkondensator ist diese Kraft \(F_C\):

\[ F_C = Q\cdot E = Q\cdot\frac{U}{d} \]

Darin bedeuten:

• \(Q\), die Ladung des Tröpfchens (Einheit: \(\mathrm{C}\))
• \(E\), die elektrische Feldstärke (Einheit: \(\mathrm{N}/\mathrm{C}\))
• \(U\), die elektrische Spannung zwischen den Kondensatorplatten (Einheit: \(\mathrm{V}\))
• \(d\), den Abstand der Kondensatorplatten (Einheit: \(\mathrm{m}\))

Setzen wir für beide Kräfte ein und verwenden das Ergebnis für \(F_G\) aus dem ersten Teil des Experiments (Gleichung (A.6)), erhalten wir:

\[\begin{align} F_C & = F_G \\ Q\cdot\frac{U}{d} & = \rho \cdot \frac {4}{3}\cdot\pi\cdot r^{3}\cdot g \notag \\ Q\cdot\frac{U}{d} & = 6\cdot\pi \cdot r\cdot\eta\cdot v \qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{d}{U} \notag \\ Q & = \frac{6\cdot\pi\cdot\eta\cdot v\cdot d}{U} \cdot r \tag{A.9} \end{align}\]

Für \(r\) setzen wir das Ergebnis aus dem ersten Teil des Experiments ein (Gleichung (A.8)):

\[\begin{align} Q & = \frac{6\cdot\pi\cdot\eta\cdot v\cdot d}{U} \cdot r \notag \\ Q & = \frac{6\cdot\pi\cdot\eta\cdot v\cdot d}{U} \cdot \sqrt{\frac{9\cdot\eta\cdot v}{2\cdot g\cdot \rho}} \tag{A.10} \end{align}\]

Mithilfe dieser Gleichung können wir jetzt durch Messen der Fallgeschwindigkeit \(v\) (ersten Teil) und der Messung der Spannung \(U\) im Schwebezustand (zweiten Teil) die Ladung \(Q\) des Tröpfchens bestimmen.

Neben der hier beschriebenen Schwebemethode gibt es noch einen zweiten Weg, die Ladung eines Tröpfchens zu bestimmen: Ist die Spannung größer als die Schwebespannung, bewegt sich das Tröpfchen aufgrund der Luftreibung mit konstanter Geschwindigkeit nach oben. Aus den gemessenen Größen konstante Fallgeschwindigkeit \(v_1\) (1. Teil), angelegter Steigspannung \(U\) und konstanter Steiggeschwindigkeit \(v_2\) (2. Teil) lässt sich ebenfalls die Ladung des Tröpfchens berechnen (ohne Herleitung).

\[\begin{equation} Q = \frac{{9 \cdot \pi \cdot d}}{{2 \cdot U}} \cdot \sqrt {\frac{{{\eta ^3}}}{{g \cdot {\rho _{{\mathrm{Öl}}}}}}} \cdot\sqrt{{v_{2}} - {v_{1}}} \cdot \left( {{v_{1}} + {v_{2}}} \right) \tag{A.11} \end{equation}\]