2.3.1 Physikalische Größen

In der Mathematik arbeitest du oft nur mit reinen Zahlen. In der Physik aber, wo jede Formel durch Experimente bestätigt oder widerlegt wird, kommen fast nur gemessene Größen vor, die aus dem Produkt einer Zahl und einer Maßeinheit (engl. units of measurement) bestehen. So ein Produkt aus Zahl und Einheit heißt physikalische Größe (engl. physical quantity). Hier einige Beispiele physikalischer Größen:

• ein Turm hat eine Höhe von \(17{,}5\;\mathrm{m}\)
• ein Experiment dauert \(6{,}3\;\mathrm{s}\)
• ein Auto hat eine Masse von \(1125\;\mathrm{kg}\)

2.3.2 Internationales Einheitensystem

Messergebnisse lassen sich am einfachsten vergleichen, wenn sie in derselben Einheit vorliegen. Insbesondere dann, wenn Physikerinnen und Physiker aus mehreren Ländern zusammenarbeiten. Ende des 18. Jahrhunderts wurde daher die französische Akademie der Wissenschaften damit beauftragt, ein einheitliches System von Maßen zu entwerfen. Zunächst wurde das neue Maßsystem nur in ganz Frankreich verwendet. Nach und nach haben weitere Länder das Internationales Einheitensystem oder SI-System (französisch für système international d’unités) übernommen und heute wird es (fast) auf der ganzen Welt verwendet. Eine der wenigen Ausnahmen sind die USA, die im Alltag das angloamerikanische Maßsystem verwenden.

Heute umfasst das SI-System sieben Basiseinheiten.

2.3.3 Basiseinheiten

Bild 2.13: Die sieben SI Basiseinheiten

Im Internationales Einheitensystem sind sieben physikalische Grundgrößen und deren Einheiten (SI-Basiseinheiten) festgelegt (Bild 2.13). Diese sind:

• Meter (m), als Einheit der Länge (engl. length)
• Kilogramm (kg), als Einheit der Masse (engl. mass)
• Sekunde (s), als Einheit der Zeit (engl. time)
• Ampere (A), als Einheit der elektrischen Stromstärke (engl. electric current)
• Kelvin (K), als Einheit der thermodynamischen Temperatur (engl. thermodynamic temperature)
• Mol (mol), als Einheit der Stoffmenge (engl. amount of substance)
• Candela (cd), als Einheit der Lichtstärke (engl. luminous intensity)

Die exakten Definitionen der einzelnen Basiseinheiten kannst du in der Tabelle der SI-Basiseinheiten in der Wikipedia nachschlagen.

Übrigens: Die Einheitenzeichen werden dann großgeschrieben, wenn die Einheit nach einer Person benannt wurde. Bei den Basiseinheiten sind das die Einheiten Kelvin (nach William Thomson, 1. Baron Kelvin) und Ampere (nach André-Marie Ampère).

2.3.4 Einheit der Zeit

Was ist Zeit? Auf diese Frage gibt es keine endgültige Antwort, obwohl sich schon viele kluge Köpfe darüber Gedanken gemacht haben. Albert Einstein hat auf diese Frage einmal geantwortet: „Zeit ist das, was man an der Uhr abliest“. Obwohl das natürlich nichts erklärt, wollte er damit vermutlich ausdrücken, dass Zeit für die Physik auch dann nützlich ist, wenn wir uns auf eine rein praktische Definition beschränken: Zeit ist die Größe, mit der wir Veränderungen messen. Mit „Veränderung“ ist zum Beispiel die Änderung des Ortes eines Körpers, die Änderung seiner Temperatur oder seiner Form gemeint.

