9.1 Grundlagen der Schwingunglehre

9.1.1 Die 1-dimensionale Schwingung

Als Schwingung (engl. oscillation oder vibration) bezeichnet man jede periodisch wiederkehrende Bewegung. Bewegt sich der schwingungsfähige Körper entlang einer Geraden, handelt es sich um eine 1-dimensionale Schwingung.

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Bild 9.2: Beispiel für eine Schwingung

Die Bewegung eines sogenannten Federpendels (siehe Bild 9.2) ist ein Beispiel für eine 1-dimensionale Schwingung.

9.1.2 Begriffe aus der Schwingungslehre

Ruhelage, Elongation und Amplitude bei einem Federpendel image source

Bild 9.3: Ruhelage, Elongation und Amplitude bei einem Federpendel

Die folgenden Begriffe findest du häufig in der Schwingungslehre:

  • Oszillator (engl. oscillatory system) ist eine andere Bezeichnung für einen schwingungsfähigen Körper.

  • Ruhelage oder Gleichgewichtslage (engl. point of equilibrium) bezeichnet den Ort, an dem sich der Oszillator befindet, wenn er keine Schwingung ausführt (siehe Bild 9.3).

  • Rücktreibende Kraft (engl. restoring force) bezeichnet man die Kraft die den Körper immer wieder in die Gleichgewichtslage zurück kehren lässt.

  • Elongation y (engl. elongation) bezeichnet die momentane Auslenkung aus der Ruhelage (siehe Bild 9.3). Sie kann positiv oder negativ sein. Bei der Elongation handelt es sich um eine Länge; die Einheit ist das Meter.

  • Amplitude A (engl. amplitude) bezeichnet die maximale Elongation (siehe Bild 9.3). Bei der Amplitude handelt es sich ebenfalls um eine Länge; die Einheit ist das Meter.

  • Periodendauer T (engl. period) ist die Dauer für eine vollständige Schwingung – bis sich die Bewegung des Oszillators wiederholt. Die Periodendauer ist eine Zeitspanne; Die Einheit ist die Sekunde.

  • Frequenz f (engl. frequency) bezeichnet die Anzahl der vollständigen Schwingungen pro Sekunde. Die Einheit ist \(1\;\mathrm{Hz}\) (oder \(1/s\); vergleiche Abschnitt Frequenz in der Rotation 8.2.4). Sie ist der Kehrwert der Periodendauer.

\[ f = \frac{1}{T} \]

9.1.3 Orts-Zeit-Diagramm eines Oszillators

Wird an dem Oszillator ein Stift befestigt, und ein Blatt Papier waagrecht daran vorbei geführt, erhalten wir das Orts-Zeit-Diagramm des schwingungsfähigen Körpers (Bild 9.4).

Aufzeichnen des Orts-Zeit-Diagramms eines Oszillators image source

Bild 9.4: Aufzeichnen des Orts-Zeit-Diagramms eines Oszillators

Im Orts-Zeit-Diagramm des Oszillators erkennst du auf der Zeitachse die Periodendauer \(T\) (zum Beispiel der Abstand von einem Maximum der Kurve zum darauf folgenden Maximum oder von einem Minimum zum darauf folgenden Minimum) und auf der Ortsachse die Amplitude \(A\).

9.1.4 Harmonische und nicht harmonische Schwingungen

Im Bild 9.5 siehst du zwei unterschiedliche Schwingungen mit derselben Periodendauer: Oben das Orts-Zeit-Diagramm eines Federpendels und unten das Elektrokardiogramm (EKG) eines Herzschlages.

Beispiele für eine harmonische und eine nicht-harmonische Schwingung image source

Bild 9.5: Beispiele für eine harmonische und eine nicht-harmonische Schwingung

Ist das Orts-Zeit-Diagramm eines Oszillators eine Sinus- oder Kosinus-Kurve spricht man von einer harmonischen Schwingung (engl. simple harmonic motion). Diese Art der Schwingung ist für uns besonders interessant und wird uns die nächsten Abschnitte beschäftigen. Alle anderen Schwingungen bezeichnet man als nicht-harmonische Schwingungen.

9.1.5 Frequenz und Tonhöhe

Schwingende Luft wird von deinen Ohren als Schall wahrgenommen. Die Druckschwankungen der Luft haben eine messbare Frequenz. Die durch eine harmonische Schallschwingung erzeugte Sinneswahrnehmung wird als Ton bezeichnet. Je größer die Frequenz, desto größer ist die Tonhöhe (engl. pitch).

Bestimmte Tonintervalle empfinden wir Menschen als angenehm (Konsonanzen). Eines davon ist eine Oktave. Beginnen wir mit dem Kammerton, der mit der (willkürlichen) Frequenz \(440\;\mathrm{Hz}\) festgelegt wurde, und erhöhen immer um eine Oktave:

Frequenz Intervall
\(440\;\mathrm{Hz}\) audio abspielen Ton \(a^\prime\)
\(2\cdot 440\;\mathrm{Hz}=880\;\mathrm{Hz}\) audio abspielen Ton \(a^\prime\) + 1 Oktave = \(a^{\prime\prime}\)
\(4\cdot 440\;\mathrm{Hz}=1760\;\mathrm{Hz}\) audio abspielen Ton \(a^\prime\) + 2 Oktaven = \(a^{\prime\prime\prime}\)
\(8\cdot 440\;\mathrm{Hz}=3520\;\mathrm{Hz}\) audio abspielen Ton \(a^\prime\) + 3 Oktaven = \(a^{\prime\prime\prime\prime}\)
\(\ldots\) \(\ldots\)

Während die Frequenzen eine geometrische Folge bilden, bilden die Oktaven eine arithmetische Folge. Für das doppelte Ton-Intervall benötigt man die 4-fache Frequenz! Diesen Zusammenhang zwischen physikalisch messbaren Reizänderung (zum Beispiel Frequenz) und empfundener Empfindungsänderung (zum Beispiel Tonhöhe) gilt für alle unsere Sinnesorgane und wird als Weber-Fechnersches Gesetz (engl. Weber–Fechner law) bezeichnet.

Gleiche Quotienten \(R_2/R_1\) der Reizeigenschaft R bewirken gleiche Differenzen \(S_2-S_1\) der Wahrnehmungseigenschaft. Unsere Sinnesorgane messen logarithmisch: \(S=k\lg R\) (\(k\) konstant).

Nur dadurch ist es uns möglich, Frequenzen von rund \(20\;\mathrm{Hz}\) bis \(20{.}000\;\mathrm{Hz}\) zu hören.

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