2.15 Relativbewegung

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Bild 2.32: Die Sonde Deep Impact begleitet den Kometen Tempel 1

Die Sonde Deep Impact (Bild 2.32) begleitete den Kometen Tempel 1 insgesamt fünfeinhalb Jahre lang. Wenn sie einen Geschwindigkeitsmesser an Bord hat: die Geschwindigkeit zu welchem Objekt wird angezeigt? Dem Kometen, der Sonne, der Erde?

2.15.1 Geschwindigkeit relativ wozu?

Ein Auto fährt mit \(70\;\mathrm{km}/\mathrm{h}\). Wenn du diese Aussage hörst, ist dir ziemlich klar, was damit gemeint ist, nämlich: Das Auto fährt \(70\;\mathrm{km}/\mathrm{h}\) relativ zur Erde. Aber die Erde bewegt sich selbst mit einer Bahngeschwindigkeit von rund \(100{.}000\;\mathrm{km}/\mathrm{h}\) (die mittlere Orbitalgeschwindigkeit der Erde um die Sonne). Entsprechend größer wäre die Geschwindigkeit des Autos, wenn du sie relativ zu Sonne angegeben würdest.

In dem Beispiel oben ist die Sache ziemlich eindeutig. Aber es gibt durchaus Fälle, in denen nicht so klar ist, relativ wozu gemessen wird.

  • Wird die Bewegung eines Flugzeugs relativ zum Erdboden oder relativ zur umgebenden Luft gemessen?

  • Wird die Bewegung eines Schiffes relativ zum Wasser oder relativ zum Ufer gemessen?

  • Wird die Bewegung einer Raumsonde relativ zur Erde oder relativ zur Sonne gemessen?

2.15.2 Inertialsysteme

Jede Angabe von Tempo oder Geschwindigkeit ist nur dann sinnvoll, wenn auch klar ist, relativ wozu eine Bewegung gemessen wird. Also das Bezugssystem bekannt ist. In einem früheren Kapitel haben wir uns schon kurz mit dem Begriff des Bezugssystems beschäftigt. Dort sind wir von einem unbewegten Bezugssystem ausgegangen. Selbstverständlich können sich Bezugssysteme selbst auch bewegen. In diesem Kapitel geht es nur um Ineritalsysteme (engl. inertial frame of reference), das sind Bezugssysteme, die sich zwar bewegen, aber unbeschleunigt sind. Ineritalsysteme ruhen oder bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit.

2.15.3 Geschwindigkeit in unterschiedlichen Bezugssystemen

Betrachten wir ein konkretes Beispiel. Hier gibt es zwei Beobachter in zwei unterschiedlichen Bezugssystemen. Im Bezugssystem \(S\) ruht der Fußgänger, der am Straßenrand steht. Im Bezugssystem \(S'\) ruht der Fahrradfahrer, der sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(5\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) relativ zur Straße nach rechts bewegt. Beide beobachten das Auto in der Mitte.

Geschwindigkeiten gemessen im Bezugssystem \(S\) und \(S^\prime\). image source

Bild 2.33: Geschwindigkeiten gemessen im Bezugssystem \(S\) und \(S^\prime\).

Aus dem Bezugssystem \(S\) (Fußgänger) bewegt sich das Auto mit einer Geschwindigkeit von \(15\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) und der Radfahrer \(15\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Beide bewegen sich nach rechts.

Aus dem Bezugssystem \(S'\) (Radfahrer) bewegt sich das Auto mit einer Geschwindigkeit von \(10\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) nach rechts und der Fußgänger mit \(10\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) nach links.

Obwohl beide dasselbe Auto beobachten, messen beide Beobachter unterschiedliche Geschwindigkeiten des Autos in ihren Bezugssystemen. Geschwindigkeit ist also eine relative Größe, die vom Bezugssystem abhängt.

2.15.4 Beschleunigung in unterschiedlichen Bezugssystemen

Wir erweitern das Beispiel, indem das Auto beschleunigt.

Aus der Sicht des Fußgängers (\(S\)) hat das Auto zu Beginn eine Geschwindigkeit von \(15\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) und nach 10 Sekunden eine Geschwindigkeit von \(35\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Daraus ergibt sich aus der Sicht des Fußgäners eine Beschleunigung von \(2\;\mathrm{m}/\mathrm{s^2}\).

Aus der Sicht des Radfahrers (\(S'\)) hat das Auto zu Beginn eine Geschwindigkeit von \(10\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) und nach 10 Sekunden eine Geschwindigkeit von \(30\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Daraus ergibt sich aus der Sicht des Radfahrers ebenfalls eine Beschleunigung von \(2\;\mathrm{m}/\mathrm{s^2}\).

Anders als die Geschwindigkeit, ist die Beschleunigung unabhängig vom Bezugssystem. Physikerinnen und Physiker nennen Größen, die in jedem Bezugssystem gleich sind, invariant.

2.15.5 Galileisches Relativitätsprinzip

Wie du im Laufe der nächsten Kapitel sehen wirst, kommt in allen Naturgesetzen der Mechanik immer nur invariante Größen, wie die Beschleunigung vor und aber keine Größen wie die Geschwindigkeit, die vom gewählten Intertialsystemen abhängigen ist. Daher ist es egal, welches Ineritalsystem du zur Beschreibung wählst - in allen Inertialsystemen haben die Naturgesetze dieselbe Form. Diese Erkenntnis der klassischen Physik fasst man im Galileisches Relativitätsprinzip (engl. principle of galilean relativity) zusammen:

Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt. In ihnen laufen alle Vorgänge nach den selben physikalischen Gesetzen ab.

2.15.6 Galilei-Transformation

Die Galilei-Transformation (engl. Galilean transformation) ist eine Vorschrift (mathematische Transformation), mit deren Hilfe du die Messergebnisse von einem Interitalsystem in eine anderes Inertialsystem umrechnen kannst.

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Bild 2.34: Zwei relativ zueinander bewegte Bezugssysteme

Wir gehen von zwei unterschiedlichen Interitalsystemen S (mit den Koordinaten \((x, y, z, t)\)) und \(S'\) (mit den Koordinaten \((x′, y′, z′, t′)\)) aus. Die Relativgeschwindigkeit zwischen beiden Interitalsystemen ist \(v\) und die Bewegung erfolgt entlang ihrer x-Achsen. Die Uhren in beiden Interitalsystemen sind synchronisiert und zum Zeitpunkt \(t = t′ = 0\) überlappen sich beide Inertialsysteme. In diesem Fall können die Koordinaten von mit den folgenden Gleichungen in das jeweils andere Inertialsystem umgerechnet werden:

\[ \begin{array}{rcl} x' & = & x-v\cdot t \\ z' & = & z \\ y' & = & y \\ t' & = & t \\ \end{array} \]