Ebenso wie der Raum ist auch die Zeit kontinuierlich. Um Zeit messen zu können, müssen wir künstlich ein Zeitmaß (Unterteilung der Zeit) festlegen. Für die Definition einer Zeiteinheit eignet sich prinzipiell jeder periodische Vorgang. Der wohl auffälligste periodische Vorgang in der Natur ist der Tag-Nacht-Zyklus. Die SI-Einheit der Zeit ist die Sekunde (\(1\;\mathrm{s}\) und nicht \(1\;\mathrm{sec}\)!) und basiert auf der Tageslänge. Die Länge eines wahren Sonnentages – gemessen von Sonnenhöchststand zu Sonnenhöchststand – ändert sich im Laufe eines Jahres um bis zu einer Minute. Daher wird der über ein Jahr gemittelte Durchschnittswert eines Sonnentages verwendet. Die Sekunde wurde als der 86.400-ste Teil der Dauer dieses mittleren Sonnentages festgelegt.

Bild 2.14: Zehn Sekunden auf einer Armbanduhr

Von der Sekunde leiten sich noch folgende gebräuchliche Zeiteinheiten her:

• Minute (\(1\;\mathrm{min}\)): Die Dauer von 60 Sekunden.
• Stunde (\(1\;\mathrm{h}\) von engl. hour): Die Dauer von 60 Minuten oder \(60\cdot 60=3\,600\;\mathrm{s}\).
• Tag (\(1\;\mathrm{d}\) von engl. day): Die Dauer von 24 Stunden oder \(24\cdot 60\cdot 60=86\,400\;\mathrm{s}\).
• Jahr (\(1\;\mathrm{y}\) von engl. year): Die Dauer von \(365{,}25\) Tagen oder \(365{,}25\cdot 24\cdot 60\cdot 60=31\,557\,600\;\mathrm{s}\).

Für heutige Maßstäbe ist diese Definition der Sekunde zu ungenau. Eine sehr genaue, heute gebräuchliche Definition der Sekunde ist die der Atomsekunde: Ein mit Licht angeregtes Cäsium-133-Atom gibt kurze Zeit später Energie in Form eines Photons ab, dessen Frequenz exakt \(9{.}192{.}631{.}770\;\mathrm{Hz}\) beträgt.

Können wir sicher sein, dass die Frequenz dieses Photons überall und immer gleich ist? Die Antwort liefert die Quantenmechanik. Das Aussenden des Photons entspricht dem Übergang zwischen zwei diskreten Energieniveaus, deren Differenz immer zu derselben Frequenz führt.

2.3.5 Einheit der Länge

Wir betrachten den Raum und damit auch die Länge als kontinuierlich. Um die Eigenschaft Länge messen zu können, müssen wir daher künstlich ein Längenmaß (Unterteilung von Länge) einführen. Die SI-Einheit der Länge ist der Meter (\(1\;\mathrm{m}\)).

Mitte des 17. Jahrhunderts wurde vorgeschlagen, die Einheit Meter über die Länge eines Pendels mit fixer Periodendauer zu definieren. So wäre es jeder Person möglich, an seinem Ort \(1\;\mathrm{m}\) zu bestimmen. Als sich durch Messungen jedoch zeigte, dass der Wert der Fallbeschleunigung selbst durch geologische Strukturen wie Berge oder Tiefseegräben ändert, wurde diese Idee zugunsten einer fixen Einheitslänge verworfen. So wurde das Meter erstmals als der 10 millionste Teil der Entfernung zwischen Nordpol und Äquator (Bild 2.15) festgelegt.

Bild 2.15: Ursprüngliche Definition des Meters

Weil sich das in der Praxis schwer nachmessen lässt, wurde von dieser Länge ein Referenzstück – das sogenannte Urmeter (engl. prototype metre bar) – hergestellt und in Paris aufbewahrt.

Mit der Zeit konnten immer kleinere Strecken gemessen werden und die Urmeter-Definition wurde schließlich zu ungenau. Im Jahr 1960 wurde der Meter dann als Vielfaches der Wellenlänge eines von einem Kr-86 Nuklids ausgesendeten Lichts neu definiert.

Aktuell ist die Einheit Meter über die Einheit Sekunde definiert: Es ist jene Strecke, die das Licht im Vakuum in einer Zeit von \({}^{1}/{}_{299{.}792{.}458}\) Sekunden durchläuft.

