3.6.1 Senkrechter (lotrechter) Wurf

Unter einem senkrechten oder lotrechten Wurf (engl. vertical projectile motion) wird die Bewegung eines Körpers, der senkrecht in die Höhe geworfen wird – wie zum Beispiel der Ball beim Tennis-Aufschlag in Bild 3.37 – verstanden.

Bild 3.37: Tennisspieler beim Aufschlag

Die Bewegung hängt von der Anfangsgeschwindigkeit und von der Fallbeschleunigung ab. Sobald der Körper die Hand verlässt, nimmt seine Geschwindigkeit ständig ab, bis sie am Umkehrpunkt sogar kurzfristig null ist. Ab jetzt bewegt sich der Körper mit zunehmender negativer Geschwindigkeit nach unten.

3.6.2 Mathematische Beschreibung des senkrechten Wurfs

Wie beim freien Fall handelt es sich auch beim senkrechten Wurf um eine eindimensionale Bewegung. Daher benötigen wir für die Beschreibung nur eine einzige Koordinatenachse (Bild 3.38).

Bild 3.38: Koordinatensystem für Aufgaben beim senkrechten Wurf

Der Ort 0 (Höhe null) bezeichnet den Erdboden. Unsere Bewegung beginnt daher am Ort \(h_0\) (Anfangshöhe). Da wir das Koordinatensystem so gelegt haben, dass „oben“ der positiven y-Richtung und „unten“ der negativen y-Richtung entspricht, hat die Fallbeschleunigung ein negatives Vorzeichen, da sie ja nach unten zeigt. Für die Erde verwenden wir also \(g=-9{,}81\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\).

Bei dieser Bewegung handelt es sich um eine Überlagerung (Superposition) von zwei Bewegungen nach dem Unabhängigkeitsprinzip entlang der y-Achse: Einer gleichförmigen Bewegung (durch die vertikale Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\)) und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (durch die Fallbeschleunigung). In den Gleichungen kommen daher Anteile von beiden Bewegungsformen vor.

\[ \begin{array}{rcccccc} s &=& h_0 &+& v_0\cdot t &+& \displaystyle\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \\ v &=& & & v_0 &+& g\cdot t \\ a &=& & & & & g \end{array} \]

3.6.3 Anwendungsbeispiel: senkrechter Wurf

Eine Person wirft einen Jonglierball mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=5\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) senkrecht in die Höhe und fängt ihn auf derselben Höhe wieder auf. Berechne a) die gesamte Wurfdauer, b) die Geschwindigkeit am Ende des Wurfes und c) die maximale Wurfhöhe.

Als Anfangshöhe \(h_0 = 0\;\mathrm{m}\) legen wir den Ort fest, an dem der Jonglierball die Hand verlässt (und von der Hand nicht weiter beschleunigt werden kann).

Nach dem Wurf ist die Höhe des Balls – wie auch schon zu Beginn – \(h = h_0 = 0\;\mathrm{m}\). Setzen wir den Ort \(s\) gleich null, erhalten wir eine quadratische Gleichung.

\[ 0 = 5\cdot t + \frac{-9.81}{2}\cdot t^2 \]

Löst du die quadratische Gleichung nach der Zeit, bekommst du zwei Lösungen \(t_1=0\;\mathrm{s}\) und \(t_2=1{,}01\ldots\;\mathrm{s}\). Das muss auch so sein, weil sich der Ball zweimal am Ort \(y=0\) befindet. Einmal, wenn er hochgeworfen wird und dann ein zweites Mal, wenn er wieder gefangen wird. Die gesuchte Wurfdauer ist also die zweite Lösung (\(t_{end}=t_2\)).

Als Nächstes berechnen wir die Geschwindigkeit des Balls beim Auffangen (am Ende des Wurfes). Dazu setze in die Geschwindigkeitsgleichung die eben berechnete Wurfdauer ein:

\[ v = 5 + (-9.81\cdot 1{,}01\ldots) = -5\;\mathrm{m/s} \]

Für die Geschwindigkeit erhältst du wieder die Anfangsgeschwindigkeit, allerdings mit negativem Vorzeichen (der Körper bewegt sich in negative y-Richtung).

