16.2 Gleichzeitigkeit und Zeit

Du kennst das sicher: Es gibt Situationen da vergeht die Zeit unglaublich schnell und andere Situationen, da zieht sich die Zeit unerträglich in die Länge (Bild 16.10).

Schülerinnen und Schüler schreiben eine Prüfung

Bild 16.10: Schülerinnen und Schüler schreiben eine Prüfung

Du weißt natürlich, dass der Lauf der Uhren immer gleich ist und dass es sich dabei nur um dein subjektives Empfinden von Zeit handelt.

In diesem Kapitel wirst du die beiden Grundannahmen der speziellen Relativitätstheorie kennen lernen und erstaunliche Dinge über den Gang von Uhren erfahren.

16.2.1 Einstein Postulate der speziellen Relativitätstheorie

Zu Beginn seiner speziellen Relativitätstheorie formulierte Albert Einstein zwei Behauptungen (Postulate). Das erste Postulat erweitert das Galileische Relativitätsprinzip der Mechanik (3.15.6) auf alle Bereiche der Physik. Das Relativitätsprinzip (engl. The Principle of Relativity) besagt:

In allen Inertialsystemen gelten die gleichen Naturgesetze.

Nach dem gescheiterten Versuch den Ätherwind (16.1.4) zu messen, gab es einige Erklärungsversuche, warum wir ihn nicht messen können. Albert Einstein vertrat dabei den Standpunkt, dass es sinnlos ist, an die Existenz eines Lichtmediums zu glauben, wenn es nicht messbar ist. Bei dem zweiten Postulat fasst er die bisher gewonnenen Erkenntnisse zur Ausbreitung von Licht zusammen. Das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (engl. The Principle of Invariant Light Speed)

Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist eine absolute Konstante.

Diese zwei Aussagen werden Einstein Postulate (engl. Einstein’s postulates) genannt. Beide Aussagen wirken unspektakulär. In den nächsten Abschnitten und Kapiteln wirst du aber sehen, welche unglaublichen Schlussfolgerungen sich daraus ergeben, wenn sie konsequent angewendet werden.

16.2.2 Relativität der Gleichzeitigkeit

In diesem Abschnitt wenden wir die Einstein Postulate (16.2.1) auf die Synchronisation von Uhren (16.1.5) in zwei zueinander bewegten Inertialsystemen an.

Zwei baugleiche Raumschiffe (rot und blau) besitzen jeweils an Bug und Heck eine Uhr, die gestartet wird, sobald ein Lichtblitz sie erreicht. Wenn sich beide Raumschiffe auf gleicher Höhe befinden, wird in der Mitte beider Raumschiffe ein Lichtblitz ausgesendet.

In der Bildfolge links (Bild 16.11, a) siehst du die Ereignisse aus der Sicht der Person im roten Raumschiff.

  1. Lichtblitz wird ausgelöst
  2. Licht breitet sich in alle Richtungen mit konstanter Lichtgeschwindigkeit (Kugelwelle) aus.
  3. Uhr im Heck des blauen Raumschiffes wird gestartet
  4. Beide Uhren im roten Raumschiff werden gestartet
  5. Uhr im Bug des blauen Raumschiffes wird gestartet
Synchronisation von Uhren in zueinander bewegten Inertialsystemen

Bild 16.11: Synchronisation von Uhren in zueinander bewegten Inertialsystemen

In der Bildfolge rechts (Bild 16.11, b) siehst du die Ereignisse aus der Sicht der Person im blauen Raumschiff.

  1. Lichtblitz wird ausgelöst
  2. Licht breitet sich in alle Richtungen mit konstanter Lichtgeschwindigkeit (Kugelwelle) aus.
  3. Uhr im Heck des roten Raumschiffes wird gestartet
  4. Beide Uhren im blauen Raumschiff werden gestartet
  5. Uhr im Bug des roten Raumschiffes wird gestartet

Nach dem Experiment treffen sich beide Personen und vergleichen ihre Aufzeichnungen. Beide behaupten die Uhren im eigenen Raumschiff sind synchron, und die Uhren des jeweils anderen Raumschiffes sind zu unterschiedlichen Zeitpunkten gestartet worden. Da alle Inertialsysteme gleichwertig sind (1. Einstein Postulat) müssen beide Personen mit ihren Aussagen recht haben!

