16.3.1 Relativität von Länge

Das Myonenschauer Experiment zeigt uns eindrucksvoll, dass Zeitdehnung ein reales Phänomen ist.

Für das nächste Gedankenexperiment wählen wir ein Myon, das exakt \(0{,}73\;\mathrm{\mu s}\) existiert, bevor es zerfällt. Die Situation ist in Bild 16.20 auf der linken Seite dargestellt. Aufgrund der Zeitdehnung existiert das Myon lange genug, um die Entfernung von Bergspitze bis auf Meeresniveau überwinden zu können. Es zerfällt, sobald es den Boden erreicht.

Begeben wir uns in das Ruhesystem des Myons, gibt es allerdings ein Problem (Bild 16.20, rechts). Wir setzen uns auf das Myon und sehen die Erde mit dem Berg auf uns zurasen. Im Ruhesystem des Myons vergeht die Zeit genauso schnell wie im Ruhesystem Berg, also bleibt dem Myon noch eine Zeit von \(0{,}73\;\mathrm{\mu s}\), bevor es zerfällt. In dieser Zeit kann es unmöglich die Entfernung zum Boden zurücklegen. Ein offensichtlicher Widerspruch, denn das Myon kann den Boden erreichen oder eben nicht, aber eben nicht beides.

Dieser Widerspruch lässt sich auflösen, wenn sich Längen durch Geschwindigkeiten ebenfalls verändern. Dann sieht die Situation im Ruhesystem des Myons folgendermaßen aus (Bild 16.21, rechts): Die Lebensdauer für das Myon ist nach wie vor \(0{,}73\;\mathrm{\mu s}\), aber aufgrund der Geschwindigkeit des Berges verkürzt sich seine Höhe auf \(219\;\mathrm{m}\). In beiden Bezugssystemen erhalten wir dasselbe Resultat: Das Myon erreicht den Boden und zerfällt.

Damit die spezielle Relativitätstheorie widerspruchsfrei ist, muss gelten:

Bewegte Längen erscheinen verkürzt in Bewegungsrichtung.

16.3.2 Längenkontraktion

Der im letzten Gedankenexperiment vorgestellte Effekt wird Längenkontraktion oder (nach Hendrik Antoon Lorentz) Lorentzkontraktion (engl. lorentz contraction) genannt. Da die Verkürzung der Länge genau den Effekt der Zeitdilatation ausgleichen muss, folgt für die Formel für die Lorentzkontraktion:

\[\begin{equation} L_B=L_R\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}} \tag{16.6} \end{equation}\]

In dieser Gleichung bedeuten:

• \(L_R\), die Länge im Ruhesystem (in \(\mathrm{m}\))
• \(L_B\), die Länge in Bewegungsrichtung in einem dazu bewegten Inertialsystem gemessen im Ruhesystem (in \(\mathrm{m}\))
• \(v\), die Relativgeschwindigkeit beider Inertialsysteme (in \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\))
• \(c\), die Lichtgeschwindigkeit (\(3\cdot 10^{8}\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\))

In Bild 16.22 siehst du ein Beispiel. Bewegt sich ein Raumschiff mit \(95\,\%\) (\(v=0{,}95\cdot c\)) der Lichtgeschwindigkeit an uns vorbei, würden wir seine Länge entsprechend der Abbildung verkürzt messen.

Beachte, dass eine Person im Raumschiff davon nichts merkt. Für sie ist ja das Raumschiff das Ruhesystem, in dem alle Längen unverkürzt erscheinen – nur alle Längen außerhalb des Raumschiffs werden verkürzt gemessen. Auch hier sind alle Effekte wieder symmetrisch.

16.3.3 Längen quer zur Bewegungsrichtung

Es ist naheliegend, die Frage zu stellen, ob nicht auch die Längen quer zur Bewegungsrichtung von der Längenkontraktion betroffen sind. Sieh dir dazu das Beispiel in Bild 16.23 an.