Am Schluss interessieren wir uns noch für die maximal erreichte Wurfhöhe (Scheitelhöhe) \(h_\mathrm{max}\). Für diese Berechnung verwenden wir die Ortsgleichung. Allerdings haben wir darin noch zwei Unbekannte: den Ort und die Zeit. Wir benötigen also zuerst die Zeit, bis der Körper den Umkehrpunkt (gleich dem Ort der maximalen Wurfhöhe) erreicht (Steigzeit). Am Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit exakt null. Das verwenden wir, um aus der Geschwindigkeitsgleichung die Steigzeit \(t_u\) bis zum Erreichen des Umkehrpunktes zu berechnen.

\[ \begin{aligned} 0 = {} & v_0 + g\cdot t_u &&\qquad\Bigr\rvert-v_0 \\ -v_0 = {} & g\cdot t_u &&\qquad\Bigr\rvert\cdot\frac{1}{g} \\ -\frac{v_0}{g} = {} & t_u \\ \end{aligned} \]

Einsetzen der Werte liefert:

\[ t_u = -\frac{5}{-9.81} = 0{,}50\ldots\;\mathrm{s} \]

Es handelt sich dabei genau um die Hälfte der Zeit zwischen Abwerfen und Auffangen des Körpers. Diese Zeit können wir jetzt verwenden, um aus der Ortsgleichung die maximale Wurfhöhe zu berechnen.

\[ h_\mathrm{max} = 5\cdot 0{,}50\ldots + \frac{-9.81}{2}\cdot (0{,}50\ldots)^2 = 1{,}27\ldots\;\mathrm{m} \]

Die maximale Wurfhöhe befindet sich also rund \(1{,}27\;\mathrm{m}\) über dem Abwurfpunkt.

Bild 3.39: Orts-Zeit und Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines senkrechten Wurfs

Das Orts-Zeit- und das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (Bild 3.39) fassen die Bewegung noch einmal zusammen. Beachte den geraden Verlauf der Kurve im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm. Daran kannst du ebenfalls erkennen, dass es sich die gesamte Zeit über um eine konstante Beschleunigung handelt.

3.6.4 Waagrechter Wurf

Springst du von einem Felsen ins Wasser (Bild 3.40), ist es wichtig, so weit nach vorne zu springen, dass du das tiefe Wasser erreichst, um dich nicht zu verletzen (am besten mit einem Anlauf!).

Bild 3.40: Stroboskopaufnahme eines Klippenspringers

Diese Situation ist annähernd ein waagrechter Wurf (engl. horizontal projectile motion), bei der ein Körper zu Beginn eine bestimmte waagrechte Anfangsgeschwindigkeit besitzt, bevor er schließlich unter dem Einfluss der Schwerkraft zu Boden fällt.

3.6.5 Mathematische Beschreibung des waagrechten Wurfs

Beim waagrechten Wurf handelt es sich um eine zweidimensionale Bewegung. Für die Beschreibung der Bewegung benötigen wir daher zwei Koordinatenachsen (Bild 3.41).

Bild 3.41: Koordinatensystem für Aufgaben beim waagrechten Wurf

Bezeichnen wir als Ort 0 (Höhe null) den Erdboden, beginnt die Bewegung am Ort \(h_0\) (Anfangshöhe). Die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) ist waagrecht, besitzt also keine y-Komponente. Da wir das Koordinatensystem so gelegt haben, dass „oben“ der positiven y-Richtung und „unten“ der negativen y-Richtung entspricht, hat die Fallbeschleunigung ein negatives Vorzeichen, da sie ja nach unten zeigt. Wir verwenden also \(g=-9{,}81\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\).

Bei dieser Bewegung handelt es sich um eine Überlagerung von zwei Bewegungen nach dem Unabhängigkeitsprinzip: Einer gleichförmigen Bewegung (durch die vertikale Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\)) in x-Richtung und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (durch die Fallbeschleunigung) in y-Richtung. Da wir eine zweidimensionale Bewegung haben, gibt es doppelt so viele Gleichungen: nämlich die Gleichung für die x-Richtung

\[ \begin{array}{lcc} s_x &=& v_0\cdot t \\ v_x &=& v_0 \\ a_x &=& 0 \end{array} \]

und die Gleichung für die y-Richtung

\[ \begin{array}{lcccc} s_y &=& h_0 &+& \displaystyle\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \\ v_y &=& &+& g\cdot t \\ a_y &=& & & g \end{array} \]

In Bild 3.42 ist die Bahn des Körpers in einem x-y-Diagramm gezeichnet.