Ob zwei Ereignisse an unterschiedlichen Orten gleichzeitig stattgefunden haben, ist keine allgemein gültige Aussage, sondern hängt vom gewählten Inertialsystem ab (Relativität der Gleichzeitigkeit, engl. relativity of simultaneity)!

Die einzige Ausnahme bilden zwei Ereignisse, die zur selben Zeit und am selben Ort stattgefunden haben. Sie werden als Gleichzeit in allen Inertialsystemen gemessen.

Beachte: Die Relativität der Gleichzeitigkeit ist keine Folge der unterschiedlichen Lichtlaufzeiten (16.1.3). Sie tritt auch dann auf, wenn alle Messungen von Personen vor Ort gemacht werden!

16.2.3 Lichtuhr

Wird die Frage gestellt, was Zeit eigentlich ist, können Philosophen stundenlang darüber diskutieren. Als Albert Einstein diese Frage gestellt wurde, antwortete er: „Zeit ist das, was eine Uhr misst“. Nicht mehr und nicht weniger. Zur Messung von Zeit eignet sich prinzipiell jeder periodische Vorgang. Für den Bau unserer Uhr nutzen wir die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Sie besteht aus einem Zylinder, an dessen Unter- und Oberseite sich Spiegel befinden. Wird ein Lichtblitz ausgelöst, pendelt das Licht zwischen beiden Spiegeln hin und her (Bild 16.12). Diese hypothetische Uhr wird Lichtuhr (engl. light clock) genannt.

Lichtuhr

Bild 16.12: Lichtuhr

Wählen wir einen Spiegelabstand von \(h=15\;\mathrm{cm}\) für unsere Lichtuhr, erhalten wir eine Periodendauer (ein „Tick-Tack“) von

\[ t=\frac{s}{v}=\frac{2\cdot h}{c}=\frac{2\cdot 0{,}15\;\mathrm{m}}{3\cdot 10^{8}\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}=1\cdot10^{-9}\;\mathrm{s} \]

oder eine Nanosekunde (\(1\;\mathrm{ns}\)).

Da sich Licht in alle Richtungen mit derselben Geschwindigkeit ausbreitet, funktioniert unsere Lichtuhr auch in jeder Lage.

16.2.4 Relativität der Zeit

Für ein weiteres Experiment mit zwei zueinander bewegten Inertialsystemen verwenden wir Lichtuhren (16.2.3). An Bord zweier Raumschiffe (blau und rot) befindet sich je eine Lichtuhr. Wir sitzen im roten Raumschiff und das blaue Raumschiff bewegt sich mit \(40\%\) der Lichtgeschwindigkeit (\(v=0{,}4\cdot c\)) vorbei.

Lichtuhren in zwei zueinander bewegten Inertialsysteme

Bild 16.13: Lichtuhren in zwei zueinander bewegten Inertialsysteme

Du beobachtest im roten Raumschiff folgende Ereignisse:

  1. Wenn beide Raumschiffe auf gleicher Höhe sind, starten beide Lichtuhren.
  2. Die Lichtblitze in beiden Uhren breiten sich aus (Kugelwelle).
  3. Die Lichtuhr im roten Raumschiff macht „Tick“ (das Licht hat den oberen Spiegel der Lichtuhr erreicht).
  4. Die Lichtuhr im blauen Raumschiff macht „Tick“.
  5. Die Lichtuhr im roten Raumschiff macht „Tack“ (das Licht erreicht den unteren Spiegel).
  6. Die Lichtuhr im blauen Raumschiff macht „Tack“ (das Licht erreicht den unteren Spiegel) und zeigt \(1\). Zu diesem Zeitpunkt zeigt die Anzeige der roten Uhr schon \(1{,}6\).

Aus den Einstein Postulaten folgt:

Bewegte Uhren gehen langsamer als ruhende Uhren.

Wir haben in unserem Experiment zwei Lichtuhren verwendet, aber dieser Effekt betrifft alle zeitabhängigen Phänomene: den Gang einer mechanischen Uhr genauso wie die Periodendauer eines Pendels (7.2.4), die Halbwertszeit von Radionukliden (??) oder den biologischen Alterungsprozess von Zellen.