Würde es auch zu einer Längenkontraktion quer zur Bewegungsrichtung kommen, würde die Person im Ruhesystem des roten Zylinders einen blauen Zylinder mit \(v=0{,}6\cdot c\) um \(80\,\%\) verkleinert messen. Dieser passt problemlos in den roten Zylinder. Umgekehrt würde eine Person im Ruhesystem des blauen Zylinders den roten Zylinder um \(80\,\%\) verkleinert messen, der sich in die Gegenrichtung bewegt. Dieser passt problemlos in den blauen Zylinder. Es kann aber nicht beides der Fall sein. Spätestens wenn die Bewegung stoppt, wenn beide Zylinder auf gleicher Höhe sind, wäre das offensichtlich.

Es lassen sich noch viele weitere Widersprüche dieser Art konstruieren. Eine Längenkontraktion quer zur Bewegungsrichtung darf es in einer widerspruchsfreien Beschreibung der Natur nach der speziellen Relativitätstheorie nicht geben!

16.3.4 Raumzeit

In der klassischen Physik betrachten wir das Universum als eine Art unveränderliche Bühne (absoluter Raum), in der wir uns – wie die Schauspieler in einem Theater – aufhalten, bewegen und experimentieren. Nichts, was wir unternehmen, kann diese Bühne verändern.

Die spezielle Relativitätstheorie zeigt uns aber, dass Raum, Zeit und Gleichzeitigkeit relative Begriffe sind und sich mit der Geschwindigkeit sehr wohl ändern. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem zeigt uns zusätzlich, dass es kein ausgezeichnetes Bezugssystem gibt – also es nicht die eine Bühne gibt. Insbesondere ist die Frage, welches von zwei zueinander bewegten Bezugssystemen sich „wirklich“ bewegt, sinnlos, weil es eine keine absolute Geschwindigkeit gibt.

Betrachten wir noch einmal die Zeichnung von der Herleitung der Zeitdilatation (Bild 16.24):

• Die Strecke auf der waagrechten Achse zeigt, wie weit sich die bewegte Uhr an der ruhenden Uhr vorbeibewegt hat – sie ist ein Maß für die Geschwindigkeit der bewegten Uhr im Raum.

• Die senkrechte Strecke zeigt an, wie weit sich das Licht in der bewegten Uhr ausgebreitet hat – sie ist ein Maß für die Geschwindigkeit der Zeit.

• Der Kreisradius zeigt, wie weit sich das Licht ausgebreitet hat – er ist ein Maß für die Lichtgeschwindigkeit.

Änderst du die Geschwindigkeit der bewegten Uhr, bleibt der Radius (Hypotenuse) immer gleich, nur die Längen der Katheten im Dreieck ändern sich. Die Geschwindigkeit entscheidet also darüber, ob sich die Uhr mehr im Raum und weniger in der Zeit oder mehr in der Zeit und weniger im Raum bewegt! Ruhst du, bewegst du dich durch die Zeit aber nicht durch den Raum. Ein Photon mit Lichtgeschwindigkeit bewegt sich durch den Raum, aber nicht durch die Zeit!

Raum und Zeit sind voneinander abhängige Größen und müssen als ein Ganzes – die vierdimensionale Raumzeit (engl. spacetime) – betrachtet werden. Das Bindeglied zwischen Raum und Zeit bildet die konstante Lichtgeschwindigkeit.

16.3.5 Lorentz-Transformation

Die Lorentz-Transformation (engl. Lorentz transformation) ist eine Vorschrift, mit deren Hilfe du die Messergebnisse von einem Inertialsystem in ein anderes Inertialsystem umrechnen kannst. Aber im Gegensatz zur Galilei-Transformation berücksichtigt die Lorentz-Transformation relativistische Effekte wie Zeitdilatation und Längenkontraktion.

Wir gehen von zwei unterschiedlichen Inertialsystemen S (dort hat ein Ereignis die Koordinaten \((x, y, z, t)\)) und \(S'\) (dort hat dasselbe Ereignis die Koordinaten \((x′, y′, z′, t′)\)) aus. Die Relativgeschwindigkeit zwischen beiden Inertialsystemen beträgt \(v_x\), die Bewegung erfolgt daher entlang ihrer x-Achsen. Obwohl die Zeit in beiden Inertialsystemen unterschiedlich schnell vergeht, fallen die Zeitpunkte \(t = 0\) und \(t' = 0\) zusammen. Zum Zeitpunkt \(t = t′ = 0\) überlappen sich außerdem beide Inertialsysteme. Nach einer Zeit \(t\) hat sich der Ursprung von \(S'\) um \(v_x\cdot t\) – gemessen im System \(S\) – entfernt. In diesem Fall können die Koordinaten des Ereignisses mit den folgenden Gleichungen in das jeweils andere Inertialsystem umgerechnet werden.

