8.1 Drehwinkel und Radiant

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Bild 8.2: Rad in Silberstadt Freiberg (Deutschland)

Im Bild 8.2 siehst du eine Scheibe, die sich um eine feste Drehachse bewegen lässt. In diesem Kapitel erfährst du, wie man die Position eines solchen Körpers in der Physik beschreibt.

8.1.1 Drehwinkel (Phasenwinkel)

In der interaktiven Abbildung 8.3 siehst du eine Scheibe (CD) die um den Mittelpunkte gedreht wurde.

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Bild 8.3: Drehung einer CD

Anders als bei der Translation (siehe Kapitel 2), legen bei einer Drehbewegung unterschiedliche Punkte (\(P_1\), \(P_2\), \(P_3\)) des Körpers unterschiedliche Wegstrecken (hier Kreisbögen) (\(b_1\), \(b_2\), \(b_3\)) zurück. Der Grund sind ihre unterschiedlichen Abstände \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\) von der Achse (Drehzentrum).

Unser Ziel ist es aber eine Größe zu finden die die Drehung des gesamten Körpers (also aller Massenpunkte des Körpers) beschreibt. Der zurückgelegte Weg eines Massenpunktes ist also ungeeignet für die Beschreibung einer Drehung. In der Abbildung kannst du erkennen, das der Drehwinkel (engl. angular displacement) \(\varphi\) (Kleinbuchstabe „Phi“), manchmal auch mit dem Kleinbuchstaben \(\theta\) („Theta“) bezeichnet, für alle drei Massenpunkte gleich ist, und das Ausmaß der Drehung für alle Punkte des Körpers beschreibt.

8.1.2 Einheit des Drehwinkels

Du bist aus der Mathematik gewohnt, dass ein voller Kreis aus \(360^\circ\) besteht und bei dem Wort „Winkel“ denkst du vermutlich automatisch an das Gradmaß. In naturwissenschaftlichen Formeln verwendet man aber fast ausschließlich das Winkelmaß Radiant (Bogenmaß) (engl. radian)!

In der interaktiven Abbildung 8.3 kannst du erkennen, dass bei einer Drehung um den Winkel \(\varphi\) das Verhältnis

\[ \frac{\text{zurückgelegter Kreisbogen}}{\text{Radiusvektor}} \]

für alle Punkte des Köpers gleich groß ist. Der Grund ist, dass die Bogenlänge eines gegebenen Winkels proportional dem Radius \(r\) ist. Im Bogenmaß wird dieses Verhältnis zur Beschreibung eines Winkels verwendet.

\[ \varphi = \frac{b}{r} \]

Aus welchen SI-Einheiten setzt sich das Radiant zusammen?

\[ \frac{[b]}{[r]} = \frac{\textrm{m}}{\textrm{m}} = 1 = 1\;\mathrm{rad} \]

Das Bogenmaß ist das Verhältnis zweier Längen. Somit ist es eine dimensionslose Größe (siehe 1.7.2) (also eine Zahl). Wegen der Verwechslungsgefahr mit dem Gradmaß bei der Angabe von Winkeln, wird hinter die Zahl die Bezeichnung \(\mathrm{rad}\) geschrieben.

Einen Winkel im Bogenmaß anzugeben, mag dir jetzt unnötig kompliziert erscheinen. Tatsächlich hilft es Formeln kurz und einfach zu halten. Würde das Gradmaß verwendet werden, stünde in den meisten Formeln dieses Kapitels ein Faktor \(180^\circ/\pi\).

In allen Formeln, in denen ein Drehwinkel vorkommt, musst du den Winkel im Bogenmaß einsetzen, damit du das richtige Ergebnis bekommst! Verwendest du umgekehrt diese Formeln zur Berechnung eines Drehwinkels ist das Ergebnis immer in Bogenmaß!

8.1.3 Gradmaß und Bogenmaß

In diesem Abschnitt sehen wir uns das Bogenmaß und den Zusammenhang mit dem Gradmaß genauer an.

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Bild 8.4: Bogenmaß für verschiedene Winkel

In der Animation 8.4 siehst du groß ein Winkel mit \(1\;\mathrm{rad}\) ist. Ein volle Umdrehung entspricht dem Bogenmaß \(2\pi\;\mathrm{rad}\). Entsprechend hat eine halbe Drehung \(\pi\;\mathrm{rad}\) und eine Vierteldrehung \(\pi/2\;\mathrm{rad}\). Da es sich bei den Winkeln im Bogenmaß oft um irrationale Zahlen handelt, wird meist die Zahl nicht ausgeschrieben, sondern einfach als Vielfaches der Kreiszahl Pi angegeben.

Da Ein Halbkreis im Bogenmaß \(\pi\;\mathrm{rad}\) und im Gradmaß \(180^\circ\) entspricht gilt:

\[ \begin{aligned} \pi\;\mathrm{rad} = & 180^\circ \qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{\pi} \\ 1\;\mathrm{rad} = & \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ \\ \end{aligned} \]

Um einen Winkel im Gradmaß \(\varphi^\circ\) in das Bogenmaß \(\varphi^\text{rad}\) umzurechnen verwendest du die Formel:

\[ \varphi^\text{rad} = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \varphi^\circ \]

Umgekehrt kannst du dir mit der folgenden Formel einen Winkel im Bogenmaß \(\varphi^\text{rad}\) in das Gradmaß \(\varphi^\circ\) umrechnen:

\[ \varphi^\circ = \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \varphi^\text{rad} \]

\(\pi/180^\circ\) oder \(180^\circ/\pi\)? Das kann man leicht verwechseln. Denke immer daran, dass Radiant eine dimensionslose Größe ist. Steht in der Formel eine Gradangabe im Zähler, muss \(180^\circ\) im Nenner stehen, damit sich die Einheit Grad wegkürzt.