Nach dem 1. Einstein Postulat sind alle Inertialsysteme gleichwertig, daher sind alle Effekte der speziellen Relativitätstheorie immer symmetrisch. Konkret für unser Beispiel bedeutet das: Eine Person im blauen Raumschiff misst, dass die Zeit im roten Raumschiff langsamer vergeht.

16.2.5 Zeitdilatation

Der im letzten Gedankenexperiment (16.2.4) festgestellte Effekt wird Zeitdehnung oder Zeitdilatation (engl. time dilation) genannt. Die Bezeichnung kommt von dem lateinischen Wort dilatare für „ausdehnen“. Die Größe der Zeitdehnung ist abhängig von der Relativgeschwindigkeit beider Inertialsysteme. Die Formel dafür lautet:

\[ t_B = t_R\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}} \tag{16.1} \]

In dieser Gleichung bedeuten:

  • \(t_B\), die verstrichene Zeit auf der bewegten Uhr aus der Sicht des Ruhesystems (in \(\mathrm{s}\))
  • \(t_R\), die verstrichene Zeit auf der ruhenden Uhr (in \(\mathrm{s}\))
  • \(v\), die Geschwindigkeit der bewegten Uhr (in \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\))
  • \(c\), die Lichtgeschwindigkeit (\(3\cdot 10^{8}\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\))

Die Zeit im ruhenden Bezugssystem (also in dem sich die Person die beobachtet befindet) wird als Eigenzeit bezeichnet.

Beachte: Wenn aus der Sicht des ruhenden Systems die Zeit im bewegten System langsamer vergeht, dann folgt daraus, dass dort alle Vorgänge, wie die Periodendauer einer Uhr, der Pulsschlag eines Menschen oder der Zerfall von Radionukliden, länger dauern.

16.2.6 Herleitung der Zeitdehnung

In unserem Ruhesystem (rot) stellen wir zwei Lichtuhren auf. Eine blaue Lichtuhr bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(v\) an den beiden anderen vorbei. Wenn die blaue Lichtuhr auf gleicher Höhe mit der ersten roten Lichtuhr ist, werden alle drei Lichtuhren gestartet. Sobald die blaue Lichtuhr auf Höhe der zweiten roten Lichtuhr ist, halten wir den Fortschritt der Uhren fest (Bild 16.14).

Herleitung der Zeitdilatation

Bild 16.14: Herleitung der Zeitdilatation

Wir erkennen ein rechtwinkeliges Dreieck \(\bigtriangleup ASL_C\). Die Hypotenuse des Dreiecks entspricht der Anzeige der roten Uhren (Radius des Kreises) zum Zeitpunkt \(t\) im Ruhesystem. Die Strecke hat die Länge \(\overline{AL_C}=c\cdot t\), mit \(c\) der Lichtgeschwindigkeit. Die senkrechte Kathete entspricht der Anzeige der bewegten blauen Uhr aus Sicht des Ruhesystems (rot). Sie zeigt die Zeit \(t'\). Die Strecke hat die Länge \(\overline{SL_C}=c\cdot t'\). Die waagrechte Kathete entspricht dem zurückgelegten Weg der blauen Uhr zwischen Anfangs- und Endposition. Die Strecke messen wir in der Zeit des Ruhesystems (rot) und erhalten \(\overline{AS}=v\cdot t\).

Aus dem Lehrsatz des Pythagoras folgt die Gleichung

\[ \begin{aligned} (c\cdot t')^2 + (v\cdot t)^2 = {} & (c\cdot t)^2 &&\Bigr\rvert - (v\cdot t)^2 \\ (c\cdot t')^2 = {} & (c\cdot t)^2 - (v\cdot t)^2 \\ c^2\cdot t'^2 = {} & c^2\cdot t^2 - v^2\cdot t^2 \\ c^2\cdot t'^2 = {} & t^2\cdot (c^2 - v^2) &&\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{c^2} \\ t'^2 = {} & t^2\cdot \frac{c^2 - v^2}{c^2} &&\Bigr\rvert\;\sqrt{(...)}\\ t' = {} & t\cdot \sqrt{\frac{c^2 - v^2}{c^2}} \\ t' = {} & t\cdot \sqrt{\frac{c^2}{c^2}-\frac{v^2}{c^2}} \\ t' = {} & t\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \\ \end{aligned} \]

und wir erhalten den Ausdruck für die Zeitdilatation (16.2.5).

