3.5 Einfache Bewegungsformen
In den letzten Kapiteln hast du sehr viel über Geschwindigkeit und Beschleunigung erfahren und auch ihre Zusammenhänge in diversen Diagrammen kennengelernt.
Für allgemeine Bewegungen sind die Formeln und Kurven recht kompliziert. Gelegentlich triffst du auf eine sehr einfache Bewegung, wie das Sinken eines Gegenstands in einer Flüssigkeit (Bild 3.27). In diesem Kapitel geht es um die gleichförmige Bewegung und die gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Wie im letzten Kapitel beschränken wir uns hier auf eindimensionale Bewegungen, also zum Beispiel ein Fahrzeug, das auf einer geraden Straße vor- und zurückfahren kann. Am Ende des Kapitels wirst du dann noch über das Unabhängigkeitsprinzip von Bewegungen erfahren.
3.5.1 Gleichförmige Bewegung
Bewegt sich ein Körper die ganze Zeit über mit einer konstanten Geschwindigkeit (ungleich null), wird von einer gleichförmigen Bewegung (engl. uniform motion) gesprochen. Das sinkende Objekt in einer Flüssigkeit in der Kapiteleinleitung ist ein Beispiel für eine gleichförmige Bewegung.
In diesem Fall vereinfachen sich die Formeln und Graphen für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung.
3.5.1.1 Beschleunigung
Da es sich bei der gleichförmigen Bewegung aufgrund ihrer Definition schon um eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit handelt, ist die Beschleunigung zu allen Zeiten null, also gilt:
\[ a=0 \]
Entsprechend ist das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm zu allen Zeiten eine waagrechte Gerade durch den Ursprung (Bild 3.28 unten).
3.5.1.2 Geschwindigkeit
Auch die Geschwindigkeit ist bei einer gleichförmigen Bewegung zeitlich unveränderlich. Sie hat einen konstanten Wert ungleich null, also:
\[ v=k \]
Das entspricht im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer waagrechten Gerade (Bild 3.28 Mitte).
3.5.1.3 Ort
Beginnt die gleichförmige Bewegung zum Zeitpunkt 0 am Ort null, dann gilt die Formel:
\[\begin{equation} s=v\cdot t \tag{3.7} \end{equation}\]
Das entspricht im Orts-Zeit-Diagramm einer Geraden (mit positiver oder negativer Steigung) durch den Ursprung. Die Formel kannst du auch im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm erkennen, wo die gesamte Ortsänderung als Rechtecksfläche unter der Kurve zu sehen ist (Bild 3.28 oben).
In diesem Fall entspricht zu jeder Zeit der Betrag des Ortes auch dem bis zu dieser Zeit zurückgelegten Weg!
3.5.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Wird ein Körper während seiner gesamten Bewegung konstant beschleunigt, handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (engl. uniformly accelerated motion). Auch in diesem Fall vereinfachen sich die Formeln und die Graphen für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Diese Bewegungsform findest du überall dort, wo eine konstante Kraft auf einen Körper wirkt, wie zum Beispiel beim freien Fall aus geringer Höhe.
3.5.2.1 Beschleunigung
Schon aufgrund ihrer Definition ist die Beschleunigung bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung konstant (im Normalfall ungleich null), daher gilt:
\[ a=k \]
Das entspricht im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer waagrechten Gerade (Bild 3.29 unten).
3.5.2.2 Geschwindigkeit
Beginnt die gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe (die Geschwindigkeit \(v=0\) zum Zeitpunkt \(t=0\)), kann die Momentangeschwindigkeit aus der Momentanbeschleunigung mit der folgenden Formel berechnet werden:
\[\begin{equation} v=a\cdot t \tag{3.8} \end{equation}\]
Das entspricht im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer Geraden (mit positiver oder negativer Steigung) durch den Ursprung. Die Formel kannst du auch im Beschleunigungs-Zeit-Diagramm erkennen, wo die gesamte Geschwindigkeitsänderung als Rechtecksfläche unter der Kurve zu sehen ist (Bild 3.29 Mitte).
3.5.2.3 Ort
Beginnt die gleichmäßig beschleunigte Bewegung zum Zeitpunkt \(t=0\) am Ort \(s=0\), dann gilt die Formel:
\[\begin{equation} s =\frac{v\cdot t}{2} =\frac{(a\cdot t)\cdot t}{2} =\frac{a\cdot t^2}{2} \tag{3.9} \end{equation}\]
Das entspricht im Orts-Zeit-Diagramm einer Parabel durch den Ursprung. Die Formel kannst du auch im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm erkennen, wo die gesamte Ortsänderung als Dreiecksfläche (die Hälfte der Rechtecksfläche) unter der Kurve zu sehen ist (Bild 3.29 oben).
