2.14 kreisförmige Translation

2.14.1 Was ist eine kreisförmige Translation?

Unter einer kreisförmige Translation (engl. uniform circular motion) versteht man die Bewegung eines Körpers auf einer kreisförmigen Bahn (Umlaufbahn, Orbit) mit konstantem Tempo (Bahngeschwindigkeit) um ein Zentrum (Bild 2.29).

Beispiel einer gleichförmigen kreisförmigen Translation image source

Bild 2.29: Beispiel einer gleichförmigen kreisförmigen Translation

Beachte, dass sich der Körper selbst während der Bewegung nicht dreht, sondern die Orientierung im Raum beibehält. Dreht sich der Körper um das Drehzentrum spricht man von einer gleichförmigen Drehung (Rotation). Diese Bewegung werden wir im Kapitel Rotation genauer untersuchen.

2.14.2 Bahngeschwindigkeit

Um bei bekannter Umlaufzeit (Periodendauer) \(T\) (engl. orbital period) die Bahngeschwindigkeit (Orbitalgeschwindigkeit) für eine kreisförmige Translation zu berechnen, verwendest du einfach die Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit. Bei einem Kreisradius \(r\) ist der, für einen Umlauf, zurück zu legende Weg der Kreisumfang \(l=2\pi r\). Die Größe der Bahngeschwindigkeit lässt sich dann mit der folgenden Formel (Weg durch Zeit) berechnen:

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

Die Bahngeschwindigkeit ist eine Zahl (Skalar) und entspricht der Länge des Geschwindigkeitsvektors.

2.14.3 Bahngeschwindigkeit Beispielrechnung

Die Erde bewegt sich annähernd gleichförmig auf einer Kreisbahn um die Sonne. Bei einer Umlaufzeit von einem Jahr (\(T\) rund \(2.160.000\;\mathrm{s}\)) und einem durchschnittlichen Abstand von \(r=\mathrm{149.597.870.700 \; m}\) zur Sonne (diese Länge heißt auch Astronomische Einheit) ergibt sich eine Bahngeschwindigkeit von \(v=\mathrm{29.785,25 \; m/s}\) oder rund \(\mathrm{100.000 \; km/h}\)!

2.14.4 Beschleunigung bei der gleichförmige Kreisbewegung

Bei einer gleichförmigen Translation ändert sich zwar das Tempo nicht, aber die Geschwindigkeit ändert sich trotzdem ständig. Der Geschwindigkeitsvektor ist immer gleich lang, aber zeigt ständig in eine andere Richtung. Eine Geschwindigkeitsänderung pro Zeit entpricht aber per Definition einer Beschleunigung. Eine gleichförmige Kreisbewegung ist also eine beschleunigte Bewegung!

Diese Beschleunigung nennt man Zentripetalbeschleunigung (engl. centripetal acceleration). Die Größe der Zentripetalbeschleunigung kannst du mit der Formel

\[ a_z = \frac{v^2}{r} \]

berechnen. Aus dem Bruch kannst du direkt ablesen:

  • je größer die Bahngeschwindigkeit, desto größer die Zentripetalbeschleunigung
  • je kleiner der Bahnradius, desto größer die Zentripetalbeschleunigung

Dass es sich bei diesem Ausdruck tatsächlich um eine Beschleunigung handelt, kannst du mit Hilfe einer Dimensionsbetrachtung überprüfen:

\[ \frac{[v]^2}{[r]} = \frac{(\mathrm{m/s})^2}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2}{\mathrm{m}} = \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \]

2.14.5 Herleitung Zentripetalbeschleunigung

Wenn dich interessiert, wie man auf die Formel für die Zentripetalbeschleunigung kommt, schau dir zunächst folgende Abbildung an: Du siehst den Körper zu zwei unterschiedlichen Zeitpunkten auf seiner Umlaufbahn (\(t_1\) und \(t_2\)) und die Ortsänderung \(\Delta\vec{s}\) zwischen diesen Zeitpunkten. Rechts davon wird die Größe \(\Delta\vec{v}\) als Differenz der beiden der entsprechenden Geschwindigkeitsvektoren gezeigt (Bild 2.30).

Bild zur Herleitung der Beschleunigung bei einer gleichförmigen Kreisbewegung image source

Bild 2.30: Bild zur Herleitung der Beschleunigung bei einer gleichförmigen Kreisbewegung

Da der Winkel in beiden gleichschenkeligen Dreiecken gleich ist, handelt es sich bei den Dreiecken \(\Delta s\), \(r_1\), \(r_2\) und \(\Delta v\), \(v_1\), \(v_2\) um ähnliche Dreiecke (S:W:S-Satz). Daraus folgt, dass das Verhältnis

\[ \frac{\Delta v}{\Delta s} = \frac{v_1}{r_1} = \frac{v_2}{r_2} = \frac{v}{r} \]

für beliebige Zeitpunkte gilt (daher fehlen im letzten Bruch die Indizes). Durch Umformen erhältst du

\[ \Delta v = \Delta s\cdot\frac{v}{r} \]

Setzt du diesen Ausdruck in die Definition der Beschleunigung ein erhältst du die Formel für die Zentripetalbeschleunigung:

\[ a_z = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta s}{\Delta t}\cdot\frac{v}{r} = v\cdot\frac{v}{r} = \frac{v^2}{r} \]

2.14.6 Die Richtung der Zentripetalbeschleunigung

Die Formel für die Zentripetalbeschleunigung liefert eine Zahl (Skalar) und entspricht der Länge des Beschleunigungsvektors. Der Beschleunigungsvektor \(\vec{a}_z\) hat dieselbe Richtung wie \(\Delta\vec{v}\) und zeigt zu allen Zeitpunkten zum Kreismittelpunkt. Das Wort Zentripetal setzt sich aus den lateinischen Wörten centrum (“Zentrum”) und petere („nach etwas streben“) zusammen.

Außerdem steht der Vektor der Zentripetalbeschleunigung zu allen Zeiten normal auf den Geschwindigkeitsvektor. In der interaktiven Abbildung 2.31 kannst du die Größe und Richtung der Zentripetalbeschleunigung untersuchen.

Interaktive Abbildung Größe und Richtung der Zentripetalbeschleunigung image source

Bild 2.31: Interaktive Abbildung Größe und Richtung der Zentripetalbeschleunigung