B.3 Vektorrechnung
In Bild B.18 siehst du eine lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung einer Fläche (eine sogenannte Parkettierung). In dem Muster kannst du wiederholt dieselbe Verschiebung eines Grundmusters erkennen.
Für die Beschreibung einiger physikalischer Größen reicht eine Zahl nicht aus, weil sie nicht nur einen Wert, sondern auch eine Richtungsinformation enthalten. Bei einer Kraft zum Beispiel ist es sehr wesentlich zu wissen, in welche Richtung der Zug eines Seiles erfolgt, oder bei der Angabe einer Geschwindigkeit eines Körpers, in welche Richtung sich der Körper eigentlich bewegt. Für ihre Beschreibung wird (neben einer Einheit) ein Pfeil oder Vektor benötigt. Die Richtung des Pfeils entspricht dann zum Beispiel der Richtung der Kraft und die Länge des Pfeils entspricht der Größe der Kraft. In diesem Kapitel geht es um die Eigenschaften von Pfeil- oder Vektorgrößen.
B.3.1 Koordinatensystem
Um einen Ort (Punkt) auf einer Fläche oder im Raum angeben zu können, benötigst du zunächst ein Koordinatensystem. In den meisten Fällen wird ein Koordinatensystem verwendet, bei dem die Koordinatenachsen im rechten Winkel (orthogonal) zueinander stehen. Ein solches System wird auch nach René Descartes als kartesisches Koordinatensystem bezeichnet. Die Achsen werden mit \(x\), \(y\) und \(z\) bezeichnet und haben einen mathematisch positiven Drehsinn (rechtshändiges Koordinatensystem, Bild B.19).
Der Ort, an dem sich alle Achsen treffen, wird Koordinatenursprung genannt und mit dem Großbuchstaben O bezeichnet (vom lateinischen „origo“ für Ursprung).
Jede Achse ist in Einheitslängen unterteilt. Die Abstände zu den Achsen (als Vielfache der Einheitslängen) werden als Koordinaten des Punktes bezeichnet und beschreiben seinen Ort relativ zu diesem Koordinatensystem (Bild B.20).
B.3.2 Vektor
Im einfachsten Fall kannst du dir einen Vektor (engl. vector) als die Beschreibung einer Verschiebung eines Punktes vorstellen. Sieh dir dazu das Beispiel in Bild B.21 an.
Um vom Ort \(C\) zum Ort \(A\) zu gelangen, musst du zwei Einheiten in die negative x-Achsenrichtung und eine Einheit in die positive y-Achsenrichtung gehen. Diese Verschiebung kann durch den Vektor
\[ \vec{a} = \vec{CA} = {-2\choose 1} \]
beschrieben werden. Ein Vektor wird in der Form
\[ \vec{a} = {\text{Verschiebung in x-Achsenrichtung}\choose \text{Verschiebung in y-Achsenrichtung}} = {a_x\choose a_y} \]
geschrieben. Im Gegensatz zu einem Punkt ist ein Vektor an keine Stelle eines Koordinatensystems gebunden. Um die Verschiebung von Ort \(D\) nach Ort \(B\) zu beschreiben, kann derselbe Vektor \(\vec{a}\) verwendet werden.
Vektorgrößen werden mit einem Pfeil über dem Symbol geschrieben. In manchen Texten werden Vektorgrößen statt mit Pfeilen durch einen fetten Schriftschnitt gekennzeichnet.
\[ \vec{a} = \mathbf{a} \]
Bei einer Verschiebung im Raum besitzt ein Vektor eine weitere Komponente, die der Verschiebung in z-Achsenrichtung entspricht:
\[ \vec{a} = {\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}} \]
Zwei Vektoren sind dann gleich, wenn sie die
- gleiche Länge und
- dieselbe Richtung (Orientierung)
haben.
B.3.3 Der Ortsvektor
Als Ortsvektor des Punktes (engl. position vector) wird der Vektor genannt, der die Verschiebung vom Koordinatenursprung \(O\) zu dem jeweiligen Punkt beschreibt.