\[\begin{equation} \begin{aligned} x' = {} & \frac{\displaystyle x-v\cdot t}{\displaystyle \sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}} &\qquad x = {} & \frac{\displaystyle x'+v\cdot t}{\displaystyle \sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}} \\ z' = {} & z &\qquad z = {} & z' \\ y' = {} & y &\qquad y = {} & y' \\ t' = {} & \frac{\displaystyle t-{\frac {\displaystyle v\cdot x}{\displaystyle c^{2}}}}{\displaystyle \sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}} &\qquad t = {} & \frac{\displaystyle t'+{\frac {\displaystyle v\cdot x}{\displaystyle c^{2}}}}{\displaystyle \sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\ \end{aligned} \tag{16.7} \end{equation}\]

Oder übersichtlicher mit dem Lorentzfaktor \(\gamma\) ausgedrückt:

\[\begin{equation} \begin{aligned} x' = {} & \gamma\cdot \left(x-v\cdot t\right) &\qquad x = {} & \gamma\cdot \left(x'+v\cdot t\right)\\ z' = {} & z &\qquad z = {} & z'\\ y' = {} & y &\qquad y = {} & y'\\ t' = {} & \gamma\cdot \left(t-{\frac {\displaystyle v\cdot x}{\displaystyle c^{2}}}\right) &\qquad t = {} & \gamma\cdot \left(t'+{\frac {\displaystyle v\cdot x}{\displaystyle c^{2}}}\right)\\ \end{aligned} \tag{16.8} \end{equation}\]

Für alltägliche Geschwindigkeiten (\(v<<c\)) gilt:

\[ \begin{aligned} \left({\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}\right)^{-1} \approx {} & 1 \\ \frac {\displaystyle v\cdot x}{\displaystyle c^{2}} \approx {} & 0 \\ \end{aligned} \]

Und du erhältst wieder die Formeln für die Galilei-Transformation.

16.3.6 Euklidischer Abstand

In der euklidischen Geometrie der newtonschen Mechanik messen zwei Personen in unterschiedlichen Inertialsystemen zwar unterschiedliche Koordinaten, es gibt aber Größen, die in allen Inertialsystemen denselben Wert ergeben. Diese werden Unveränderliche oder Invarianten genannt. Ein Beispiel dafür ist der Abstand (engl. Euclidean distance) zwischen zwei Ereignissen \(E_1\) und \(E_2\) (Bild 16.26).

Die Größe

\[\begin{equation} d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{(\Delta x')^2+(\Delta y')^2}=\ldots \tag{16.9} \end{equation}\]

ist in allen Inertialsystemen gleich groß.

16.3.7 Raum-Zeit-Abstand

Die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie ist aber eine hyperbolische Geometrie. Durch die Lorentzkontraktion sind Längen abhängig von der Geschwindigkeit und der Euklidische Abstand ist keine unveränderliche Größe (Invariante) mehr. In relativ zueinander bewegten Inertialsystemen liefert die Messung des Abstandes zwischen zwei Ereignissen unterschiedliche Werte!

Neben der Lichtgeschwindigkeit ist der Raum-Zeit-Abstand (engl. space time interval) zwischen zwei Ereignissen ebenfalls eine invariante Größe. Er wird mit der folgenden Formel berechnet:

\[\begin{equation} s^2 = c^{2}\cdot\Delta t^{2}-(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}) \tag{16.10} \end{equation}\]

In diesem Ausdruck bedeuten:

• \(s\), der Raum-Zeit-Abstand zwischen den Ereignissen (in \(\mathrm{m}\))
• \(c\), die Lichtgeschwindigkeit (\(3\cdot 10^{8}\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\))
• \(\Delta t\), die Zeitdifferenz zwischen den Ereignissen (in \(\mathrm{s}\))
• \(\Delta x\), der x-Abstand zwischen den Ereignissen (in \(\mathrm{m}\))
• \(\Delta y\), der y-Abstand zwischen den Ereignissen (in \(\mathrm{m}\))
• \(\Delta z\), der z-Abstand zwischen den Ereignissen (in \(\mathrm{m}\))

