B.4 Felder

Bei dem Wort „Feld“ denken die meisten sofort an landwirtschaftlich genutzte Flächen (Bild B.35).

Grüne Reisgarben auf einem Reisfeld in Si Phan Don in Laos.

Bild B.35: Grüne Reisgarben auf einem Reisfeld in Si Phan Don in Laos.

Aber auch in der Mathematik gibt es Felder. Darum geht es in diesem Kapitel.

B.4.1 Der Feldbegriff

In der Mathematik findest du folgende Definition:

Lassen sich jedem Punkt der Ebene (oder des Raumes) eine eindeutige mathematische Größe (eine Zahl, ein Vektor,…) zuordnen, handelt es sich um ein Feld (engl. field).

In Bild B.36 siehst du ein Beispiel für ein Feld. Im Sandkasten befindet sich ein Gelände. Jedem Punkt der Ebene kann eine Zahl (die Geländehöhe an der betreffenden Stelle) zugeordnet werden). Aus diesem Zahlenfeld erzeugt der Computer ein farbiges Höhenschichtbild (am Bildschirm und als Projektion auf dem Gelände des Sandkastens).

interaktives Höhen-Feld aus einem Gelände (Sandkiste)

Bild B.36: interaktives Höhen-Feld aus einem Gelände (Sandkiste)

Obwohl es sich nur um eine rein ebene Information handelt, kannst du einiges über das Gelände daraus erfahren. Eine erste Orientierung liefern dir die Farben des Bildes: Je höher das Gelände, desto rötlicher die Farbe. Zusätzlich sind Höhenlinien (engl. contour lines) eingezeichnet. Diese verbinden jeweils Orte gleicher Geländehöhe. Diese Darstellung kennst du vermutlich von Landkarten. So erkennst du besonders steile Stellen im Gelände daran, dass die Höhenschichtlinien dort besonders dicht liegen (B.37).

Höhenschichtlinien eines Geländes

Bild B.37: Höhenschichtlinien eines Geländes

B.4.2 Skalarfelder

Wird jedem Raumpunkt eine Zahl (Skalar) zugeordnet, handelt es sich um ein Skalarfeld (engl. scalar field). In Bild B.38 siehst du ein Beispiel für ein Skalarfeld.

Beispiel für ein Skalarfeld

Bild B.38: Beispiel für ein Skalarfeld

Beispiele für Skalarfelder in der Physik sind:

  • Temperaturfelder (Temperatur an jeder Stelle)
  • Druckfelder (Druck an jeder Stelle)
  • Potenzialfelder (potenzielle Energie an jeder Stelle)

B.4.3 Darstellung von Skalarfeldern

Die reinen Zahlenwerte für einen Flächen- oder Raumpunkt sind für Menschen sehr unanschaulich. Eine übliche Darstellung für ein Skalarfeld ist eine Heatmap. Dabei wird jeder Stelle entsprechend ihrem Wert ein Farbwert zugeordnet. In Bild B.39 siehst du das Skalarfeld aus dem letzten Abschnitt als Heatmap dargestellt.

Skalarfeld in Heatmap-Darstellung

Bild B.39: Skalarfeld in Heatmap-Darstellung

Eine weitere gebräuchliche Darstellung von Skalarfeldern ist durch Äquipotenziallinien ((engl. equipotential oder isopotential lines)). In dieser Darstellungsform werden alle Stellen im Feld mit gleichen Werten durch Linien miteinander verbunden (Bild B.40).

Skalarfeld in Äquipotenziallinien-Darstellung

Bild B.40: Skalarfeld in Äquipotenziallinien-Darstellung

Die Linien sind dabei immer so gewählt, dass die Differenz der Werte zwischen zwei benachbarten Äquipotenziallinien gleich groß ist. Auf diese Weise kannst du sofort erkennen, in welchen Bereichen sich die Werte stark ändern (Linien liegen dichter beieinander) und an welchen Stellen sich die Werte nur wenig ändern (Bereiche mit großen Abständen zwischen den Linien).

Verbindest du die Stellen gleicher Werte in einem räumlichen Skalarfeld, erhältst du Äquipotenzialflächen ((engl. equipotential oder isopotential surfaces)). Da diese Flächen ineinander geschachtelt sind, ist diese Art der Darstellung meistens recht unübersichtlich. Daher wird oft nur der Schnitt einer Ebene durch die Äquipotenzialflächen an einer besonders interessanten Stelle betrachtet. Dabei erhältst du wieder ein Bild mit Äquipotenziallinien.

