B.2.1 Rechtwinkeliges Dreieck

In Bild B.10 siehst du ein rechtwinkeliges Dreieck – also ein Dreieck, das einen \(90^\circ\)-Winkel besitzt. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt – sie ist die längste Seite im rechtwinkeligen Dreieck. Die beiden anderen (kürzeren Seiten) werden Katheten genannt.

Kennst du einen weiteren Winkel (in unserem Beispiel \(\alpha\)), sind automatisch alle Winkel bekannt (da die Winkelsumme in jedem Dreieck \(180^\circ\) beträgt), und die Proportionen der Seitenlängen des Dreiecks sind fix. Die Seitenproportionen hängen also nur von einem bekannten Winkel ab.

Bezeichnen wir die am Winkel anliegende Kathete als Ankathete und die gegenüberliegende als Gegenkathete, dann haben die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck folgende Namen:

• Sinus (engl. sine) :

\[\begin{equation} \displaystyle\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \tag{B.13} \end{equation}\]

• Kosinus (engl. cosine):

\[\begin{equation} \displaystyle\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \tag{B.14} \end{equation}\]

• Tangens (engl. tangent):

\[\begin{equation} \displaystyle\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \tag{B.15} \end{equation}\]

Kennst du die Länge einer Seite und einen der beiden nicht rechten Winkel, kannst du dir durch Umformen der obigen Gleichungen die restlichen Seiten berechnen.

B.2.2 Berechnen von Sinus-, Kosinus- und Tangenswerten

Die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck folgen keiner einfachen Formel und können nicht direkt durch Einsetzen in eine Gleichung berechnet werden. Früher mussten die Werte in entsprechenden Tabellen mühsam nachgeschlagen werden. Heute liefern dir Taschenrechner und Computer sofort die Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für einen bestimmten Winkel.

Aber Vorsicht: Die Funktionen einiger Programme verlangen die Eingabe des Winkels im Gradmaß andere aber im Bogenmaß (Radiant). Das ist ein in der Physik übliches Winkelmaß, über das du in Kapitel Drehwinkel und Radiant mehr erfährst. Wenn du dir nicht sicher bist, welches Gradmaß erwartet wird, kannst du einen einfachen Test durchführen: Berechne den Sinus von der Zahl 90. Bekommst du das Ergebnis:

• \(1\), erwartet die Funktion einen Winkel im Gradmaß.
• \(0{,}89\ldots\), erwartet die Funktion einen Winkel im Bogenmaß.

B.2.3 Werte für ausgewählte Winkel

Auch wenn du heute problemlos die Werte für Sinus, Cosinus und Tangens berechnen lassen kannst, ist es manchmal hilfreich, ihre Werte für bestimmte Winkel zu kennen.

\(\alpha\;\text{[Grad]}\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\alpha\;\text{[Radiant]}\)	\(0\)	\(\pi/6\)	\(\pi/4\)	\(\pi/3\)	\(\pi/2\)
\(\sin(\alpha)\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\cos(\alpha)\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)
\(\tan(\alpha)\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	\(\infty\)

B.2.4 Einheitskreis

Betrachten wir einen Punkt \(P(x_P|y_P)\) auf einem Einheitskreis (Kreis mit Radius \(r=1\)). Der Radius zum Punkt bildet mit der x-Achse ein rechtwinkeliges Dreieck mit einer Hypotenuse der Länge 1, einer Ankathete der Länge \(x_P\) und einer Gegenkathete der Länge \(y_P\) (Bild B.12).

Für den Einheitskreis gilt:

\[ \sin(\alpha)=\frac{\text{GK}}{\text{1}}=\text{GK}=y_P \]

\[ \cos(\alpha)=\frac{\text{AK}}{\text{1}}=\text{AK}=x_P \]

Damit entsprechen die Sinus- und Kosinuswerte genau den Koordinaten von \(P\). Außerdem erhalten wir aus diesem Dreieck mithilfe des Satzes von Pythagoras den folgenden Zusammenhang („trigonometrischer Pythagoras“, engl. pythagorean trigonometric identity):

\[\begin{equation} \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1 \tag{B.16} \end{equation}\]

Wobei \(\sin^2(\ldots)\) für das Quadrat des Sinuswertes \((\sin(\ldots))^2\) geschrieben wird.