In Bild B.22 siehst du die Punkte \(P(4|2)\) und \(P(-5|4)\) und ihre zugehörigen Ortsvektoren:
\[ \vec{r_P} = \vec{OP} = {4\choose 2}\qquad\text{und}\qquad \vec{r_Q} = \vec{OQ} = {-5\choose 4} \]
B.3.4 Länge eines Vektors
Die Länge oder Betrag eines Vektorpfeils \(\vec{a}\) wird mit Betragsstrichen gekennzeichnet, also \(|\vec{a}|\) (Bild B.23).
Ergänzen wir den Vektor \(\vec{a}\) mit seinen Komponenten \(a_x\) und \(a_y\) zu einem rechtwinkeligen Dreieck (Bild B.24), können wir den Satz des Pythagoras verwenden, um seinen Betrag (die Länge der Hypotenuse) zu berechnen:
| \[\begin{equation} \vec{a} = {a_x\choose a_y} \qquad \Rightarrow \qquad |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2+a_y^2} \tag{B.29} \end{equation}\] |
Für einen Vektor im Raum kannst du für die Berechnung den „räumlichen Pythagoras“ verwenden:
| \[\begin{equation} \vec{a} = {\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}} \qquad \Rightarrow \qquad |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} \tag{B.30} \end{equation}\] |
B.3.5 Der Nullvektor
Der Vektor
\[ {\vec {0}} = {0\choose 0} \]
wird als Nullvektor (engl. zero vector) bezeichnet (eine Null mit einem Pfeil darüber). Er hat die Länge (Betrag) null und entspricht einer Verschiebung auf denselben Ort.
B.3.6 Vektoraddition
Die Addition von Vektoren kann als hintereinander ausgeführte Verschiebungen interpretiert werden. In Bild B.25 siehst du ein Beispiel für so eine Verkettung von Verschiebungen.
Die Komponenten des Summenvektors erhältst du durch komponentenweises Addieren.
\[\begin{equation} \vec{a} + \vec{b} = {a_x \choose a_y} + {b_x \choose b_y} = {a_x + b_x\choose a_y + b_y} \tag{B.31} \end{equation}\]
Für unser Beispiel lautet die Summe:
\[ \vec{v}_{AC} = \vec{v}_{AB} + \vec{v}_{BC} = {1 \choose 2} + {5 \choose 1} = {1+5 \choose 2+1} = {6 \choose 3} \]
Die Reihenfolge der Verschiebungen hat keinen Einfluss auf die Gesamtverschiebung (Bild B.26). Die Vektoraddition erfüllt daher das Kommutativgesetz:
\[\begin{equation} \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \tag{B.32} \end{equation}\]
B.3.7 Gegenvektor
Der Gegenvektor eines Vektors hebt dessen Verschiebung vollständig auf. In Analogie zur Gegenzahl bei der Addition von Zahlen
\[ a + (-a) = 0 \]
wird der Gegenvektor mit einem Minus geschrieben.
\[ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} \]
Die Summe von Vektor und Gegenvektor ergibt den Nullvektor. Der Gegenvektor hat also die Komponenten:
\[ -\vec{a} = {\begin{pmatrix}-a_x\\-a_y\\-a_z\end{pmatrix}} \]
Drehst du den Vektor \(\vec{a}\) um 180°, erhältst du ebenfalls den Gegenvektor \(-\vec{a}\).
B.3.8 Vektorsubtraktion
Die Subtraktion eines Vektors wird als Addition des Gegenvektors interpretiert, also:
\[\begin{equation} \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \tag{B.33} \end{equation}\]
Die Komponenten des Differenzenvektors erhältst du durch komponentenweises subtrahieren.
\[\begin{equation} \vec{a} - \vec{b} = {a_x \choose a_y} - {b_x \choose b_y} = {a_x - b_x\choose a_y - b_y} \tag{B.34} \end{equation}\]
Für unser Beispiel lautet die Differenz:
\[ \vec{v} = \vec{v}_{AB} - \vec{v}_{BC} = {2 \choose 2} - {3 \choose -1} = {2-3 \choose 2-(-1)} = {-1 \choose 3} \]
B.3.9 Multiplikation mit einem Skalar
Für Zahlen gilt: \(3\cdot a = a+a+a\). Entsprechend lässt sich
\[ 3\cdot \vec{a} = \vec{a}+\vec{a}+\vec{a} \]
als die dreimal hintereinander ausgeführte Verschiebung um den Vektor \(\vec{a}\) interpretieren (Bild B.28).
