2.3 Geschwindigkeit

2.3.1 Mittlere Geschwindigkeit

Anders als die Durchschnittsgeschwindigkeit \(\overline{v}\), ist die mittlere Geschwindigkeit \(\vec{v}_m\) (engl. average velocity) als Quotient aus Ortsänderung (engl. displacement) und Zeitänderung definiert, also:

\[\vec{v}_m = \frac{ \vec{s}_2 - \vec{s}_1 }{t_2-t_1}=\frac{\text{Ortsänderung}}{\text{benötigte Zeit}}\]

Um die mittlere Geschwindigkeit eines Körpers zu bestimmen, muss man zunächst den Ort des Körpers zu zwei unterschiedlichen Zeitpunkten messen. Für die Differenz der Orte subtrahierst du von dem Ort des späteren Zeitpunkts den Ort des früheren Zeitpunkts. Dasselbe macht man mit den Zeitpunkten, um die verstrichene Zeit zu erhalten. Pass auf, dass du bei Berechnungen die Reihenfolge nicht vertauschst! Weil es sich bei dem Ausdruck um einen Bruch von zwei Differenzen handelt, sagt man dazu auch Differenzenquotient.

Beachte, dass die Angabe eines Orts in einem Koordinatensystem einem Vektor entspricht. Die Differenz von zwei Vektoren ergibt ebenfalls einen Vektor. Dagegen sind Zeitangaben Zahlen (Skalare) und die Differenz ebenfalls eine Zahl. Die Division eines Vektors durch eine Zahl ergibt einen Vektor, und somit ist die mittlere Geschwindigkeit eine Vektorgröße.

Kann die mittlere Geschwindigkeit - im Gegensatz zur Durchschnittsgeschwindigkeit - auch negativ sein (bzw. der Vektor negative Komponenten enthalten)? Selbstverständlich! Die mittlere Geschwindigkeit zeigt ja die Richtung der Bewegung in einem Koordinatensystem an, und da sind alle Richtungen möglich. Bei einem Auto, das auf einer geraden Straße fährt und dessen Motorhaube in Richtung positiver x-Achse zeigt, entspricht eine negative Geschwindigkeit dem Fahren mit dem Rückwärtsgang.

Bitte verwechsle nicht die Begriffe Durchschnittsgeschwindigkeit und mittlere Geschwindigkeit. Bei einer Rundreise, bei der Anfangsort und Zielort identisch sind (also keine Ortsänderung), ist die mittlere Geschwindigkeit über die gesamte Reise sogar immer Null (exakt: der Nullvektor), unabhängig von deinem Tempo während der Fahrt. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist bei einer Rundreise auf jeden Fall ein positver Wert ungleich Null.

2.3.2 Geschwindigkeit ist nicht Geschwindigkeit - zumindest im Deutschen

Unglücklicherweise wird im deutschen Sprachraum der umgangssprachliche Begriff „Geschwindigkeit“ sowohl für die ungerichtete Größe Tempo (Schnelligkeit oder Bahngeschwindigkeit) (engl. speed) (also der Wegänderung pro Zeit) und die gerichtete Größe Geschwindigkeit (engl. velocity) (also der Ortsänderung pro Zeit) verwendet.

Eigentlich sollte die Durchschnittsgeschwindigkeit im letzten Kapitel richtigerweise Durschnittstempo heißen. Der Begriff Tempo kommt umgangssprachlich allerdings nur selten vor, gerade einmal in den Begriffen Tempolimit und Tempomat.

2.3.3 Mittlere Geschwindigkeit - Delta-Notation

Eine andere Form die mittlere Geschwindigkeit anzuschreiben ist:

\[\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{s}}{\Delta t}\]

Als Symbol für die Änderung eines Wertes wird in der Physik häufig der griechische Großbuchstabe Delta \(\Delta\) verwendet. Für die Änderung musst du immer „Wert nachher minus Wert vorher“ rechnen. Beachte: Das Delta ist kein zusätzlicher Faktor, sondern ein Symbol für die Differenz zweier Werte - es darf also nicht im Bruch gekürzt werden.

