A.3 Millikan-Experiment

Das Millikan-Experiment (Bild A.4) wurde von Robert Andrews Millikan und Harvey Fletcher entwickelt und dient zur Bestimmung der elektrischen Ladung von Öltröpfchen, die jeweils nur wenige Elementarladungen tragen.

Millikan Versuchsaufbau

Bild A.4: Millikan Versuchsaufbau

A.3.1 Idee

Befindet sich ein geladenes Teilchen in einem Kondensatorfeld auf der Erde, wirken zwei Kräfte (Bild A.5): Die Gewichtskraft \(F_G\) (3.4) und die Coulombkraft \(F_C\) (11.2.6).

Kräftegleichgewicht von Gewichts- und Coulombkraft

Bild A.5: Kräftegleichgewicht von Gewichts- und Coulombkraft

Aus der angelegten Spannung, die notwendig ist, um das Teilchen schweben zu lassen, kann die Ladung des Teilchens bestimmt werden.

A.3.2 Details

Ein geladenes Tröpfchen kann in einem elektrischen Feld (Kondensatorfeld) in Schwebe gehalten werden. Aus der angelegten Spannung, kann die Ladung berechnet werden. Das funktioniert aber nur, wenn die Masse des geladenen Tröpfchens bekannt ist. Daher läuft das Experiment in 2 Teilen ab:

  1. Bestimmung der Endgeschwindigkeit, die abhängig von der Masse des geladenen Tröpfchens ist, im freien Fall an Luft.
  2. Bestimmung Schwebespannung für das geladenen Tröpfchens.
Teilchen fällt im Gravitationsfeld

Bild A.6: Teilchen fällt im Gravitationsfeld

Für kleine Tröpfchen spielt die Luftreibung eine große Rolle. Daher stellt sich im ersten Teil des Experiments nach kurzer Fallzeit ein Gleichgewicht zwischen Gewichtskraft und Reibungskraft (Gesetz von Stokes) ein – das Tröpfchen fällt jetzt mit einer konstanten Geschwindigkeit (Bild A.6).

\[ \begin{aligned} F_{G} = {} & F_{r} \\ m\cdot g = {} & 6\cdot\pi \cdot r\cdot\eta\cdot v \\\end{aligned} \]

In dieser Gleichung stehen:

  • \(m\) für die Masse des Tröpfchens (Einheit: \(\mathrm{kg}\))
  • \(g\) für die Fallbeschleungung Erde (\(9{,}81\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\))
  • \(r\) für den Radius des Tröpfchens (Einheit: \(\mathrm{m}\))
  • \(\eta\) für die Viskosität von Luft (\(1{,}8\cdot 10^{-5}\;\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}/\mathrm{m}^2\))
  • \(v\) für die Fallgeschwindigkeit des Tröpfchens (Einheit: \(\mathrm{m}/\mathrm{s}\))

Gehen wir von einem kugelförmigen Tröpfcen aus, können wir seine Masse über die Dichte (\(\rho_{Öl}=950\;\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\)) und sein Kugelvolumen und daher über seinen Radius ausdrücken:

\[ m = \rho\cdot V_{Kugel} = \rho \cdot \frac {4}{3}\cdot\pi\cdot r^{3} \]

Und wir erhalten:

\[ \begin{aligned} \rho \cdot \frac {4}{3}\cdot\pi\cdot r^{3}\cdot g = {} & 6\cdot\pi \cdot r\cdot\eta\cdot v \qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{3}{4\cdot g\cdot \rho\cdot \pi\cdot r}\\ r^{2} = {} & \frac{9\cdot\eta\cdot v}{2\cdot g\cdot \rho} \qquad\Bigr\rvert\; \sqrt{(\ldots)}\\ \mathbf{r} = {} & \sqrt{\frac{9\cdot\eta\cdot \mathbf{v}}{2\cdot g\cdot \rho}} \\ \end{aligned} \]

In dieser Gleichung sind die einzigen unbekannten Größen die Fallgeschwindigkeit \(v\) und der Radius \(r\) des Tröpfchens und durch Messung von \(v\) kann \(r\) bestimmt werden.

Im zweiten Teil des Experiments schalten wir ein Kondensatorfeld ein und verändern die Spannung so, dass das Tröpfchen schwebt (Bild A.7).

Geladenes Teilchen schwebt im elektrischen Feld

Bild A.7: Geladenes Teilchen schwebt im elektrischen Feld

Im Schwebezustand herrscht ein Gleichgewicht zwischen der Gewichtskraft \(F_G\) und der elektrischer Kraft \(F_C\).

Für eine Plattenkondensator gilt:

\[ F_C = Q\cdot E = Q\cdot\frac{U}{d} \]

Darin steht

  • \(Q\) für die Ladung des Tröpfchens (Einheit: \(\mathrm{C}\))
  • \(E\) für die elektrische Feldstärke (Einheit: \(\mathrm{N}/\mathrm{C}\))
  • \(U\) für die elektrische Spannung zwischen den Kondensatorplatten (Einheit: \(\mathrm{V}\))
  • \(d\) für den Abstand der Kondensatorplatten (Einheit: \(\mathrm{m}\))

Setzen wir für beide Kräfte ein und verwenden das Ergebnis für \(F_G\) aus dem ersten Teil des Experiments erhalten wir

\[ \begin{aligned} F_C = {} & F_G \\ Q\cdot\frac{U}{d} = {} & \rho \cdot \frac {4}{3}\cdot\pi\cdot r^{3}\cdot g \\ Q\cdot\frac{U}{d} = {} & 6\cdot\pi \cdot r\cdot\eta\cdot v \qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{d}{U}\\ Q = {} & \frac{6\cdot\pi\cdot\eta\cdot v\cdot d}{U} \cdot r \\ \end{aligned} \]

