3.5 Einfache Bewegungsformen

In den letzten Kapiteln hast du sehr viel über Geschwindigkeit und Beschleunigung erfahren und auch ihre Zusammenhänge in diversen Diagrammen kennengelernt.

id=fig-sinking-object caption=Sinken eines Körpers in Wasser

Für allgemeine Bewegungen sind die Formeln und Kurven recht kompliziert. Gelegentlich triffst du auf eine sehr einfache Bewegung, wie das Sinken eines Gegenstands in einer Flüssigkeit (Bild ??). In diesem Kapitel geht es um die gleichförmige Bewegung und die gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Wie im letzten Kapitel beschränken wir uns hier auf eindimensionale Bewegungen, also zum Beispiel ein Fahrzeug, das auf einer geraden Straße vor- und zurückfahren kann. Am Ende des Kapitels wirst du dann noch über das Unabhängigkeitsprinzip von Bewegungen erfahren.

3.5.1 Gleichförmige Bewegung

Bewegt sich ein Körper die ganze Zeit über mit einer konstanten Geschwindigkeit (ungleich null), wird von einer gleichförmigen Bewegung (engl. uniform motion) gesprochen. Das sinkende Objekt in einer Flüssigkeit in der Kapiteleinleitung ist ein Beispiel für eine gleichförmige Bewegung.

In diesem Fall vereinfachen sich die Formeln und Graphen für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Gegenüberstellung Bewegungs-Diagramme für die gleichförmige Bewegung

Bild 3.26: Gegenüberstellung Bewegungs-Diagramme für die gleichförmige Bewegung

3.5.1.1 Beschleunigung

Da es sich bei der gleichförmigen Bewegung aufgrund ihrer Definition schon um eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit handelt, ist die Beschleunigung zu allen Zeiten null, also gilt:

\[ a=0 \]

Entsprechend ist das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm zu allen Zeiten eine waagrechte Gerade durch den Ursprung (Bild 3.26 unten).

3.5.1.2 Geschwindigkeit

Auch die Geschwindigkeit ist bei einer gleichförmigen Bewegung zeitlich unveränderlich. Sie hat einen konstanten Wert ungleich null, also:

\[ v=k \]

Das entspricht im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer waagrechten Gerade (Bild 3.26 Mitte).

3.5.1.3 Ort

Beginnt die gleichförmige Bewegung zum Zeitpunkt 0 am Ort null, dann gilt die Formel:

\[ s=v\cdot t \]

Das entspricht im Orts-Zeit-Diagramm einer Geraden (mit positiver oder negativer Steigung) durch den Ursprung. Die Formel kannst du auch im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm erkennen, wo die gesamte Ortsänderung als Rechtecksfläche unter der Kurve zu sehen ist (Bild 3.26 oben).

In diesem Fall entspricht zu jeder Zeit der Betrag des Ortes auch dem bis zu dieser Zeit zurückgelegten Weg!

3.5.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Wird ein Körper während seiner gesamten Bewegung konstant beschleunigt, handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (engl. uniformly accelerated motion). Auch in diesem Fall vereinfachen sich die Formeln und die Graphen für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Gegenüberstellung Bewegungs Diagramme für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Bild 3.27: Gegenüberstellung Bewegungs Diagramme für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Diese Bewegungsform findest du überall dort, wo eine konstante Kraft (4.2.4) auf einen Körper wirkt, wie zum Beispiel beim freien Fall (3.5.3) aus geringer Höhe.

3.5.2.1 Beschleunigung

Schon aufgrund ihrer Definition ist die Beschleunigung bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung konstant (im Normalfall ungleich null), daher gilt:

\[ a=k \]

Das entspricht im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer waagrechten Gerade (Bild 3.27 unten).

3.5.2.2 Geschwindigkeit

Beginnt die gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe (die Geschwindigkeit \(v=0\) zum Zeitpunkt \(t=0\)), kann die Momentangeschwindigkeit aus der Momentanbeschleunigung mit der folgenden Formel berechnet werden:

\[ v=a\cdot t \]

Das entspricht im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer Geraden (mit positiver oder negativer Steigung) durch den Ursprung. Die Formel kannst du auch im Beschleunigungs-Zeit-Diagramm erkennen, wo die gesamte Geschwindigkeitsänderung als Rechtecksfläche unter der Kurve zu sehen ist (Bild 3.27 Mitte).