2.3.4 Momentangeschwindigkeit

Momentaufnahme beim Autofahren image source

Bild 2.7: Momentaufnahme beim Autofahren

Sie dir das Bild 2.7 genau an! Es zeigt ein Auto auf der Straße. Auf dem Bild ist keine Bewegung zu erkennen und trotzdem zeigt der Tachometer das Tempo \(45\;\mathrm{km/h}\) an. Hat das Auto also auch zu einem einzigen Zeitpunkt eine Geschwindigkeit?

Intuitiv würden die meisten Menschen diese Frage mit „Ja“ beantworten. Aber die Definition der mittleren Geschwindigkeit setzt voraus, dass wir den Ort zu zwei unterschiedlichen Zeitpunkten kennen. Zu einem einzigen Zeitpunkt ist aber sowohl die Ortsänderung \(\Delta s = 0\) als auch das Zeitintervall \(\Delta t = 0\). Das ergibt einen Ausdruck \(0/0\). Aus der Mathematik weißt du, dass eine Divison durch Null keinen sinnvollen Wert liefert.

Das Dilemma lässt sich erst dadurch lösen, dass wir einen neuen Begriff, den der Momentangeschwindigkeit \(\vec{v}\) (engl. instantaneous velocity), einführen. Wenn wir ausgehend von der Definition der mittleren Geschwindigkeit die Zeitintervalle kürzer und kürzer wählen, nähert sich die mittlere Geschwindigkeit einem fixen Wert. Diesen Wert nennen wir dann die Momentangeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt \(t\).

Einen exakten Wert für die Momentangeschwindigkeit kann man erst mit Hilfe des Grenzwertbegriffs der Infinitesimalrechnung berechnen. Er ist definiert als

\[{\vec {v}}={\underset {\Delta t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\Delta {\vec {s}}}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}}{\mathrm {d} t}}\]

Obwohl in beiden Begriffen das Wort „Geschwindigkeit“ vorkommt, sind mittlere Geschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit sehr unterschiedliche Konzepte. Während die mittlere Geschwindigkeit immer eine Ortsänderung vorraussetzt, ist die Momentangeschwindigkeit eine Eigenschaft, die ein Körper zu allen Zeitpunkten besitzt, auch wenn keine Zeit verstreicht. So wie du einem Körper auch die Farb-Eigenschaft „Blau“ zuordnen kannst, auch wenn gerade kein Licht im Raum vorhanden ist und seine Körperfarbe nicht erkennbar ist.

2.3.5 Zusammenhang Momentangeschwindigkeit und Tempo

Im letzten Kapitel hast du erfahren, dass ein Tachometer das aktuelle Tempo (Schnelligkeit) eines Fahrzeugs anzeigt. Wie hängt dieser Wert jetzt mit der Momentangeschwindigkeit zusammen?

Das Tempo (Schnelligkeit) entspricht einfach der Länge (Betrag) des Geschwindigkeitsvektors. Hat ein Körper zum Beispiel eine (Momentan)Geschwindigkeit von

\[\vec{v} = \binom{3\;\mathrm{m/s}}{-4\;\mathrm{m/s}}\]

ist sein Tempo (seine Schnelligkeit) \(|\vec{v}| = 5\;\mathrm{m/s}\).

2.3.6 Konstante Geschwindigkeit

Unter einem konstanten Wert versteht man in der Physik einen Wert, der sich mit der Zeit nicht ändert. Wenn dein Tachometer ein konstantes Tempo von \(15\;\mathrm{km/h}\) anzeigt, muss das nicht notwendigerweise einer kostante Geschwindigkeit entsprechen!

Die Geschwindigkeit ist eine Vektorgröße. Ein Vektor hat die Eigenschaften Richtung und Länge. Nur wenn beide Eigenschaften sich mit der Zeit nicht ändern, hast du eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.

Bei einer Kurvenfahrt mit Tempo \(15\;\mathrm{km/h}\) bleibt zwar die Länge des Geschwindigkeitspfeils gleich, aber die Richting ändert sich ständig. Daher kann eine Kurvenfahrt, wie auch eine Bewegung auf einer kreisförmigen Umlaufbahn, niemals(!) eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit sein.