2.3.6 Einheit der Masse

Kaufst du Gemüse – zum Beispiel Gurken – zahlst du pro Stück. Je kleiner das Gemüse, desto weniger sinnvoll ist dieses Vorgehen. Spätestens bei Erbsen oder Linsen ist das Abzählen zu mühsam. Hier wird eine Vergleichsmasse verwendet, die mithilfe einer Balkenwaage ins Gleichgewicht gebracht wird. Als Standard-Vergleichsmasse wurde die Masse von einem Kubikdezimeter (\(1\;\mathrm{dm^3}\)) Wasser bei Normalbedingungen gewählt. Sie diente der SI-Einheit für Masse als Vorbild und wird als Kilogramm (\(1\;\mathrm{kg}\)) bezeichnet. Ein Referenzstück gleicher Masse, das sogenannte Urkilogramm (engl. prototype of the kilogram) wurde hergestellt und in Paris aufbewahrt (Bild 2.16).

Bild 2.16: Urkilogramm (diente bis 2019 zur Definition des Kilogramms)

Mit der Zeit wurde diese Definition zu ungenau. Aktuell wird die Einheit Kilogramm durch die Einheit Sekunde, die Vakuumlichtgeschwindigkeit und die Planck-Konstante festgelegt.

Im Laufe dieses Buches wirst du wichtige Eigenschaften kennenlernen, die mit der Masse eines Körpers zusammenhängen, wie zum Beispiel den Widerstand gegen eine Bewegungsänderung oder die Krümmung der Raumzeit.

2.3.7 Reproduzierbare Eichung

Die ersten Länder einigten sich 1875 auf eine gemeinsame Längeneinheit – das Meter. Frühe Basiseinheiten hatten einen direkten Bezug zur Erde. So wurde als Meter ursprünglich der 10.000.000-ste Teil der Entfernung zwischen Nordpol und Äquator festgelegt und als Sekunde der 86.400-ste Teil eines mittleren Sonnentages.

Immer genauere Messmethoden und Fortschritte in der Technik machten es im Laufe der Zeit mehrmals notwendig, das SI-System zu überarbeiten. Bezieht sich die Definition einer Größe auf ein bestimmtes Objekt wie zum Beispiel das Urkilogramm oder das Urmeter, muss die Eichung eines Messgerätes theoretisch immer in Paris erfolgen, wo vor Ort mit dem Original verglichen werden kann. In der Praxis wurden natürlich äußerst exakte Kopien angefertigt (Bild 2.17 und diese an andere Länder weiter gegeben. Eine exakte Eichung ohne Zugang zu dem Original oder einer Kopie davon ist aber unmöglich.

Bild 2.17: Kopien des Urmeters (gültig bis 1960)

Damit ist jetzt Schluss. Im Jahr 2019 kam es – vermutlich zum allerletzten Mal – zu einer Überarbeitung des SI-Systems. In dieser Neudefinition sind jetzt alle Basiseinheiten unabhängig von veränderlichen Größen oder Objekten festgelegt. Den Naturkonstanten wie zum Beispiel der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum oder der Elementarladung wurden in dieser Definition feste Zahlenwerte zugewiesen und alle Basiseinheiten leiten sich direkt aus ihnen ab. Eine Eichung ist damit an jedem Ort im Universum durchführbar. Und noch besser: Da die SI-Einheiten nun absolut festgelegt sind, müssen sie in Zukunft nicht neu definiert werden, selbst wenn sich die Genauigkeit der Messmethoden verbessern.

