2.4 Beschleunigung

Bei Beschleunigungsrennen gewinnt nicht der Wagen mit der größten Geschwindigkeit, sondern der Wagen mit der größten Beschleunigung.

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Bild 2.8: Sportwagen bei einem Beschleunigungsrennen

2.4.1 Mittlere Beschleunigung

Unter dem Begriff „Beschleunigung“ versteht man umgangssprachlich, wie rasch sich die Geschwindigkeit eines Körpers ändert. In der Physik ist die mittlere Beschleunigung \(\vec{a}_m\) (engl. acceleration) analog der Formel für die mittlere Geschwindigkeit als Quotient aus Geschwindigkeitsänderung und Zeitänderung definiert, also:

\[\vec{a}_m = \frac{ \vec{v}_2 - \vec{v}_1 }{t_2-t_1}\]

Um die mittlere Beschleunigung eines Körpers zu bestimmen, muss man zunächst die Geschwindigkeit des Körpers zu zwei unterschiedlichen Zeitpunkten messen. Für die Differenz der Geschwindigkeiten, zieht man von der Geschwindigkeit des späteren Zeitpunkts die Geschwindigkeit des früheren Zeitpunkts ab. Dasselbe macht man mit den Zeitpunkten, um die verstrichene Zeit zu erhalten. Pass auf, dass du bei Berechnungen die Reihenfolge nicht vertauschst! Weil es sich bei dem Ausdruck um einen Bruch von zwei Differenzen handelt, sagt man dazu auch Differenzenquotient.

Ist bei \(\vec{v}_1\) und \(\vec{v}_2\) oben in der Formel jetzt die mittlere Geschwindigkeit oder die Momentangeschwindigkeit gemeint? Gut aufgepasst. Eigentlich ist die Momentangeschwindigkeit gemeint. Wenn du aber nur die mittlere Geschwindigkeit zur Verfügung hast, kannst du auch diese verwenden. Je kleiner die Zeitintervalle bei den mittleren Geschwindigkeiten sind, desto genauer dein Ergebnis.

Beachte, dass die Geschwindigkeit eine Verktorgröße ist. Die Differenz der Geschwindigkeiten ist somit ebenfalls ein Vektor. Dagegen sind Zeitangaben Zahlen (Skalare) und deren Differenz ebenfalls eine Zahl. Die Division eines Vektors durch eine Zahl ergibt einen Vektor und somit ist die mittlere Beschleunigung eine Vektorgröße.

Kann die mittlere Beschleunigung negativ sein (bzw. der Vektor negative Komponenten enthalten)? Selbstverständlich. In diesem Fall wird ein Körper (in die eine Achsenrichtung) nicht schneller, sondern langsamer. Bei einem Auto, zum Beispiel, das auf einer geraden Straße fährt und dessen Motorhaube in Richtung positiver x-Achse zeigt, entspricht das einem Bremsmanöver.

2.4.2 Mittlere Beschleunigung - Delta-Notation

Eine andere Form die mittlere Beschleunigung anzuschreiben ist:

\[\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}\]

Als Symbol für die Änderung eines Wertes wird in der Physik häufig der griechische Großbuchstabe Delta \(\Delta\) verwendet. Für die Änderung musst du immer „Wert nachher minus Wert vorher“ rechnen. Beachte: Das Delta ist kein zusätzlicher Faktor, sondern ein Symbol für die Differenz zweier Werte - es darf also nicht im Bruch gekürzt werden.

2.4.3 Einheit der Beschleunigung

Aus den SI-Einheiten von Geschwindigkeit (Meter pro Sekunde) und Zeit (Sekunde) ergibt sich die Einheit \(\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\) („Meter pro Sekundenquadrat“) als Einheit der Beschleunigung.

2.4.4 Momentanbeschleunigung

Bei der Frage nach der Beschleunigung in einem Zeitpunkt, ergibt sich dasselbe Problem wie bei der Frage nach einer Geschwindigkeit in einem Zeitpunkt.

Analog lässt sich die Körpereigenschaft der Momentanbeschleunigung \(\vec{a}\) definieren, die sich als Annährung durch immer kleinere Zeitschritte ergibt.

Zur Berechnung eines exakten Wertes für die Momentanbeschleunigung braucht man auch hier den Grenzwertbegriff der Infinitesimalrechnung.

\[{\vec {a}}={\underset {\Delta t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\frac {\mathrm{d} {\vec {v}}}{\mathrm{d} t}}\]