Die Komponenten erhältst du durch Multiplikation jeder einzelnen Komponente mit der Zahl (Skalar) \(n\):
\[\begin{equation} n\cdot\vec{a} = n \cdot {a_x \choose a_y} = {n \cdot a_x \choose n \cdot a_y} \tag{B.35} \end{equation}\]
Verallgemeinern wir die Zahl n auf eine reelle Zahl, lässt sich der Vektor durch Multiplizieren mit einem Skalar beliebig strecken (\(|n| > 1\)) und stauchen (\(|n| < 1\)). In Bild B.29 siehst du einige Beispiele.
Speziell gilt: Die Multiplikation mit
- 1 verändert einen Vektor nicht: \(1\cdot\vec{a} = \vec{a}\)
- 0 ergibt den Nullvektor: \(0\cdot\vec{a} = \vec{0}\)
- -1 ergibt den Gegenvektor: \((-1)\cdot\vec{a} = -\vec{a}\)
Außerdem gelten folgende Rechenregeln (ohne Beweis):
- \((n + m)\cdot \vec{a} = n\cdot \vec{a} + m\cdot \vec{a}\)
- \(n\cdot(\vec{a} + \vec{b}) = n\cdot \vec{a} + n\cdot \vec{b}\)
- \((n\cdot m)\cdot \vec{a} = n\cdot(m\cdot \vec{a})\)
B.3.10 Einheitsvektor
Der Einheitsvektor \(\vec{a}_0\) (engl. unit vector) eines Vektors \(\vec{a}\) hat dieselbe Richtung (Orientierung), aber die Länge eins. Beachte, dass der Einheitsvektor mit einer herabgesetzten null geschrieben wird, obwohl seine Länge eins ist!
Da die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor nur seine Länge ändert, erhältst du den Einheitsvektor durch Multiplizieren eines Vektors mit dem Kehrwert seines Betrages, also:
\[\begin{equation} \vec{a}_0 = \frac{1}{|\vec{a}|}\cdot \vec{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \tag{B.36} \end{equation}\]
In der Literatur findest du den Einheitsvektor auch mit einem „Dach“ gekennzeichnet.
\[ \vec{a}_0 = \mathbf {\hat {a}} \]
B.3.11 Produkt von zwei Vektoren
Die Vektoraddition kann anschaulich als Hintereinanderausführung von Verschiebungen interpretiert werden. Damit ist auch klar, dass die Summe Vektoren ebenfalls ein Vektor sein muss. Wie soll aber die Multiplikation von zwei Vektoren aussehen?
Es gibt zwei sinnvolle Verknüpfungen für zwei Vektoren (hier allgemein mit \(\star\) bezeichnet), die beide gemeinsam mit der Vektoraddition das Distributivgesetz erfüllen.
\[ \vec{a} \star \left( \vec{b} + \vec{c} \right) = \vec{a} \star \vec{b} + \vec{a} \star \vec{c} \]
Daher werden sie als „Produkte“ bezeichnet. Diese heißen Skalarprodukt und Kreuzprodukt und werden in den folgenden Abschnitten vorgestellt.
Dass nicht jede Definition sinnvoll ist, siehst du leicht an folgendem Gegenbeispiel: Das Produkt der Vektorlängen \(\vec{a} \star \vec{b}\equiv|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\) erfüllt im Allgemeinen das Distributivgesetz nicht.
B.3.12 Skalarprodukt
Im Gegensatz zur Multiplikation mit einem Skalar ist das Skalarprodukt (engl. dot product) eine Verknüpfung aus zwei Vektoren, bei dem das Ergebnis eine Zahl (Skalar) ist. Für zwei Vektoren
\[ \vec{a} = {\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}}\qquad\text{und}\qquad\vec{b} = {\begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}} \]
lautet das Skalarprodukt (gesprochen „a Punkt b“):
\[\begin{equation} \vec{\color{red}a}\cdot\vec{\color{blue}b} = \color{red}a_x \cdot \color{blue}b_x + \color{red}a_y \cdot \color{blue}b_y + \color{red}a_z \cdot \color{blue}b_z \tag{B.37} \end{equation}\]
Beim Skalarprodukt für zweidimensionale Vektoren entfällt der letzte Summand.