Aus der Definition des Tangens folgt das Verhältnis:

\[\begin{equation} \tan(\alpha):1 = \sin(\alpha):\cos(\alpha) \tag{B.17} \end{equation}\]

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke sehen wir, dass der Tangenswert dem Abstand von x-Achse und dem Schnittpunkt des verlängerten Radius und der Kreistangente (Tangentenabschnitt) entspricht (Bild B.13).

Mithilfe des Einheitskreises lässt sich die Definition von Sinus, Kosinus und Tangens auf den Winkelbereich \(0°<\alpha<360°\) erweitern. Dabei ergeben sich folgende Vorzeichen für die unterschiedlichen Quadranten:

	\(\alpha\)	\(\sin(\alpha)\)	\(\cos(\alpha)\)	\(\tan(\alpha)\)
1. Quadrant	\(0°–90°\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
2. Quadrant	\(90°–180°\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
3. Quadrant	\(180°–270°\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
4. Quadrant	\(270°–360°\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)

B.2.5 Winkelfunktionen

Ein Winkel über \(360°\) kann als Drehung gegen den Uhrzeigersinn über eine volle Umdrehung hinaus angesehen werden. Dann entsprechen zum Beispiel die Winkel

\[ \begin{aligned} 380° = {} & 1\cdot 360°+20° & \mathrel{\hat{=}} 20°\\ 740° = {} & 2\cdot 360°+20° & \mathrel{\hat{=}} 20° \\ 1100° = {} & 3\cdot 360°+20° & \mathrel{\hat{=}} 20° \\ \end{aligned} \]

gleichbedeutend mit einem Winkel von \(20°\). Ebenso können negative Winkelwerte als Drehung im Uhrzeigersinn aufgefasst werden. Dann entspricht ein Winkel von \(-90°\) dem Winkel \(360°-90°=270°\).

Auf diese Weise lassen sich auch Sinus-, Kosinus- und Tangens zu Funktionen auf den Wertebereich der reellen Zahlen (\(\mathbb{R}\)) erweitern. Diese Funktionen werden als Winkelfunktionen (engl. trigonometric functions) bezeichnet. Ihre Werte wiederholen sich mit einer Periode von \(360°\) (\(2\pi\) Radiant).

\[ \begin{aligned} \sin(\alpha +k\cdot 360^{\circ }) = {} & \sin (\alpha)\qquad\\ \cos(\alpha +k\cdot 360^{\circ }) = {} & \cos (\alpha)\qquad\\ \tan(\alpha +k\cdot 360^{\circ }) = {} & \tan (\alpha)\qquad\\ \end{aligned} \]

Mit \(k=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots\).

In Bild B.14 siehst du die Graphen der Winkelfunktionen.

Die Kosinusfunktion ist symmetrisch bezüglich der y-Achse. Multiplizieren des Funktionsarguments mit -1 spiegelt den Funktionsgraphen an der y-Achse. Für die Kosinusfunktion gilt daher:

\[\begin{equation} \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \tag{B.18} \end{equation}\]

Spiegelst du den Graphen der Sinusfunktion an der y-Achse (multiplizieren des Arguments mit -1) und an der x-Achse (multiplizieren des Funktionswerts mit -1), erhältst du denselben Kurvenverlauf. Für die Sinusfunktion gilt daher:

\[\begin{equation} \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \tag{B.19} \end{equation}\]

Sinus- und Kosinusfunktionen haben dieselbe Form, sind aber zueinander verschoben. Verschiebst du den Kosinus um \(\pi/2\) nach rechts, erhältst du die Sinusfunktion.