3.5.2.3 Ort

Beginnt die gleichmäßig beschleunigte Bewegung zum Zeitpunkt \(t=0\) am Ort \(s=0\), dann gilt die Formel:

\[ s =\frac{v\cdot t}{2} =\frac{(a\cdot t)\cdot t}{2} =\frac{a\cdot t^2}{2} \]

Das entspricht im Orts-Zeit-Diagramm einer Parabel durch den Ursprung. Die Formel kannst du auch im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm erkennen, wo die gesamte Ortsänderung als Dreiecksfläche (die Hälfte der Rechtecksfläche) unter der Kurve zu sehen ist (Bild 3.27 oben).

In diesem Fall entspricht zu jeder Zeit der Betrag des Ortes auch dem bis zu dieser Zeit zurückgelegten Weg!

3.5.3 Freier Fall

Als freier Fall (engl. free fall) wird die Bewegung eines zunächst ruhenden Körpers, der nur durch die Schwerkraft beeinflusst wird, bezeichnet (Bild 3.28).

Freier Fall eines Tennisballs

Bild 3.28: Freier Fall eines Tennisballs

Schon Galileo Galilei hat mit seinen Fallversuchen (A.1) gezeigt: Spielt der Luftwiderstand keine Rolle (zum Beispiel in einer evakuierten Röhre), bewegen sich alle Massen mit derselben konstanten Beschleunigung im freien Fall Richtung Erdboden. Es handelt sich dabei also um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (3.5.2). In diesem Fall wird die Beschleunigung als Fallbeschleunigung bezeichnet.

3.5.4 Fallbeschleunigung

Für die Fallbeschleunigung (engl. gravitational acceleration), die ein Körper im Freier Fall (3.5.3) erfährt, wird üblicherweise das Formelzeichen \(g\) verwendet, um sie von einer allgemeinen Beschleunigung \(a\) zu unterscheiden. Ihre Größe beträgt für Deutschland, Österreich und die Schweiz etwa \(g=9.81\;\mathrm{m/s^2}\).

Die Größe der Fallbeschleunigung auf der Erde von Ort zu Ort verschieden. Sie wird daher auch als Ortsfaktor bezeichnet. Die Fallbeschleunigung auf der Erde beträgt zwischen \(g=9{,}76\;\mathrm{m/s^2}\) und \(g=9{,}83\;\mathrm{m/s^2}\). Entfernst du dich von der Erdoberfläche, nimmt die Fallbeschleunigung mit dem Quadrat des Abstandes ab (Bild @ref(fig:id=fig-gravitational-acceleration-on-the-earths-surface-and-in-space)).

Fallbeschleunigung auf der Erde

Bild 3.29: Fallbeschleunigung auf der Erde

Die Fallbeschleunigung hängt hauptsächlich von der Masse eines Himmelskörpers ab. Deshalb beträgt die Fallbeschleunigung auf der Mondoberfläche nur rund \(1{,}62\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\). Also ungefähr 1/6 der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche. Auch der Planet Mars ist kleiner als die Erde. Der mittlere Ortsfaktor beträgt dort rund \(3{,}69\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\). In der Wikipedia findest du eine Liste von Fallbeschleunigungen auf weiteren Himmelskörpern.

Mehr über den Zusammenhang von Gravitation und Fallbeschleunigung findest du im Abschnitt über träge und schwere Masse (6.3.7) weiter hinten im Buch.

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3.5.5 Mathematische Beschreibung der Fallbewegung

Für die mathematische Beschreibung legen wir unser Koordinatensystem klugerweise so, dass wir es nur mit einer eindimensionalen Bewegung zu tun haben (Bild 3.30).

Koordinatensystem für Aufgaben des Freien Falls

Bild 3.30: Koordinatensystem für Aufgaben des Freien Falls

Der Ort 0 (Höhe null) bezeichnet den Erdboden. Unsere Bewegung beginnt daher am Ort \(h_0\) (Anfangshöhe). Da wir das Koordinatensystem so gelegt haben, dass „oben“ der positiven y-Richtung und „unten“ der negativen y-Richtung entspricht, hat die Fallbeschleunigung ein negatives Vorzeichen, da sie ja nach unten zeigt. Wir verwenden also \(g=-9.81\;\mathrm{m/s^2}\).