Die geometrische Definition des Skalarprodukts kommt ohne konkretes Koordinatensystem aus und lautet:
\[\begin{equation} \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(\vec{a},\vec{b}) \tag{B.38} \end{equation}\]
Also das Produkt aus den Längen beider Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.
Aus der geometrischen Definition folgt durch Umstellen unmittelbar eine Formel für den Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren:
\[\begin{equation} \cos(\vec{a},\vec{b}) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \tag{B.39} \end{equation}\]
Die Länge \(|\vec{a}|\cdot\cos(\vec{a},\vec{b})\) ist die Projektion (Orthogonalprojektion) des Vektors \(\vec{a}\) auf den Vektor \(\vec{b}\) (Bild B.30). Umgekehrt ist \(|\vec{b}|\cdot\cos(\vec{a},\vec{b})\) die von \(\vec{b}\) auf \(\vec{a}\).
Aus den Eigenschaften der Kosinus-Funktion kannst du erkennen, dass der Wert des Skalarprodukts maximal und minimal ist, wenn beide Vektoren parallel zueinander verlaufen (\(\cos(0^\circ) = 1\) und \(\cos(180^\circ) = -1\)). Außerdem ist das Skalarprodukt genau dann null, wenn der Winkel zwischen beiden Vektoren \(90^\circ\) beträgt (\(\cos(90^\circ) = 0\)).
\[ \vec a \perp \vec b \iff \vec a \cdot \vec b = 0. \]
Da \(\cos(\vec{a},\vec{b}) = \cos(\vec{b},\vec{a})\) erfüllt das Skalarprodukt das Kommutativgesetz:
\[ \vec{a}\cdot\vec{b} =\vec{b}\cdot\vec{a} \]
Und mit der Vektoraddition das Distributivgesetz (ohne Beweis):
\[ \vec{a} \cdot \left( \vec{b} + \vec{c} \right) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \]
B.3.13 Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt (engl. cross product) ist eine Verknüpfung aus zwei Vektoren, bei dem das Ergebnis ein Vektor ist. Zur Unterscheidung des Skalarprodukts ist das Symbol der Verknüpfung ein Kreuz (\(\times\)). Für zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) lautet die Definition (sprich „a Kreuz b“):
\[\begin{equation} \vec{\color{red}a}\times\vec{\color{blue}b} = \begin{pmatrix}\color{red}a_x \\ \color{red}a_y \\ \color{red}a_z\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\color{blue}b_x \\ \color{blue}b_y \\ \color{blue}b_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}a_y\cdot \color{blue}b_z - \color{red}a_z\cdot \color{blue}b_y \\ \color{red}a_z\cdot \color{blue}b_x - \color{red}a_x\cdot \color{blue}b_z \\ \color{red}a_x\cdot \color{blue}b_y - \color{red}a_y\cdot \color{blue}b_x \end{pmatrix} \tag{B.40} \end{equation}\]
Das Berechnen der Komponenten des Kreuzproduktvektors kannst du dir mit Bild B.31 merken. Jede Komponente des Kreuzproduktvektors entsteht durch das Streichen einer Zeile und dem kreuzweisen Multiplizieren der verbleibenden Komponenten der ursprünglichen Vektoren.
Der Kreuzproduktvektor steht dabei immer normal auf die Ebene, die durch die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannt wird (Bild B.32). Das Kreuzprodukt ist daher nur für räumliche Vektoren sinnvoll.
Die Richtung des Kreuzproduktvektors kannst du dir mithilfe deiner rechten Hand überlegen (Bild B.33). Dazu formst du mit deiner rechten Hand eine Faust und drehst sie so, dass die Richtung der Finger der Drehrichtung vom ersten Vektor im Kreuzprodukt auf kürzestem Weg(!) zum zweiten Vektor entspricht. Der weggestreckte Daumen zeigt dir dann die Richtung des Kreuzproduktvektors.
Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren weist noch eine sehr interessante geometrische Eigenschaft auf: Die Länge des Kreuzproduktvektors \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) ist zahlenmäßig (bis auf die Einheiten) gleich groß dem Flächeninhalt des durch die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Parallelogramms (Bild B.34).