In diesem Fall entspricht zu jeder Zeit der Betrag des Ortes auch dem bis zu dieser Zeit zurückgelegten Weg!
3.5.3 Freier Fall
Als freier Fall (engl. free fall) wird die Bewegung eines zunächst ruhenden Körpers, der nur durch die Schwerkraft beeinflusst wird, bezeichnet (Bild 3.30).
Schon Galileo Galilei hat mit seinen Fallversuchen gezeigt: Spielt der Luftwiderstand keine Rolle (zum Beispiel in einer evakuierten Röhre), bewegen sich alle Massen mit derselben konstanten Beschleunigung im freien Fall Richtung Erdboden. Es handelt sich dabei also um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. In diesem Fall wird die Beschleunigung als Fallbeschleunigung bezeichnet.
3.5.4 Fallbeschleunigung
Für die Fallbeschleunigung (engl. gravitational acceleration), die ein Körper im Freier Fall erfährt, wird üblicherweise das Formelzeichen \(g\) verwendet, um sie von einer allgemeinen Beschleunigung \(a\) zu unterscheiden. Ihre Größe beträgt für Deutschland, Österreich und die Schweiz etwa \(g=9.81\;\mathrm{m/s^2}\).
Die Größe der Fallbeschleunigung auf der Erde von Ort zu Ort verschieden. Sie wird daher auch als Ortsfaktor bezeichnet. Die Fallbeschleunigung auf der Erde beträgt zwischen \(g=9{,}76\;\mathrm{m/s^2}\) und \(g=9{,}83\;\mathrm{m/s^2}\). Für diese Ortsabhängigkeit gibt es verschiedene Ursachen:
- die durch die Erdrotation verursachte Zentrifugalbeschleunigung,
- unterschiedliche Stärke der Gravitation aufgrund der Erdabplattung,
- Unregelmäßigkeiten wie Berge, Täler und Dichteänderungen.
Merkhilfe: Bildest du das Quadrat der Kreiszahl \(\pi\), erhältst du die Zahl \(9{,}869\ldots\), die sehr Nahe an dem Wert für die Fallbeschleunigung bei uns von \(9.81\) liegt. Warum das kein Zufall ist, erfährst du im Abschnitt über das Sekundenpendel. Benötigst du nur eine Abschätzung, kannst du auch mit dem gerundeten Wert \(g\approx 10\;\mathrm{m/s^2}\) rechnen.
Entfernst du dich von der Erdoberfläche, nimmt die Fallbeschleunigung mit dem Quadrat des Abstandes ab (Bild 3.31).
Die Fallbeschleunigung hängt hauptsächlich von der Masse eines Himmelskörpers ab. Deshalb beträgt die Fallbeschleunigung auf der Mondoberfläche nur rund \(1{,}62\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\). Also ungefähr 1/6 der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche. Auch der Planet Mars ist kleiner und hat weniger Masse als die Erde. Der mittlere Ortsfaktor beträgt dort rund \(3{,}69\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\). In der Wikipedia findest du eine Liste von Fallbeschleunigungen auf weiteren Himmelskörpern.
Mehr über den Zusammenhang von Gravitation und Fallbeschleunigung findest du im Abschnitt über träge und schwere Masse weiter hinten im Buch.
Links:
- 122m hoher Fallturm in Bremen (Video: Drop Your Thesis!)
- Versuch: Fallschnur
3.5.5 Mathematische Beschreibung der Fallbewegung
Für die mathematische Beschreibung legen wir unser Koordinatensystem klugerweise so, dass wir es nur mit einer eindimensionalen Bewegung zu tun haben (Bild 3.32).
Der Ort 0 (Höhe null) bezeichnet den Erdboden. Unsere Bewegung beginnt daher am Ort \(h_0\) (Anfangshöhe). Da wir das Koordinatensystem so gelegt haben, dass „oben“ der positiven y-Richtung und „unten“ der negativen y-Richtung entspricht, hat die Fallbeschleunigung ein negatives Vorzeichen, da sie ja nach unten zeigt. Wir verwenden also \(g=-9.81\;\mathrm{m/s^2}\).
Da es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, können wir die Gleichungen für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung aus diesem Kapitel übernehmen und an unsere Situation geringfügig anpassen.
\[ \begin{aligned} s &= h_0 + \frac{g}{2}\cdot t^2 \\ v &= g\cdot t \\ a &= g \end{aligned} \]
3.5.6 Anwendungsbeispiel: Fallbewegung
Eine Person lässt sich aus einem Fenster im 3. Stock (Höhe \(10\;\mathrm{m}\)) in ein Sprungtuch der Feuerwehr fallen. Berechne a) die Falldauer und b) die Endgeschwindigkeit.