2.3.8 Abgeleitete Einheiten

Alle Einheiten für weitere physikalische Größen in der Physik sind Kombinationen aus diesen sieben Basiseinheiten. Diese werden abgeleitete SI-Einheiten genannt, zum Beispiel:

• Volumen (\(\text{Kubikmeter} = \text{Meter}\cdot \text{Meter}\cdot\text{Meter}\))
• Frequenz (\(1/\text{Sekunde}\))
• Geschwindigkeit (\(\text{Meter}/\text{Sekunde}\))

Einige abgeleiteten SI-Einheiten haben einen eigenen Namen. So heißt die Einheit der Frequenz zum Beispiel Hertz. Meistens handelt es sich dabei um den Namen einer Physikerin oder eines Physikers, um sie/ihn zu ehren. Um beim Beispiel der Frequenz zu bleiben: Die Einheit wurde nach dem deutschen Physiker Heinrich Hertz benannt, der elektromagnetische Wellen erforscht hat.

2.3.9 Andere Einheitensysteme

Das SI-System ist auch unter dem Namen MKS-Einheitensystem (Meter, Kilogram, Sekunde) bekannt. Früher wurde bei uns häufig das CGS-Einheitensystem (Zentimeter (engl. Centimeter), Gramm, Sekunde) verwendet. Vor allem in englischsprachigen Ländern wird oft noch das angloamerikanische Maßsystem oder FPS-Einheitensystem (Feet, Pound, Second) verwendet.

2.3.10 Rechnen mit Einheiten

Mit Einheiten kannst du rechnen wie mit Variablen in der Mathematik. Hier einige Beispiele:

• Wenn du eine Fläche berechnest, multiplizierst du zwei Längen, also \(\mathrm{m}\cdot\mathrm{m}\) und das schreibst du als \(\mathrm{m}^2\) (Quadratmeter) an.

• Wenn du zwei Längen in der Einheit Kilometer multiplizierst, schreibst du \(\mathrm{km}\cdot\mathrm{km}\) und das ergibt \(\mathrm{km}^2\).

• Wenn du ein Volumen eines Quaders gegeben hast und durch die Höhe (also eine Länge) dividierst, erhältst du eine Fläche. \[ \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{m}} =\mathrm{m}^2 \]

2.3.11 Umrechnen von Einheiten

Da Einheiten mehr oder minder beliebig festgelegt werden können, kann eine Eigenschaft (zum Beispiel Länge eines Körpers) durch unterschiedliche Einheiten angegeben werden (Bild 2.18).

Bild 2.18: Beispiel einer Längenangabe in Zentimeter und Zoll

Sind Werte in Nicht-SI-Einheiten (wie zum Beispiel Meile (engl. mile) oder Zoll (engl. inch)) gegeben musst du sie zuerst in SI-Einheiten umrechnen, bevor du mit ihnen rechnen kannst. Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie du Einheiten mit der Hand umrechnest. Am einfachsten verwendest du für die Umrechnung entsprechende Apps (Programme) oder Online-Dienste.

Links:

• Website: Beispiele Einheiten Umrechnen mit WolframAlpha
• Website: Beispiel Einheiten Umrechnen mit dem Google-Taschenrechner

2.3.12 Anwendungsbeispiel zum Umrechnen von Einheiten

Rechne die Längen \(12\;\mathrm{in}\) und \(12\;\mathrm{cm}\) in die jeweils andere Einheit um.

Schlägst du in der Literatur nach, findest du den Zusammenhang zwischen Zentimeter und Zoll als Gleichung gegeben:

\[\begin{equation} 1\;\mathrm{in} = 2{,}54\;\mathrm{cm} \tag{2.1} \end{equation}\]

Um die Länge \(12\;\mathrm{in}\) in Zentimeter zu erhalten, multiplizieren wir die Gleichung mit der gewünschten Länge in Zoll und erhalten direkt das Ergebnis:

\[\begin{align} 1\;\mathrm{in} = {} & 2{,}54\;\mathrm{cm}&&\qquad\Bigr\rvert\cdot 12 \\ 12\;\mathrm{in} = {} & 30{,}48\;\mathrm{cm} \\ \end{align}\]