16.2.7 Lorentzfaktor

Der Faktor

\[ \frac{1}{{\displaystyle \sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} \tag{16.2} \]

in der Formel für die Zeitdehnung (16.2.5) wird (nach Hendrik Antoon Lorentz) Lorentzfaktor (engl. Lorentz factor) genannt. In Bild 16.15 siehst du den Kurvenverlauf. Die Geschwindigkeit ist im Verhältnis zur Vakuumlichtgeschwindigkeit (\(v/c\)) auf der waagrechten Achse aufgetragen.

Abhängigkeit des Lorentzfaktors von der Geschwindigkeit

Bild 16.15: Abhängigkeit des Lorentzfaktors von der Geschwindigkeit

Du kannst erkennen, dass der Wert des Lorentzfaktors lange Zeit bei 1 ist, erst nahe der Lichtgeschwindigkeit steigt er steil an und wächst gegen unendlich. Relativistische Effekte sind für unsere alltäglichen Geschwindigkeiten unmessbar klein.

Wurzelfaktor im Einheitskreis

Bild 16.16: Wurzelfaktor im Einheitskreis

Betrachten wir den Wurzelausdruck näher. In Bild 16.16 siehst du ein Viertel von einem Einheitskreis mit einem eingeschriebenen rechtwinkeligen Dreieck. Wählen wir für die Länge der waagrechte Kathete das Verhältnis \(v/c\), ergibt sich nach dem Lehrsatz des Pythagoras die Gleichung

\[ \begin{aligned} a^2+\left(\frac{v}{c}\right)^2 = {} & 1^2 &&\Bigr\rvert\;-\left(\frac{v}{c}\right)^2 \\ a^2 = {} & 1^2-\left(\frac{v}{c}\right)^2 &&\Bigr\rvert\;\sqrt{(...)} \\ a = {} & \sqrt{1^2-\left(\frac{v}{c}\right)^2} \\ a = {} & \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \\ \end{aligned} \]

Die Länge der senkrechten Kathete \(a\) in diesem Dreieck entspricht also dem Wurzelausdruck im Lorentzfaktor. Verändern wir die Geschwindigkeit, dann liefert der Wurzelausdruck Werte immer zwischen \(0 \le a \le 1\). Der Lauf der Zeit kann sich also immer nur verlangsamen, aber nie schneller als im Ruhesystem vergehen. Im Grenzfall \(v=c\) würde die Zeit sogar stillstehen.

Aus der Ungleichung siehst du auch, dass der Wurzelfaktor (und damit auch der Lorentzfaktor) nie negativ werden kann. Die Reihenfolge von Ursache und Wirkung bleibt damit in jedem Bezugssystem erhalten und das Kausalitätsprinzip (2.6.2) wird nicht verletzt. Auch Reisen rückwärts durch die Zeit sind damit unmöglich.

In der klassischen Mechanik gibt es keine obere Grenze für Geschwindigkeiten. Was ist mit Geschwindigkeiten größer als der Lichtgeschwindigkeit? In diesem Fall wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und wir erhalten keine reellen Lösungen mehr. Zeit ist aber immer eine reelle Größe! Beschreibt die Relativitätstheorie die Natur korrekt, dann muss auch gelten:

Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist eine nicht überschreitbare Geschwindigkeit.

16.2.8 Abkürzungen

Der Lorentzfaktor (16.2.7) wird dir noch öfters in Ausdrücken der Relativitätstheorie begegnen. Er wird daher oft mit dem griechischen Kleinbuchstaben \(\gamma\) (Gamma) abgekürzt.

\[ \gamma = \frac{1}{{\displaystyle \sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} = \left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{-1} \]

Und wenn wir schon bei Abkürzungen sind: Das Verhältnis von Geschwindigkeit \(v\) zu Lichtgeschwindigkeit \(c\) wird oft mit dem griechischen Kleinbuchstaben \(\beta\) (Beta) abgekürzt:

\[ \beta =\frac {v}{c} \]

Der Lorentzfaktor lautet dann:

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \left(\sqrt {1-\beta^2}\right)^{-1} \]

16.2.9 Myonenschauer Experiment

Bisher haben wir uns die logischen Konsequenzen, die sich aus den Einstein Postulaten (16.2.1) ergeben, angesehen. Aber lassen sich diese Effekte auch tatsächlich durch Experimente überprüfen?