Zunächst wollen wir berechnen, wie lange der freie Fall dauert. Dazu nehmen wir die Ortsgleichung und setzen für den Ort 0 ein (denn am Boden endet der Fall) und formen um:
\[ \begin{aligned} 0 = {} & h_0 + \frac{g}{2}\cdot t_{end}^2 &&\qquad\Bigr\rvert-h_0 \\ -h_0 = {} & \frac{g}{2}\cdot t_{end}^2 &&\qquad\Bigr\rvert\cdot 2 \\ -2\cdot h_0 = {} & g\cdot t_{end}^2 &&\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{g} \\ \frac{-2\cdot h_0}{g} = {} & t_{end}^2 &&\qquad\Bigr\rvert\; \sqrt{(\ldots)}\\ \sqrt{\frac{-2\cdot h_0}{g}} = {} & t_{end} \\ \end{aligned} \]
Einsetzen der Werte liefert:
\[ t_{end} = \sqrt{\frac{-2\cdot h_0}{g}} = \sqrt{\frac{-2\cdot 10}{-9.81}} = 1{,}42\ldots\;\mathrm{s} \]
Als Nächstes interessiert uns, wie groß die Geschwindigkeit des Springers beim Eintauchen in das Sprungtuch ist. Dazu setzen wir die eben errechnete Fallzeit \(t_{end}\) in die Gleichung für die Geschwindigkeit ein:
\[ \begin{aligned} v_{end} = {} & g\cdot t_{end} \\ v_{end} = {} & -9.81\cdot 1{,}42\ldots \\ v_{end} = {} & -14{,}00\ldots\;\mathrm{m/s} \\ \end{aligned} \]
Das sind rund \(-50\;\mathrm{km/h}\)!
3.5.7 Unabhängigkeitsprinzip von Bewegungen
Schaust du dich in der Natur um, wirst du sehr unterschiedliche Bewegungen beobachten – von einfachen bis zu sehr komplizierten. Zu unserem Glück lassen sich auch die kompliziertesten Bewegungen meist als Kombination von einfacheren Bewegungen beschreiben. Die gleichförmige Bewegung und die gleichmäßig beschleunigte Bewegung kannst du dir wie Bausteine von Bewegungen vorstellen, die du durch einfache Addition (und im zwei- oder dreidimensionalen Fall durch Vektoraddition) im Baukastenprinzip zu komplizierteren Bewegungen zusammensetzen kannst. Dieses Unabhängigkeitsprinzip von Bewegungen oder Superpositionsprinzip (engl. principle of compound motion) wurde schon von Galileo Galilei entdeckt.
In Bild 3.33 siehst du ein einfaches Beispiel für dieses Prinzip. Ein Boot bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit \(\vec{v}_\text{B}\) und steuert direkt auf das gegenüberliegende Ufer zu. Fährt das Boot auf einem Fluss, wird es abgetrieben. Hat das Wasser des Flusses die Strömungsgeschwindigkeit \(\vec{v}_\text{W}\), erhältst du die Gesamtgeschwindigkeit \(\vec{v}\) des Bootes durch die unabhängige Überlagerung beider gleichförmiger Bewegungen.
Ein weiteres Beispiel siehst du in Bild 3.34. Schießt du einen blauen Ball waagrecht über eine Tischkante und lässt zeitgleich einen roten Ball fallen, befinden sich beide Körper zu jeder Zeit auf derselben Höhe. Die senkrechte Fallbewegung ist also unabhängig von der waagrechten Bewegung. Die Bewegung des blauen Balles kann also als die ungestörte Überlagerung einer Fallbewegung mit einer gleichförmigen Bewegung behandelt werden.
Links:
- Gedanken-Experiment: Jäger und Affe und hier das tatsächliche Experiment mit einem Stofftier dazu.
3.5.8 Anwendungsbeispiel: Anhalteweg
Berechne den Anhalteweg eines Autos bei einer Geschwindigkeit von \(100\;\mathrm{km/h}\) auf einem ebenen Straßenstück. Gehe bei deinen Berechnungen von einer Reaktionszeit von \(1\;\mathrm{s}\) und von einer Bremsverzögerung von \(7{,}5\;\mathrm{m/s^2}\) aus.