Dieser Raum-Zeit-Abstand für zwei Ereignisse kann in allen Inertialsystemen berechnet werden und führt dort überall zum selben Ergebnis! Als Beispiel wollen wir den Raum-Zeit-Abstand zwischen folgenden zwei Ereignissen berechnen (Bild 16.27):

• Ereignis \(Q\): Lichtblitz wird im Ursprung ausgelöst
• Ereignis \(E\): Lichtblitz trifft an dieser Stelle ein

Da es sich um eine kugelförmige Wellenfront handelt, entspricht der Ausdruck \(c^{2}\cdot\Delta t^{2}\) dem Quadrat des Kugelradius der zu Beginn des Zeitintervalls ausgesendeten Wellenfront. Auf der anderen Seite entspricht der zweite Summand \(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}\) dem Quadrat der (Raum)-Diagonale. Trifft die Wellenfront am Punkt \(E(x,y,0)\) ein, sind beide Größen gleich groß und der Raum-Zeit-Abstand ist null!

\[ c^{2}\cdot\Delta t_{QE}^{2}-(\Delta x_{QE}^{2}+\Delta y_{QE}^{2}+\Delta z_{QE}^{2}) = 0 \]

Da sich aber Licht in jedem Inertialsystem mit derselben Geschwindigkeit ausbreitet (Konstanz der Lichtgeschwindigkeit) muss der Raum-Zeit-Abstand dieser beiden Ereignisse in jedem Inertialsystem gleich null sein! Zwei so verbundene Ereignisse werden lichtartig genannt.

Während der euklidische Abstand immer positiv oder null ist, kann der Raum-Zeit-Abstand auch eine negative Zahl sein. Da sich jede Wirkung maximal mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, gilt: Ist der Raum-Zeit-Abstand

• größer null, dann überwiegt der Zeit-Anteil (zeitartige Ereignisse). In diesem Fall liegen die beiden Ereignisse räumlich so nahe, dass sich eine Wirkung rechtzeitig von \(Q\) bis zu \(E\) ausbreiten kann. Das Ereignis \(Q\) kann daher das Ereignis \(E\) kausal beeinflussen – \(Q\) kann die Ursache von \(E\) sein.

• kleiner null, dann überwiegt der Raum-Anteil (raumartige Ereignisse). In diesem Fall sind zwei Ereignisse so weit voneinander räumlich getrennt, dass nicht einmal ein Lichtstrahl (und damit auch keine Wirkung) rechtzeitig zum Eintreten von Ereignis \(E\) ausbreiten kann. Zwischen den Ereignissen \(Q\) und \(E\) kann es keinen kausalen Zusammenhang geben – \(Q\) kann nicht die Ursache von \(E\) sein.

16.3.8 Relativistische Geschwindigkeitsaddition

In der newtonschen Physik addieren sich Geschwindigkeiten: Fährst du mit dem Fahrrad \(20\;\mathrm{km/h}\) und du siehst ein Auto mit \(20\;\mathrm{km/h}\) an dir vorbeibewegen, weißt du, dass der Tachometer des Autos \(40\;\mathrm{km/h}\) anzeigt.

Anders in der speziellen Relativitätstheorie: Schaltest du eine Taschenlampe ein, breitet sich das Licht mit Lichtgeschwindigkeit \(c\) vor dir aus. Bewegt sich ein Raumschiff mit der Geschwindigkeit \(v=0{,}5\cdot c\) frontal auf dich zu, müsste das Licht gemessen vom Raumschiff eine Geschwindigkeit von \(w=c + 0{,}5\cdot c = 1{,}5\cdot c\) besitzen – ein klarer Widerspruch zur Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Die einfache Geschwindigkeitsaddition kann hier also nicht gelten.