B.4.4 Vektorfelder

Wird jedem Raumpunkt ein Vektor (B.3.2) zugeordnet, handelt es sich um ein Vektorfeld (engl. vector field). Beispiele für Vektorfelder in der Physik sind:

  • Strömungsfelder (Strömungsgeschwindigkeit an jeder Stelle)
  • Kraftfelder (Kraft an jeder Stelle)

In Kraftfeldern ist die Bezeichnung Feldstärke (engl. field strength) für den Feldvektor üblich.

Beispiele für Vektorfelder

Bild B.41: Beispiele für Vektorfelder

In Bild B.41 siehst du vier Beispiele für Vektorfelder. Sind alle Feldvektoren parallel und gleich lang, ist das Feld homogen (a). Sind die Feldlinien geschlossen, handelt es sich um ein Wirbelfeld (d).

B.4.5 Darstellung von Vektorfeldern

Unterschiedliche Darstellungen desselben Vektorfeldes

Bild B.42: Unterschiedliche Darstellungen desselben Vektorfeldes

Auch für ein Vektorfeld gibt es unterschiedliche Darstellungen (Bild B.42):

  • In regelmäßigen Abständen sind die Vektoren mit ihrer tatsächlichen Länge eingezeichnet (Darstellung links).

  • In regelmäßigen Abständen sind die Vektorpfeile alle gleich lang und die Farbe und/oder die Helligkeit gibt Auskunft über den Betrag der Feldvektoren (B.3.4, Darstellung rechts).

  • Feldlinienbild eines Vektorfeldes (Darstellung Mitte).

Hier noch ein paar wichtige Eigenschaften von Feldlinien:

  • An jeder Stelle einer Feldlinie verläuft der Feldvektor tangential zu dieser.

  • Jede Feldlinie hat eine eindeutige Richtung.

  • Nimmt die Feldliniendichte in einem Bereich zu, nimmt dort die Stärke des Feldes zu. Umgekehrt nimmt die Feldliniendichte in einem Bereich ab, nimmt dort auch die Stärke des Feldes ab.

B.4.6 Felddarstellung mit Python

Für die Programmiersprache Python gibt es die Bibliothek matplotlib. Sie enthält Funktionen für das Darstellen von Skalar- und Vektorfeldern.

Um eine Heatmap zu erstellen, kannst du die Funktion imshow() mit den Parametern interpolation='nearest' und cmap='hot' verwenden.

Mit der Funktion contour() kannst du Äquipotenziallinien zeichnen lassen (Bild B.43).

Beispiel für ein Bild erzeugt mit contour()

Bild B.43: Beispiel für ein Bild erzeugt mit contour()

Für die Darstellung von Vektorfeldern kannst du die Funktionen quiver() oder streamplot() verwenden (Bild B.44).

Beispiel für ein Bild erzeugt mit quiver()

Bild B.44: Beispiel für ein Bild erzeugt mit quiver()

Speziell für die Darstellung von elektromagnetischen Feldern wurde das Programm VectorFieldPlot.py entwickelt. Die meisten Abbildungen von elektromagnetischen Feldern in der Wikipedia wurden mit diesem Programm erzeugt. Das magnetische Feldlinienbild eines Ringmagneten in Bild B.45 wurde zum Beispiel damit erzeugt.

Beispiel für ein Bild erzeugt mit VectorFieldPlot.py

Bild B.45: Beispiel für ein Bild erzeugt mit VectorFieldPlot.py

Links:

B.4.7 Felddarstellung mit Mathematica

Mathematica bietet sehr viele Funktionen zur Darstellung von Skalar- und Vektorfeldern an. Liegen die Werte des Feldes (Zahlen oder Vektoren) als Messdaten vor, verwendest du Funktionen, die mit List... im Namen beginnen. Alle anderen Funktionen sind für Darstellung von Feldern mit berechneten Werten.

Für die Darstellung von Skalarfeldern (B.4.2) kannst du zum Beispiel folgende Funktionen verwenden:

Beispiel für ein Bild erzeugt mit ListDensityPlot[]

Bild B.46: Beispiel für ein Bild erzeugt mit ListDensityPlot[]

Für die Darstellung von Vektorfeldern (B.4.4) kannst du zum Beispiel folgende Funktionen verwenden:

Beispiel für ein Bild erzeugt mit VectorPlot[]

Bild B.47: Beispiel für ein Bild erzeugt mit VectorPlot[]