Da sich der Flächeninhalt eines Parallelogramms mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels ändert, gilt:
\[\begin{equation} |\vec{a}\times\vec{b}| =|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin(\vec{a},\vec{b}) \tag{B.41} \end{equation}\]
Somit ist der Flächeninhalt (als auch die Länge des Kreuzproduktvektors) maximal, wenn die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) einen Winkel von \(90^\circ\) miteinander einschließen (\(\sin(90^\circ) = 1\)) und null, wenn sie parallel zueinander verlaufen (\(\sin(0^\circ) = 0\)).
Mit der Vektoraddition erfüllt das Kreuzprodukt das Distributivgesetz (ohne Beweis):
\[ \vec{a} \times \left( \vec{b} + \vec{c} \right) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \]
Im Gegensatz zu der Multiplikation von zwei Zahlen (und auch dem Skalarprodukt) spielt die Reihenfolge der Vektoren beim Kreuzprodukt sehr wohl eine Rolle und das Kommutativgesetz gilt hier nicht. Vielmehr gilt:
\[ \vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a}) \]
Der Vektor \(\vec{b}\times\vec{a}\) ist also der Gegenvektor zu \(\vec{a}\times\vec{b}\) und beide Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen.
B.3.14 Rechenbeispiel zum Kreuzprodukt
Als Beispiel wollen wir das Kreuzprodukt für zwei konkrete Vektoren ausrechnen. Setzen wir in die Formel aus dem letzten Abschnitt ein, erhalten wir:
\[ \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 \\ 3 \cdot (-7) - 1 \cdot 9 \\ 1 \cdot 8 - 2 \cdot (-7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -30 \\ 22 \end{pmatrix} \]
Der Kreuzproduktvektor steht auf beide Vektoren normal. Als Probe verwenden wir daher das Skalarprodukt, das für zwei Vektoren, die normal aufeinander stehen, den Wert null ergibt.
\[ \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -30 \\ 22 \end{pmatrix} = -7\cdot(-6) + 8\cdot-30 + 9\cdot 22 = 0 \]
Und:
\[ \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -30 \\ 22 \end{pmatrix} = 1\cdot(-6) + 2\cdot-30 + 3\cdot 22 = 0 \]
B.3.15 Vektoroperationen mit GeoGebra
In GeoGebra gibst du einen Vektor wie einen Punkt ein, daher in runden Klammern, die Komponenten durch Beistriche getrennt, also zum Beispiel v=(1,2,3). Verwendest du einen Kleinbuchstaben als Bezeichnung, erkennt GeoGebra automatisch einen Vektor (bei Großbuchstaben einen Punkt). Ein Vektor ist an keinen Punkt gebunden. Damit du ihn trotzdem in der 2D- und 3D-Grafikansicht sehen kannst, wird ein allgemeiner Vektor immer vom Ursprung weg gezeichnet.
Addieren und subtrahieren kannst du Vektoren wie Zahlen mit den Operatoren + und -. Auch das Multiplizieren mit einem Skalar funktioniert wie bei Zahlen: Mit 3 v oder 3*v erhältst du den dreifachen Vektor.
Für die Berechnung des Betrages eines Vektors kannst du die Betragsstriche verwenden |v| oder auch die Funktion Länge(v).
Für alle anderen Operationen gibt es spezielle Funktionen, wie zum Beispiel Einheitsvektor(v), Skalarprodukt(v,w), Kreuzprodukt(v,w).
B.3.16 Vektoroperationen mit Mathematica
In Mathematica werden Vektoren als Listen eingegeben, daher mit geschwungen Klammern und die Komponenten mit Beistrichen getrennt, also zum Beispiel v={1,2,3}.
Addieren und subtrahieren kannst du Vektoren wie Zahlen mit den Operatoren + und -. Auch das Multiplizieren mit einem Skalar funktioniert wie bei Zahlen: Mit 3 v oder 3*v erhältst du den dreifachen Vektor.
Für alle anderen Operation gibt es entsprechende Funktionen:
Norm[v]für den Betrag eines VektorsUnitVector[v]für den EinheitsvektorVectorAngle[v, w]für den Winkel zwischen zwei VektorenDot[v,w]für das Skalarprodukt von zwei VektorenCross[v,w]für das Kreuzprodukt von zwei Vektoren
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