Willst du eine Geschwindigkeit \(w'\) in einem Inertialsystem \(S'\) in die Geschwindigkeit \(w\) umrechnen, die eine Person in einem anderen Inertialsystem \(S\) misst, musst du die Formel für die relativistische Geschwindigkeitsaddition verwenden. Bewegt sich das System \(S'\) an \(S\) mit der Geschwindigkeit \(v\) (gemessen in \(S\)) vorbei (Bild 16.28), lautet die Formel:

Formel für die relativistische Geschwindigkeitsaddition: \[\begin{equation} w=\frac{w'+v}{1+\frac{\displaystyle w'\cdot v}{\displaystyle c^2}} \tag{16.11} \end{equation}\]

In dieser Formel bedeuten:

• \(w\), die Geschwindigkeit gemessen im Inertialsystem \(S\) (in \(\mathrm{m/s}\))
• \(w'\), die Geschwindigkeit gemessen im Inertialsystem \(S'\) (in \(\mathrm{m/s}\))
• \(v\), die Relativgeschwindigkeit beider Inertialsysteme, gemessen in \(S\) (in \(\mathrm{m/s}\))
• \(c\), die Lichtgeschwindigkeit (\(3\cdot 10^{8}\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\))

Die Lichtgeschwindigkeit ist eine sehr große Zahl, daher gilt für kleine Geschwindigkeiten \(v\) und \(w'\) näherungsweise:

\[ \frac{\displaystyle w'\cdot v}{\displaystyle c^2} \approx 0 \]

Dadurch ist der Nenner näherungsweise 1 und du erhältst die Gleichung für die „einfache“ Geschwindigkeitsaddition der newtonschen Mechanik.

\[ w=w'+v \]

16.3.9 Herleitung der relativistischen Geschwindigkeitsaddition

In diesem Abschnitt leiten wir die Formel für die relativistische Geschwindigkeitsaddition mithilfe der Lorentz-Transformation her. Wir beschränken uns auf Geschwindigkeiten in x-Richtung. Wir benötigen daher nur die Gleichungen für \(x=\ldots\) und \(t=\ldots\):

\[ \begin{aligned} x = {} & \left({\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}\right)^{-1}\cdot \left(x'-v\cdot t'\right) && = \gamma \left(x'-v\cdot t'\right) \\ t = {} & \left({\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}\right)^{-1}\cdot \left(t'-{\frac {\displaystyle v\cdot x'}{\displaystyle c^{2}}}\right) && = \gamma \left(t'-{\frac {\displaystyle v\cdot x'}{\displaystyle c^{2}}}\right) \\ \end{aligned} \]

Für eine Geschwindigkeit \(w\) gemessen in Inertialsystem \(S\) in x-Richtung gilt \(w=x/t\) und für eine Geschwindigkeit \(w'\) gemessen in Inertialsystem \(S'\) in x-Richtung gilt \(w'=x'/t'\).

\[ \begin{aligned} w = {} & \frac{x}{t} \\ w = {} & \frac{\cancel{\gamma} \left(x'-v\cdot t'\right)}{\cancel{\gamma} \left(t'-{\frac {\displaystyle v\cdot x'}{\displaystyle c^{2}}}\right)} \\ w = {} & \frac{x'-v\cdot t'}{t'-{\frac {\displaystyle v\cdot x'}{\displaystyle c^{2}}}} &&\Bigr\rvert\;\text{Bruch erweitern mit } \frac{1}{t'}\\ w = {} & \frac{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle t'}\cdot \left(x'-v\cdot t'\right)}{\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle t'}\cdot \left(t'-{\frac {\displaystyle v\cdot x'}{\displaystyle c^{2}}}\right)} \\ w = {} & \frac{\frac{\displaystyle x'}{\displaystyle t'}-v}{1-{\frac {\displaystyle v}{\displaystyle c^{2}}\cdot \frac{\displaystyle x'}{\displaystyle t'}}} &&\Bigr\rvert\;\text{einsetzen }\frac{x'}{t'}=w'\\ w = {} & \frac{w'-v}{1-{\frac {\displaystyle v}{\displaystyle c^{2}}\cdot w'}}\\ \end{aligned} \]

Und wir erhalten die Formel für die relativistische Geschwindigkeitsaddition.

\[ w=\frac{w'+v}{1+\frac{\displaystyle w'\cdot v}{\displaystyle c^2}} \]