Als Anhalteweg (engl. stopping sight distance) wird die Weglänge bezeichnet, die ein Fahrzeug – vom Auftreten der Gefahr bis zum Stillstand – zurücklegt. Der Anhalteweg setzt sich aus zwei Längen zusammen:
Reaktionsweg: (engl. reaction distance) Die Wegstrecke, die das Fahrzeug ungebremst während der Reaktionszeit des Menschen zurücklegt. Die Reaktionszeit erstreckt sich vom Auftreten der Gefahr bis zum Betätigen des Bremspedals. Die Reaktionszeit ist abhängig von der Aufmerksamkeit der Person hinter dem Steuer. In der Praxis wird von einer durchschnittlichen Reaktionszeit von \(t_\text{R} = 1\;\mathrm{s}\) ausgegangen. Dieser Teil der Bewegung kann durch eine gleichförmige Bewegung angenähert werden.
Bremsweg: (engl. braking distance) Die Wegstrecke, die vom Einsetzen der Bremswirkung bis zum Stillstand des Fahrzeuges, zurückgelegt wird. Vom Gesetzgeber ist auf trockener Straße eine Mindestbremsverzögerung für Kraftfahrzeuge \(5\;\mathrm{m/s^2}\) vorgeschrieben. Dieser Teil der Bewegung kann durch eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung angenähert werden.
Der zurückgelegte Weg bei einer konstanten Geschwindigkeit (Reaktionsweg) lautet (Gleichung (3.7)):
\[ s_\text{R} = v_0 \cdot t_\text{R} \]
Der zurückgelegte Weg bei einer konstanten Beschleunigung (Bremsweg) lautet (Gleichung (3.9)):
\[\begin{equation} s_\text{B} = \frac{a}{2}\cdot t_\text{B}^2 \tag{3.10} \end{equation}\]
Um die Dauer des Bremsmanövers \(t_\text{B}\) zu erhalten, verwenden wir die Geschwindigkeitsgleichung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (Gleichung (3.8)). Das Fahrzeug kommt zum Stillstand, wenn seine Gesamtgeschwindigkeit (Anfangsgeschwindigkeit abzüglich der Verzögerung durch die Bremswirkung) null wird:
\[ \begin{aligned} v_{0}-a\cdot t_\text{B} = {} & 0 \\ v_{0} = {} & a\cdot t_\text{B} &&\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{a}\\ t_\text{B} = {} & \frac{v_{0}}{a} \\ \end{aligned} \]
Die Bremszeit setzen wir in die Gleichung für den Bremsweg (3.10) ein und erhalten den Bremsweg in Abhängigkeit von der Anfangsgeschwindigkeit und der Bremsverzögerung:
\[ \begin{aligned} s_\text{B} = {} & \frac{a}{2}\cdot t_\text{B}^2 \\ = {} & \frac{a}{2}\cdot \left(\frac{v_{0}}{a}\right)^2 \\ = {} & \frac{\cancel{a}}{2}\cdot \frac{v_{0}^2}{a^{\cancel{2}}} \\ = {} & \frac{v_{0}^2}{2\cdot a} \\ \end{aligned} \]
Der Anhalteweg \(s_\text{A}\) ist die Summe aus Reaktions- und Bremsweg:
\[ \begin{aligned} s_\text{A} = {} & s_\text{R} + s_\text{B} \\ = {} & v_0 \cdot t_\text{R} + \frac{v_{0}^2}{2\cdot a} \\ \end{aligned} \]
Bevor wir die Werte in diese Formel einsetzen können, müssen wir die Einheiten aus der Angabe noch auf SI-Einheiten bringen. Die Umrechnung von Kilometer pro Stunde in Meter pro Sekunde lautet:
\[ v_0 = 100\;\mathrm{km/h} = \frac{100}{3{,}6}\;\mathrm{m/s} = 27{,}77\ldots\;\mathrm{m/s} \]
Damit erhalten wir für den Anhalteweg:
\[ \begin{aligned} s_\text{A} = {} & 27{,}77\ldots\;\mathrm{m/s} \cdot 1\;\mathrm{s} + \frac{(27{,}77\ldots\;\mathrm{m/s})^2}{2\cdot 7{,}5\;\mathrm{m/s^2}} \\ = {} & 27{,}77\ldots\;\mathrm{m} + 51{,}44\ldots\;\mathrm{m} \\ = {} & 79{,}21\ldots\;\mathrm{m} \\ \end{aligned} \]
In Bild 3.35 siehst du den Anhalteweg für unterschiedliche Geschwindigkeiten. Beachte, dass der Reaktionsweg linear, der Bremsweg aber mit dem Quadrat der Geschwindigkeit steigt! In einem späteren Kapitel wirst du erfahren, dass ein Fahrzeug mit doppelter Geschwindigkeit eine viermal so große Bewegungsenergie besitzt.