Für \(r\) setzen wir das Ergebnis aus dem ersten Teil des Experiments ein:

\[ \begin{aligned} Q = {} & \frac{6\cdot\pi\cdot\eta\cdot v\cdot d}{U} \cdot r \\ Q = {} & \frac{6\cdot\pi\cdot\eta\cdot v\cdot d}{U} \cdot \sqrt{\frac{9\cdot\eta\cdot v}{2\cdot g\cdot \rho}} \\ \end{aligned} \]

Mit Hilfe dieser Gleichung können wir jetzt durch messen der Fallgeschwindigkeit \(v\) (ersten Teil) und der Messung der Spannung \(U\) (zweiten Teil) die Ladung \(Q\) des Tröpfchens bestimmen.

Neben der hier beschriebenen Schwebemethode gibt es noch einen zweiten Weg die Ladung eines Tröpfchens zu bestimmen: Ist die die Spannung größer als die Schwebespannung bewegt sich das Tröpfchen aufgrund der Luftreibung mit konstanter Geschwindigkeit nach oben. Aus den gemessenen Größen konstante Fallgeschwindigkeit \(v_1\) (1. Teil), angelegter Steigspannung \(V\) und konstanter Steiggeschwindigkeit \(v_2\) (2. Teil) lässt sich ebenfalls die Ladung des Tröpfchens berechnen (ohne Herleitung).

\[ q = \frac{{9 \cdot \pi \cdot d}}{{2 \cdot U}} \cdot \sqrt {\frac{{{\eta ^3}}}{{g \cdot {\rho _{{\mathrm{Öl}}}}}}} \cdot\sqrt{{v_{2}} - {v_{1}}} \cdot \left( {{v_{1}} + {v_{2}}} \right) \]

A.3.3 Aufbau

Den Versuchsaufbau siehst du in Bild A.8.

Prinzipieller Versuchsaufbau des Millikan Experiments

Bild A.8: Prinzipieller Versuchsaufbau des Millikan Experiments

Mit Hilfe eines Zerstäuber werden feinste Öltröpfchen erzeugt (rund 0,5 µm Durchmesser). Durch Reibungselektrizität beim Zerstäuben besitzen die Öltröpfchen eine Ladung von nur wenigen Elementarladungen. Durch eine kleine Öffnung gelangen die Öltröpfchen in den Plattenkondensator, wo sie durch ein Mikroskop beobachtet werden können.

Sowohl die Sinkgeschwindigkeit (bei abgeschaltetem elektrischen Feld) als auch bei der anschließenden Steiggeschwindigkeit (bei eingeschaltetem Feld) sind in der Größenordnung von wenigen Zehntel Millimeter pro Sekunde (\(\approx 10^{-4}\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\)). Das Mikroskop besitzt eine Skala mit Strichen (Abstand \(30\;\mathrm{\mu m}\)) (Bild A.9). Mit Hilfe einer Stoppuhr wird die Sinkzeit gemessen, die das Tröpfchen für die Bewegung zwischen zwei Skalenstrichen benötigt. Aus dem Abstand und der Zeit wird die konstante Sinkgeschwindigkeit berechnet (2.8). Beachte: Das Mikroskop vertauscht oben und unten – sinkende Öltröpfchen wandern daher im Film nach oben und umgekehrt.

Geladenes Öltropfchen beim Millikan Experiment, wie es durch das Mikroskop gesehen wird.

Bild A.9: Geladenes Öltropfchen beim Millikan Experiment, wie es durch das Mikroskop gesehen wird.

Durch wiederholtes ein- und ausschalten des Kondensatorfeldes (wiederholtes steigen und sinken) lässt sich ein einzelnes Öltröpfchen über einen langen Zeitraum beobachtet und messen. Das erhöht die Genauigkeit der Messung.

Links:

A.3.4 Ergebnis

Trägst du die Messergebnisse der Öltröpfchen Ladungen beim Millikan-Versuch in einem Diagramm ein, erhältst du die Verteilung in Bild A.10.

Versuchsergebnisse beim Millikan-Versuch

Bild A.10: Versuchsergebnisse beim Millikan-Versuch

Deutlich kannst du erkennen, dass die Ladung nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern sich bei bestimmten Ladungswerten häuft. Ladung kommt immer als ganzzahliges Vielfaches einer kleinsten Ladungsmenge in der Natur vor – sie ist eine gequantelte Größe. Diese kleinste Ladungsmenge ist die Elementarladung \(e\) (11.1.3).

A.3.5 Historische Bedeutung

Durch Versuche mit dem Fadenstrahlrohr war das Verhältnis von Masse und Ladung des Elektrons \(m_e/e\) zuvor schon mit hoher Genauigkeit bestimmt worden, aber weder die Masse \(m_e\) noch die Ladung \(e\) des Elektrons selbst konnten genauer gemessen werden.

Durch das Millikan-Experiment – einige bezeichnen es als das eleganteste Experiment in der Geschichte der Physik – konnte um 1900 nicht nur die Quantelung der Ladung eindrucksvoll gezeigt werden, sondern auch die Elementarladung \(e\) mit größerer Genauigkeit bestimmt werden. Robert Millikan erhielt 1923 dafür, sowie für seine experimentelle Bestimmung der Größe des Plancksche Wirkungsquantum den Nobelpreis für Physik.