2.3.1 Physikalische Größen

In der Mathematik arbeitest du oft nur mit reinen Zahlen. In der Physik aber, wo jede Formel durch Experimente bestätigt oder widerlegt wird, kommen fast nur gemessene Größen vor, die aus dem Produkt einer Zahl und einer Maßeinheit (engl. units of measurement) bestehen. So ein Produkt aus Zahl und Einheit heißt physikalische Größe (engl. physical quantity). Hier einige Beispiele physikalischer Größen:

• ein Turm hat eine Höhe von \(17{,}5\;\mathrm{m}\)
• ein Experiment dauert \(6{,}3\;\mathrm{s}\)
• ein Auto hat eine Masse von \(1125\;\mathrm{kg}\)

2.3.2 Internationales Einheitensystem

Messergebnisse lassen sich am einfachsten vergleichen, wenn sie in derselben Einheit vorliegen. Insbesondere dann, wenn Physikerinnen und Physikern aus mehreren Ländern zusammenarbeiten. Ende des 18. Jahrhunderts wurde daher die französische Akademie der Wissenschaften damit beauftragt, ein einheitliches System von Maßen zu entwerfen. Zunächst wurde das neue Maßsystem nur in ganz Frankreich verwendet. Nach und nach haben weitere Länder das Internationales Einheitensystem oder SI-System (französisch für système international d’unités) übernommen und heute wird es (fast) auf der ganzen Welt verwendet. Eine der wenigen Ausnahmen sind die USA, die im Alltag das angloamerikanische Maßsystem (2.3.6) verwenden.

Heute umfasst das SI-System sieben Basiseinheiten (2.3.3).

2.3.3 Basiseinheiten

Bild 2.13: Die sieben SI Basiseinheiten

Im Internationales Einheitensystem (2.3.2) sind sieben physikalische Grundgrößen und deren Einheiten (SI-Basiseinheiten) festgelegt (Bild 2.13). Diese sind:

• Meter (m), als Einheit der Länge
• Kilogramm (kg), als Einheit der Masse
• Sekunde (s), als Einheit der Zeit
• Ampere (A), als Einheit der Stromstärke
• Kelvin (K), als Einheit der Temperatur
• Mol (mol), als Einheit der Stoffmenge
• Candela (cd), als Einheit der Lichtstärke

Die exakten Definitionen der einzelnen Basiseinheiten kannst du in der Tabelle der SI-Basiseinheiten in der Wikipedia nachschlagen.

2.3.4 Reproduzierbare Eichung

Die ersten Länder einigten sich 1875 auf eine gemeinsame Längeneinheit – das Meter. Frühe Basiseinheiten hatten einen direkten Bezug zur Erde. So wurde als Meter ursprünglich der 10.000.000-ste Teil der Entfernung zwischen Nordpol und Äquator festgelegt und als Sekunde der 86.400-ste Teil eines mittleren Sonnentages (6.1.4).

Immer genauere Messmethoden und Fortschritte in der Technik machten es im Laufe der Zeit mehrmals notwendig, das SI-System zu überarbeiten. Bezieht sich die Definition einer Größe auf ein bestimmtes Objekt wie zum Beispiel das Urkilogramm oder das Urmeter, muss die Eichung eines Messgerätes theoretisch immer in Paris erfolgen, wo vor Ort mit dem Original verglichen werden kann. In der Praxis wurden natürlich äußerst exakte Kopien angefertigt (Bild 2.14 und diese an andere Länder weiter gegeben. Eine exakte Eichung ohne Zugang zu dem Original oder einer Kopie davon ist aber unmöglich.

Bild 2.14: Kopien des Urmeters (gültig bis 1960)

Damit ist jetzt Schluss. Im Jahr 2019 kam es – vermutlich zum allerletzten Mal – zu einer Überarbeitung des SI-Systems. In dieser Neudefinition sind jetzt alle Basiseinheiten unabhängig von veränderlichen Größen oder Objekten festgelegt. Den Naturkonstanten wie zum Beispiel der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum oder der Elementarladung wurden in dieser Definition feste Zahlenwerte zugewiesen und alle Basiseinheiten leiten sich direkt aus ihnen ab. Eine Eichung ist damit an jedem Ort im Universum durchführbar. Und noch besser: Da die SI-Einheiten nun absolut festgelegt sind, müssen sie in Zukunft nicht neu definiert werden, selbst wenn sich die Genauigkeit der Messmethoden verbessern.

2.3.5 Abgeleitete Einheiten

Alle Einheiten für weitere physikalische Größen in der Physik sind Kombinationen aus diesen sieben Basiseinheiten (2.3.3). Diese werden abgeleitete SI-Einheiten genannt, zum Beispiel:

• Volumen (\(\text{Kubikmeter} = \text{Meter}\cdot\text{Meter}\cdot\text{Meter}\))
• Frequenz (\(1/\text{Sekunde}\))
• Geschwindigkeit (\(\text{Meter}/\text{Sekunde}\))

Einige abgeleiteten SI-Einheiten haben einen eigenen Namen. So heißt die Einheit der Frequenz zum Beispiel Hertz. Meistens handelt es sich dabei um den Namen einer Physikerin oder eines Physikers, um sie/ihn zu ehren. Um beim Beispiel der Frequenz zu bleiben: Die Einheit wurde nach dem deutschen Physiker Heinrich Hertz benannt, der elektromagnetische Wellen erforscht hat.