\[\begin{equation} \cos(\alpha-\frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha) \tag{B.20} \end{equation}\]

Wenn du die Sinusfunktion um \(\pi/2\) nach links verschiebst, erhältst du die Kosinusfunktion.

\[\begin{equation} \sin(\alpha+\frac{\pi}{2}) = \cos(\alpha) \tag{B.21} \end{equation}\]

B.2.6 Allgemeines Dreieck

Jedes allgemeine Dreieck kann durch die Höhen in zwei rechtwinkelige Dreiecke geteilt werden (Bild B.15). Daraus lassen sich Beziehungen für Sinus und Kosinus auch für beliebige Dreiecke ableiten.

Sind \(a\), \(b\) und \(c\) die Seitenlängen eines beliebigen Dreiecks und \(a\), \(b\) und \(c\) die gegenüberliegenden Winkel, dann gelten (ohne Beweis):

• Sinussatz (engl. law of sines):

\[\begin{equation} {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }} \tag{B.22} \end{equation}\]

• Kosinussatz (engl. law of cosines):

\[\begin{equation} {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \gamma } \tag{B.23} \end{equation}\]

B.2.7 Umkehrfunktionen

Um aus einem Seitenlängenverhältnis eines rechtwinkligen Dreiecks den Winkel zu berechnen, benötigst du die Umkehrfunktionen (engl. inverse function) der Winkelfunktionen. Diese heißen:

• Arkussinus (\(\arcsin(x)\), \(\operatorname{asin}(x)\) oder \(\sin^{-1}(x)\))
• Arkuskosinus (\(\arccos(x)\), \(\operatorname{acos}(x)\) oder \(\cos^{-1}(x)\))
• Arkustangens (\(\arctan(x)\), \(\operatorname{atan}(x)\) oder \(\tan^{-1}(x)\))

Die hochgestellte Zahl \(-1\) bezeichnet in diesen Fällen die Umkehrfunktion und nicht den Kehrwert der Arkusfunktion!

Spiegeln des Funktionsgraphen an der 1. Mediane (\(45°\)-Gerade) liefert den Graphen der Umkehrfunktion. Durch die Periodizität der Winkelfunktion sind diese Kurven aber keine Funktionen (zu einem x-Wert gibt es immer mehrere y-Werte). Um daraus Funktionsgraphen zu erhalten, muss die Definitionsmenge eingeschränkt werden (Bild B.16).

• Arkussinus: \(\displaystyle \arcsin \colon [-1,1]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\), liefert also Winkel zwischen \(-90°\leq\varphi\leq 90°\)

• Arkussinus: \(\displaystyle \arccos \colon [-1,1]\to [0,\pi ]\), liefert also Winkel zwischen \(0°\leq\varphi\leq 180°\)

• Arkustangens: \(\displaystyle \arctan \colon [-\infty,\infty]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\), liefert also Winkel zwischen \(-90°\leq\varphi\leq 90°\)

Spiegelst du den Graphen des Arkussinus an der x-Achse und verschiebst ihn um \(\pi/2\) entlang der y-Achse nach oben, erhältst du die Arkuskosinus Funktion. Es gilt daher:

\[\begin{equation} \arccos(x)=-\arcsin(x)+{\frac {\pi }{2}} \tag{B.24} \end{equation}\]

oder

\[\begin{equation} \arcsin(x)+\arccos(x)={\frac {\pi }{2}} \tag{B.25} \end{equation}\]

B.2.8 Berechnen von Arkussinus-, Arkuskosinus- und Arkustangenswerten

Für das Winkelmaß des Funktionswertes der Arkusfunktionen gilt Analoges wie für die Berechnung der Sinus- und Kosinuswerte. Im Zweifelsfall hilft auch hier ein kurzer Test: Liefert der Ausdruck arcsin(1) den Wert

• 90, erwartet die Funktion Werte im Gradmaß
• \(1{,}57\ldots\) (\(=\pi/2\)), erwartet die Funktion Werte im Bogenmaß

In einer Tabellenkalkulation, wie zum Beispiel LibreOffice Calc, erwarten die Funktionen Argumente im Bogenmaß. Aber es gibt eine Funktion zur Umrechnung von Radiant in das Gradmaß. Mit der Zellenformel =GRAD(ARCSIN(1)) erhältst du zum Beispiel das Ergebnis 90.