Da es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, können wir die Gleichungen für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung aus diesem Kapitel übernehmen und an unsere Situation geringfügig anpassen.

\[ \begin{aligned} s &= h_0 + \frac{g}{2}\cdot t^2 \\ v &= g\cdot t \\ a &= g \end{aligned} \]

3.5.6 Rechenbeispiel zur Fallbewegung

Eine Person lässt sich aus einem Fenster im 3. Stock (Höhe \(10\;\mathrm{m}\)) in ein Sprungtuch der Feuerwehr fallen. Berechne a) die Falldauer und b) die Endgeschwindigkeit.

Zunächst wollen wir berechnen, wie lange der freie Fall dauert. Dazu nehmen wir die Ortsgleichung und setzen für den Ort 0 ein (denn am Boden endet der Fall) und formen um:

\[ \begin{aligned} 0 = {} & h_0 + \frac{g}{2}\cdot t_{end}^2 &&\qquad\Bigr\rvert-h_0 \\ -h_0 = {} & \frac{g}{2}\cdot t_{end}^2 &&\qquad\Bigr\rvert\cdot 2 \\ -2\cdot h_0 = {} & g\cdot t_{end}^2 &&\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{g} \\ \frac{-2\cdot h_0}{g} = {} & t_{end}^2 &&\qquad\Bigr\rvert\; \sqrt{(\ldots)}\\ \sqrt{\frac{-2\cdot h_0}{g}} = {} & t_{end} \\ \end{aligned} \]

Einsetzen der Werte liefert:

\[ t_{end} = \sqrt{\frac{-2\cdot h_0}{g}} = \sqrt{\frac{-2\cdot 10}{-9.81}} = 1{,}42...\;\mathrm{s} \]

Als Nächstes interessiert uns, wie groß die Geschwindigkeit des Springers beim Eintauchen in das Sprungtuch ist. Dazu setzen wir die eben errechnete Fallzeit \(t_{end}\) in die Gleichung für die Geschwindigkeit ein:

\[ \begin{aligned} v_{end} = {} & g\cdot t_{end} \\ v_{end} = {} & -9.81\cdot 1{,}42... \\ v_{end} = {} & -14{,}00...\;\mathrm{m/s} \\ \end{aligned} \]

Das sind rund \(-50\;\mathrm{km/h}\)!

3.5.7 Unabhängigkeitsprinzip von Bewegungen

Die gleichförmige Bewegung und die gleichmäßig beschleunigte Bewegung kannst du dir wie Bausteine von Bewegungen vorstellen, die du durch einfache Addition (und im zwei- oder dreidimensionalen Fall durch Vektoraddition) im Baukastenprinzip zu komplizierteren Bewegungen zusammensetzen kannst. Dieses Unabhängigkeitsprinzip von Bewegungen oder Superpositionsprinzip (engl. principle of compound motion) wurde schon von Galileo Galilei entdeckt.

Unabhängigkeitsprinzip bei einem Boot in einem Fluss

Bild 3.31: Unabhängigkeitsprinzip bei einem Boot in einem Fluss

In Bild 3.31 siehst du ein einfaches Beispiel für dieses Prinzip. Ein Boot bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit \(\vec{v}_\text{B}\) und steuert direkt auf das gegenüberliegende Ufer zu. Fährt das Boot auf einem Fluss, wird es abgetrieben. Hat das Wasser des Flusses die Strömungsgeschwindigkeit \(\vec{v}_\text{W}\), erhältst du die Gesamtgeschwindigkeit \(\vec{v}\) des Bootes durch die unabhängige Überlagerung beider gleichförmiger Bewegungen.

Unabhängigkeitsprinzip beim waagrechten Wurf

Bild 3.32: Unabhängigkeitsprinzip beim waagrechten Wurf

Ein weiteres Beispiel siehst du in Bild 3.32. Schießt du einen blauen Ball waagrecht über eine Tischkante und lässt zeitgleich einen roten Ball fallen, befinden sich beide Körper zu jeder Zeit auf derselben Höhe. Die senkrechte Fallbewegung ist also unabhängig von der waagrechten Bewegung. Die Bewegung des blauen Balles kann also als die ungestörte Überlagerung einer Fallbewegung mit einer gleichförmigen Bewegung behandelt werden.

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