8.2 Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung

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Bild 8.5: Funkenflug bei der Arbeit mit einem Winkelschleifer

Auch bei Drehbewegungen, wie bei der Scheibe des Winkelschleifers im Bild 8.5, ist es sinnvoll von einer „Geschwindigkeit“ zu sprechen. Wird die Maschine ein- oder ausgeschaltet wird die Drehbewegung schneller oder langsamer. Hier ist es sinnvoll von einer „Beschleunigung“ zu sprechen. Obwohl wir die Definitionen von Geschwindigkeit und Beschleunigung nicht 1:1 aus der Translation übernehmen können, versuchen wir diese Größen analog in der Rotation zu definieren.

8.2.1 Mittlere Winkelgeschwindigkeit

Wir übernehmen die Idee der Mittlere Geschwindigkeit (siehe 2.3.1) und übertragen sie auf die Rotation. Statt der Ortsänderung verwenden wir hier die Drehwinkeländerung. Die mittlere Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) (engl. mean angular velocity) ist definiert als

\[ \omega_m = \frac{ \varphi_2 - \varphi_1 }{t_2-t_1}=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}=\frac{\text{Drehwinkeländerung}}{\text{benötigte Zeit}} \]

Das Formelsymbol der (mittleren) Winkelgeschwindigkeit ist der griechische Kleinbuchstabe Omega.

8.2.2 Einheit der Winkelgeschwindigkeit

Um auf die Einheit der Winkelgeschwindigkeit zu kommen, setzen wir in die Definitionsgleichung ein:

\[ [\omega] = \frac{[\varphi]}{[t]} = \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} = \frac{1}{\mathrm{s}} = \mathrm{s}^{-1} \]

Da Radiant (8.1.2) eine dimensionslose Größe ist, lautet die SI-Einheit der Winkelgeschwindigkeit eigentlich nur \(1/\mathrm{s}\). Um Verwechslungen vorzubeugen, schreiben wir trotzdem immer \(\mathrm{rad}/\mathrm{s}\).

8.2.3 Periodendauer

Bei einer gleichmäßigen Drehbewegung ist die Winkelgeschwindigkeit konstant (\(\omega=\text{const.}\)). In diesem Fall wiederholt sich die Bewegung immer nach derselben Zeit. Diese Zeit wird als Periodendauer \(T\) (engl. period) bezeichnet. Für den Drehwinkel gilt

\[ \varphi = \omega\cdot t \]

In einer Periodendauer findet eine volle Umdrehung statt. Das entspricht einem Drehwinkel von \(\varphi = 2\pi\), also

\[ \begin{aligned} 2\pi = {} & \omega\cdot T \qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{T}\\ \omega = {} & \frac{2\pi}{T} \\ \end{aligned} \]

Die SI-Einheit der Periodendauer ist die Sekunde.

8.2.4 Frequenz

Bei einer gleichmäßigen Drehbewegung ist die Winkelgeschwindigkeit konstant (\(\omega=\text{const.}\)) und auch die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde, die sogenannte Frequenz (engl. frequency) konstant.

Eine Frequenz von einer Umdrehung pro Sekunde entspricht einer Winkelgeschwindigkeit von \(2\pi\), eine Frequenz von 2 Umdrehungen pro Sekunde entspricht einer Winkelgeschwindigkeit von \(2\cdot2\pi=4\pi\), usw. Für Frequenz und Winkelgeschwindigkeit gilt also der Zusammenhang:

\[ \omega = 2\pi f \]

Da „Anzahl“ keine Einheit hat, ist die SI-Einheit der Frequenz \(1/s\) oder \(s^{-1}\). Zu Ehren des deutschen Physikers Heinrich Hertz wird die Einheit der Frequenz auch Hertz genannt (\(1\;\mathrm{Hz}\)).

Frequenz (siehe 8.2.3) und Periodendauer sind reziproke Größen. Es gilt:

\[ f = \frac{1}{T} \]

8.2.5 Winkelgeschwindigkeit und Tangentialgeschwindigkeit

Lösen sich Teilchen eines rotierenden Körpers während der Drehbewegung ab (zum Beispiel die Funken in Bild 8.5) bewegen sie sich mit einer konstanten Geschwindigkeit \(v\) geradlinig weiter.