Für die Umrechnung der Länge \(12\;\mathrm{cm}\) in Zoll gehen wir wieder von Gleichung (2.1) aus. Zunächst dividieren wir durch den Umrechnungsfaktor \(2{,}54\) um auf \(1\;\mathrm{cm}\) zu kommen. Anschließend multiplizieren wir die Gleichung mit der gewünschten Länge in Zentimeter um das Ergebnis zu erhalten:

\[\begin{align} 2{,}54\;\mathrm{cm} = {} & 1\;\mathrm{in} &&\qquad\Bigr\rvert :2{,}54 \\ 1\;\mathrm{cm} = {} & 0{,}39\ldots\;\mathrm{in} &&\qquad\Bigr\rvert\cdot 12 \\ 12\;\mathrm{cm} = {} & 4{,}72\ldots\;\mathrm{in} \\ \end{align}\]

Wenn du Einheiten „mit der Hand“ umrechnest beachte: Wird eine kürzere Einheitslänge (in unserem Beispiel Zentimeter) für die Längenangabe verwendet, werden mehr Teile benötigt, als bei einer längeren Einheitslänge (in unserem Beispiel Zoll, Bild 2.18). Überprüfe daher bei jedem Ergebnis, ob bei der größeren Einheit auch wirklich die kleinere Zahl steht.

2.3.13 Dimensionslose Größen

Gelegentlich kommen in der Physik auch dimensionslose Größen (engl. dimensionless quantities), also reine Zahlen, vor. Beispiele dafür sind:

• die Winkelangaben im Bogenmaß (Verhältnis zweier zwei Längen)
• die Mach-Zahl (Verhältnis zweier zwei Geschwindigkeiten)
• Quantenzahlen

Damit wir auf einen Blick erkennen können, was diese Zahlen ausdrücken, verwenden wir „Pseudo-Einheiten“, wie etwa \(\mathrm{rad}\) für Winkel im Bogenmaß.

In der Wikipedia findest du eine vollständige Liste aller dimensionslosen Größen in der Physik.

2.3.14 Dimensionsbetrachtung

Die Dimensionsbetrachtung (engl. dimensional analysis) ist ein einfacher Test, ob eine physikalische Formel (Beziehung zwischen physikalischen Größen) korrekt sein kann. Dazu werden auf beiden Seiten der Gleichung alle Symbole durch ihre Einheiten ersetzt. Stehen links und rechts des Gleichheitszeichens nicht dieselben Einheiten, kann es sich um keine physikalisch sinnvolle Beziehung handeln.

Als Beispiel betrachten wir die Formel für die Periodendauer eines Fadenpendels:

\[ T = 2\pi\cdot\sqrt{\frac{\ell}{g}} \]

In dieser Formel hat \(T\) die Dimension einer Zeit (\(\mathrm{s}\)), \(\ell\) die Dimension einer Länge (\(\mathrm{m}\)) und \(g\) die Dimension einer Beschleunigung (\(\mathrm{m/s^2}\)). Um anzudeuten, dass uns nur die Einheiten interessieren, schreiben wir die physikalischen Größen in eckigen Klammern. Dimensionslose Faktoren wie in unserem Beispiel \(2\pi\) kannst du weglassen – sie spielen bei der Dimensionsbetrachtung keine Rolle.

\[ \begin{aligned} {}[T] = {} & \sqrt{\frac{[\ell]}{[g]}} \\[1ex] \mathrm{s} = {} & \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m/s^2}}} \\[1ex] \mathrm{s} = {} & \sqrt{\cancel{\mathrm{m}}\cdot\frac{s^2}{\cancel{\mathrm{m}}}} \\[1ex] \mathrm{s} = {} & \sqrt{\mathrm{s^2}} \\[1ex] \mathrm{s} = {} & \mathrm{s} \\ \end{aligned} \]

Nur weil eine Dimensionsbetrachtung erfolgreich war, ist damit noch lange nicht gesagt, dass die getestete Formel auch tatsächlich einen in der Natur zu beobachtenden Zusammenhang ausdrückt – das kann nur das Experimente zeigen. Dass die Einheiten auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen, ist also nur – wie es in der Fachsprache ausgedrückt wird – eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung (engl. necessary but not sufficient condition) für die Richtigkeit einer physikalischen Formel.