2.3.6 Andere Einheitensysteme

Das SI-System (2.3.2) ist auch unter dem Namen MKS-Einheitensystem (Meter, Kilogram, Sekunde) bekannt. Früher wurde bei uns häufig das CGS-Einheitensystem (Zentimeter (engl. Centimeter), Gramm, Sekunde) verwendet. Vor allem in englischsprachigen Ländern wird oft noch das angloamerikanische Maßsystem oder FPS-Einheitensystem (Feet, Pound, Second) verwendet.

2.3.7 Rechnen mit Einheiten

Mit Einheiten kannst du rechnen wie mit Variablen in der Mathematik. Hier einige Beispiele:

• Wenn du eine Fläche berechnest, multiplizierst du zwei Längen, also \(\mathrm{m}\cdot\mathrm{m}\) und das schreibst du als \(\mathrm{m}^2\) (Quadratmeter) an.

• Wenn du zwei Längen in der Einheit Kilometer multiplizierst, schreibst du \(\mathrm{km}\cdot\mathrm{km}\) und das ergibt \(\mathrm{km}^2\).

• Wenn du ein Volumen eines Quaders gegeben hast und durch die Höhe (also eine Länge) dividierst, erhältst du eine Fläche. \[ \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{m}} =\mathrm{m}^2 \]

2.3.8 Umrechnen von Einheiten

Willst du Nicht-SI-Einheiten (wie zum Beispiel Meile (engl. mile) oder Zoll (engl. inch)) in SI-Einheiten umrechnen, musst du den entsprechenden Umrechnungsfaktor nachschlagen und kannst anschließend die Werte in die andere Einheit umrechnen. Hier findest du ein Beispiel, wie du mit der Hand Einheiten umrechnest, oder du verwendest eine App (Programm) oder einen Online-Dienst.

Links:

• Website: Beispiele Einheiten Umrechnen mit WolframAlpha
• Website: Beispiel Einheiten Umrechnen mit dem Google-Taschenrechner

2.3.9 Dimensionslose Größen

Gelegentlich kommen in der Physik auch dimensionslose Größen (engl. dimensionless quantities) vor – also Größen, die keine Einheit besitzen. Beispiele dafür sind:

• die Winkelangaben im Bogenmaß (7.1.3)
• die Stoffmenge
• Quantenzahlen (17.7.2)

In der Wikipedia findest du eine vollständige Liste aller dimensionslosen Größen in der Physik.

2.3.10 Dimensionsbetrachtung

Die Dimensionsbetrachtung (engl. dimensional analysis) ist ein einfacher Test, ob eine physikalische Formel (Beziehung zwischen physikalischen Größen) korrekt sein kann. Dazu werden auf beiden Seiten der Gleichung alle Symbole durch ihre Einheiten ersetzt. Stehen links und rechts des Gleichheitszeichens nicht dieselben Einheiten, kann es sich um keine physikalisch sinnvolle Beziehung handeln.

Als Beispiel betrachten wir die Formel für die Periodendauer eines Fadenpendels (8.5.1):

\[ T = 2\pi\cdot\sqrt{\frac{\ell}{g}} \]

In dieser Formel hat \(T\) die Dimension einer Zeit (\(\mathrm{s}\)), \(\ell\) die Dimension einer Länge (\(\mathrm{m}\)) und \(g\) die Dimension einer Beschleunigung (\(\mathrm{m/s^2}\)). Um anzudeuten, dass uns nur die Einheiten interessieren, schreiben wir die physikalischen Größen in eckigen Klammern. Dimensionslose Faktoren (2.3.9) wie in unserem Beispiel \(2\pi\) kannst du weglassen – sie spielen bei der Dimensionsbetrachtung keine Rolle.

\[ \begin{aligned} {}[T] = {} & \sqrt{\frac{[\ell]}{[g]}} \\[1ex] \mathrm{s} = {} & \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m/s^2}}} \\[1ex] \mathrm{s} = {} & \sqrt{\cancel{\mathrm{m}}\cdot\frac{s^2}{\cancel{\mathrm{m}}}} \\[1ex] \mathrm{s} = {} & \sqrt{\mathrm{s^2}} \\[1ex] \mathrm{s} = {} & \mathrm{s} \\ \end{aligned} \]

Nur weil eine Dimensionsbetrachtung erfolgreich war, ist damit noch lange nicht gesagt, dass die getestete Formel auch tatsächlich einen in der Natur zu beobachtenden Zusammenhang ausdrückt – das kann nur das Experimente zeigen. Dass die Einheiten auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen, ist also nur – wie es in der Fachsprache ausgedrückt wird – eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung (engl. necessary but not sufficient condition) für die Richtigkeit einer physikalischen Formel.