Für den Zusammenhang von Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) der Scheibe und der Tangentialgeschwindigkeit \(v\) der Funken greifen wir auf die Formel der Bahngeschwindigkeit (siehe 2.14.2) zurück

\[ v=\frac{2\pi\! r}{T} \]

und setzen die Formel für die Periodendauer (8.2.3) \(T=\frac{2\pi}{\omega}\) ein:

\[ v=2\pi\! r\cdot \frac{1}{T} \\ v=2\pi\! r\cdot \frac{\omega}{2\pi} \\ \qquad\\ v=r\cdot \omega \]

Aus der Gleichung kannst du erkennen, dass bei gleicher Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) die Tangentialgeschwindigkeit \(v\) proportional zum Abstand \(r\) von der Drehachse größer wird.

8.2.6 Winkelbeschleunigung

Analog der Mittlere Beschleunigung (siehe 2.4.1) definieren wir die mittlere Winkelbeschleungigung (engl. mean angular acceleration) als zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit.

\[ \alpha_m = \frac{ \omega_2 - \omega_1 }{t_2-t_1}=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{\text{Änderung der Winkelgeschwindigkeit}}{\text{benötigte Zeit}} \]

Das Formelsymbol der (mittleren) Winkelbeschleunigung ist der griechische Kleinbuchstabe Alpha.

8.2.7 Einheit der Winkelbeschleunigung

Um auf die Einheit der Winkelgeschwindigkeit zu kommen, setzen wir in die Definitionsgleichung ein:

\[ [\alpha] = \frac{[\omega]}{[t]} = \frac{\mathrm{rad/s}}{\mathrm{s}} = \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s^2}} = \frac{1}{\mathrm{s^2}} = \mathrm{s}^{-2} \]

Da Radiant (8.1.2) eine dimensionslose Größe ist, lautet die SI-Einheit der Winkelgeschwindigkeit eigentlich nur \(1/\mathrm{s^2}\). Um Verwechslungen vorzubeugen, schreiben wir trotzdem immer \(\mathrm{rad}/\mathrm{s^2}\).

8.2.8 Anwendungsbeispiel zu Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung

Ein Kreissägeblatt (Durchmesser \(30\;\mathrm{cm}\)) dreht sich \(3\,000\) mal pro Minute um die eigene Achse.

  • Wie groß ist die Frequenz?
  • Wie groß ist die Periodendauer?
  • Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des Blattes?
  • Nach dem Abschalten des Motors kommt das Blatt nach \(1\;\mathrm{s}\) zum Stillstand. Wie groß ist die Winkelbeschleunigung.
  • Mit welcher Geschwindigkeit sägen sich die Zähne in das Holz?

\(3\,000\) Umdrehungen pro Minute entsprechen \(3\,000/60=50\) Umdrehungen pro Sekunde. Das entspricht aber genau der Definition der Frequenz, also \(f=50\;\mathrm{Hz}\).

Die Periodendauer ist der Kehrwert der Frequenz, also \(T=0{,}02\;\mathrm{s}\).

Die Winkelgeschwindigkeit kann über die Frequenz berechnet werden:

\[ \omega=2\pi f = 2\pi\cdot 50 = 314{,}15...\;\mathrm{rad/s} \]

Die mittlere Winkelbeschleunigung ergibt sich durch Einsetzen in die Formel

\[ \alpha_m = \frac{ \omega_2 - \omega_1 }{t_2-t_1} = \frac{ 0 - 314{,}15...}{1} = -314{,}15...\;\mathrm{rad/s^2} \]

Die Geschwindigkeit, mit der sich die Zähne in das Holz sägen, entspricht der Tangentialgeschwindigkeit am Umfang der Scheibe. Der Radius beträgt \(r=30/2\;\mathrm{cm}=15\;\mathrm{cm}=0{,}15\;\mathrm{m}\). Für die Tangetialgeschwindigkeit ergibt sich

\[ v = r\cdot \omega = 0{,}15\cdot 314{,}15... = 47{,}12...\;\mathrm{m/s} \]