Manche Programme und die meisten Programmiersprachen besitzen auch noch eine zweite Arcustangens-Funktion atan2(x,y) (oder arctan2). Diese hat zwei Argumente: die x- und y-Koordinate des Radiusvektors. Das ermöglicht der Funktion, das richtige Winkelergebnis in allen 4 Quadranten, also im Bereich \(\left[-\pi,\pi\right]\) zu liefern. Vorsicht: Einige dieser Funktionen erwarten die Argumente in umgekehrter Reihenfolge, also arctan2(y,x). Auch hier hilft im Zweifelsfall ein kurzer Test. Berechne arctan2(1,0). Erhältst du als Ergebnis:

• 0: Dann ist die Reihenfolge der Argumente (x,y).
• \(\pi/2\) oder \(90^\circ\): Dann ist die Reihenfolge der Argumente (y,x).

B.2.9 Potenzreihenentwicklungen

Die Werte für die Sinus- und Kosinusfunktionen lassen sich durch bestimmte Potenzreihen (Taylorreihen) darstellen:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \sin(x) &=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[1ex] &=\sum_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1} \\ \end{aligned} \tag{B.26} \end{equation}\]

und

\[\begin{equation} \begin{aligned} \cos (x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[1ex] &=\sum_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\ \end{aligned} \tag{B.27} \end{equation}\]

Das Ausrufezeichen (Rufzeichen) in den Formeln bezeichnet die Fakultät oder Faktorielle. Damit ist das folgende Produkt gemeint:

\[\begin{equation} n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n \tag{B.28} \end{equation}\]

Da die Summenden beider Potenzreihen mit steigendem \(n\) schnell kleiner werden, ist es in der Praxis oft ausreichend, die ersten paar Summanden zu berechnen, um eine recht gute Näherung für den tatsächlichen Wert der Funktionen zu erhalten.

Für die Tangensfunktion und auch für die entsprechenden Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen) gibt es ebenfalls Potenzreihenentwicklungen, die wir hier allerdings nicht benötigen.

Links:

• Reihenentwicklungen von Tangens
• Reihenentwicklungen von Arkussinus und Arkuskosinus
• Reihenentwicklungen von Arkustangens

B.2.10 Rechenbeispiel zur Trigonometrie

Ein Turm erscheint aus einer Entfernung von \(720\;\mathrm{m}\) unter einem Höhenwinkel von \(19{,}29^\circ\). Berechne die Höhe des Turms.

Als Höhenwinkel \(\alpha\) (engl. angle of elevation) wird die Winkelabweichung aus der Waagrechten nach oben zur Turmspitze bezeichnet (Bild B.17). Gegeben ist die Entfernung \(x\) (Ankathete im rechtwinkligen Dreieck) und gesucht ist die Höhe des Turmes \(y\) (Gegenkathete). Die Winkelfunktion, die beide Katheten miteinander verbindet, ist der Tangens.

\[ \begin{aligned} \frac{y}{x} = {} & \tan(\alpha) &&\qquad\Bigr\rvert\cdot x \\ y = {} & x \cdot \tan(\alpha)\\ \end{aligned} \]

Einsetzen der Werte liefert:

\[ \begin{aligned} y = {} & 720\;\mathrm{m} \cdot \tan(19{,}29^\circ) \\ = {} & 720\;\mathrm{m} \cdot 0{,}34\ldots \\ = {} & 251{,}99\ldots\;\mathrm{m} \\ \end{aligned} \]

Der Turm hat eine Höhe von rund \(252\;\mathrm{m}\).