Die Zeitdilatation (16.2.5) zum Beispiel, wird in Experimenten mit subatomaren Teilchen, die sich relativ zu uns mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegen, deutlich bestätigt. In einem klassischen Experiment sind die „Uhren“ die Lebensdauern instabiler Teilchen, sogenannter Myonen, die durch die Wechselwirkung der kosmischen Strahlung mit der oberen Atmosphäre der Erde entstehen (Myonenschauer (engl. shower of muon particles), Bild 16.17). Sie haben eine Halbwertszeit und zerfallen wie radioaktive Kerne nach dem Zerfallsgesetz (??).

Teilchenschauer durch kosmische Strahlung

Bild 16.17: Teilchenschauer durch kosmische Strahlung

Das Experiment besteht darin, auf einer Bergspitze in \(2000\;\mathrm{m}\) Höhe die Anzahl der einfallenden Myonen pro Stunde zu zählen. Die Messung wird dann auf Meereshöhe wiederholt (Bild 16.18).

Myonenschauer Experiment

Bild 16.18: Myonenschauer Experiment

Auf Höhe der Bergspitze werden von einem Detektor nur die Myonen aufgezeichnet, die sich mit rund \(0{,}994\cdot c\) nach unten bewegen. Pro Stunde werden durchschnittlich etwa 560 Myonen mit dieser Geschwindigkeit gemessen. Zur Überwindung einer Strecke von \(2000\;\mathrm{m}\) benötigen die Myonen bei dieser Geschwindigkeit eine Zeit von

\[ t_R = \frac{s}{v} = \frac{2000\;\mathrm{m}}{(0{,}994)\cdot(3\cdot 10^{8}\;\mathrm{m/s})}\approx6{,}7\;\mathrm{\mu s} \]

Die Zerfallsrate der Myonen ist so hoch, dass nach einer Zeit von \(6{,}7\;\mathrm{\mu s}\) auf Meereshöhe nur noch etwa 25 der ursprünglich 560 Myonen pro Stunde zu erwarten sind. Tatsächlich werden pro Stunde aber noch rund 414 Myonen gemessen – einen Wert den wir nach einer Zeit von nur \(0{,}73\;\mathrm{\mu s}\) erwartet hätten.

Setzen wir in die Gleichung für die Zeitdilatation ein, erhalten wir

\[ \begin{aligned} t_B = {} & 6{,}7\;\mathrm{\mu s}\cdot {\sqrt {1-{\frac {(0{,}994\cdot c)^{2}}{c^{2}}}}} &&\Bigr\rvert\;\text{Klammer quadrieren}\\ t_B = {} & 6{,}7\;\mathrm{\mu s}\cdot {\sqrt {1-{\frac {0{,}994^{2}\cdot\cancel{c^{2}}}{\cancel{c^{2}}}}}}\\ t_B = {} & 6{,}7\;\mathrm{\mu s}\cdot {\sqrt {1-0{,}994^{2}}} \\ t_B = {} & 0{,}10... \cdot 6{,}7\;\mathrm{\mu s}\\ t_B = {} & 0{,}73...\;\mathrm{\mu s} \\ t_B \approx {} & 0{,}73\;\mathrm{\mu s} \\ \end{aligned} \]

Das ist genau der Wert, den uns die spezielle Relativitätstheorie für die Zeitdehnung vorhersagt. Bei dieser hohen Geschwindigkeit von \(0{,}994\cdot c\) entspricht eine Zeitspanne von \(6{,}7\;\mathrm{\mu s}\) im Ruhesystem der Erde einer Zeitspanne von \(0{,}73\;\mathrm{\mu s}\) im bewegten System des Myons.

Heute wird die Zeitdilatation bei Experimenten mit instabilen Teilchen in Teilchenbeschleunigern täglich aufs neue bestätigt.