Bild 3.42: Interaktive Abbildung eines waagrechten Wurfs

3.6.6 Anwendungsbeispiel: waagrechter Wurf

Eine Ballwurfmaschine wird so eingestellt, dass die Bälle waagrecht mit einer Anfangsgeschwindigkeit von \(v_0=20\;\mathrm{m/s}\) abgeschossen werden. Der Abschusspunkt befindet sich \(h_0 = 1{,}5\;\mathrm{m}\) über dem Boden. Berechne die Wurfweite (die waagrechte Entfernung zwischen Abschusspunkt und Auftreffpunkt am Boden).

Für die Lösung der Aufgabe ist die folgende Überlegung sehr wichtig: Unabhängig von der waagrechten Geschwindigkeit dauert ein Wurf aus gleicher Höhe immer gleich lange. Das erkennst du an der Gleichung für die y-Richtung: Hier kommt die Geschwindigkeit \(v_0\) überhaupt nicht vor. Im ersten Schritt berechnen wir daher, wie lange der waagrechte Wurf dauert (Wurfdauer). Wie du das berechnest, hast du schon in der Beispielrechnung für den freien Fall gesehen. Dazu nehmen wir die Ortsgleichung und setzen für den Ort 0 ein (denn am Boden endet der Fall) und formen um:

\[ \begin{aligned} 0 = {} & h_0 + \frac{g}{2}\cdot t_{end}^2 &&\qquad\Bigr\rvert-h_0 \\ -h_0 = {} & \frac{g}{2}\cdot t_{end}^2 &&\qquad\Bigr\rvert\cdot 2 \\ -2\cdot h_0 = {} & g\cdot t_{end}^2 &&\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{g} \\ \frac{-2\cdot h_0}{g} = {} & t_{end}^2 &&\qquad\Bigr\rvert\; \sqrt{(\ldots)}\\ \sqrt{\frac{-2\cdot h_0}{g}} = {} & t_{end} \\ \end{aligned} \]

Einsetzen der Werte liefert:

\[ t_{end} = \sqrt{\frac{-2\cdot h_0}{g}} = \sqrt{\frac{-2\cdot 1.5}{-9.81}} = 0{,}55\ldots\;\mathrm{s} \]

Wissen wir die Wurfdauer, kennen wir die Zeit, die der Körper sich mit der (konstanten) Geschwindigkeit zur Seite bewegen kann, bevor er den Boden erreicht. Dazu setzen wir die Wurfdauer in die Gleichung für die x-Komponente des Orts ein und berechnen, wie weit sich der Ball waagrecht in dieser Zeit bewegt hat.

\[ \begin{aligned} s_\text{x,end} = {} & v_0\cdot t_{end} \\ s_\text{x,end} = {} & 20\cdot 0{,}55\ldots \\ s_\text{x,end} = {} & 11{,}06\ldots \\ \end{aligned} \]

Die Wurfweite ist daher rund \(11{,}06\;\mathrm{m}\).

3.6.7 Schräger Wurf

Bogenschützen müssen nach oben zielen (Bild 3.43), um weit entfernte Ziele zu treffen.

Bild 3.43: Bogenschütze zielt auf eine weit entferntes Ziel

Als schräger Wurf oder schiefer Wurf (engl. projectile motion) wird die Bewegung eines Körpers bezeichnet, der mit einer beliebigen Neigung und Anfangsgeschwindigkeit abgeschossen wird und schließlich zu Boden fällt.

3.6.8 Mathematische Beschreibung des schrägen Wurfs

Wie beim waagrechten Wurf ist auch der schräge Wurf eine zweidimensionale Bewegung. Für die Beschreibung der Bewegung benötigen wir daher wieder zwei Koordinatenachsen.

Bild 3.44: Koordinatensystem für Aufgaben zum schrägen Wurf

Der Ort 0 (Höhe null) bezeichnet den Erdboden. Unsere Bewegung beginnt daher am Ort \(h_0\) (Anfangshöhe). Die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) besitzt eine x- und eine y-Komponente (\(v_{x,0}\) und \(v_{y,0}\)). Da wir das Koordinatensystem so gelegt haben, dass „oben“ der positiven y-Richtung und „unten“ der negativen y-Richtung entspricht, hat die Fallbeschleunigung ein negatives Vorzeichen, da sie ja nach unten zeigt. Wir verwenden also \(g=-9{,}81\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\).

Bei dieser Bewegung handelt es sich um eine Überlagerung von zwei Bewegungen: Einer gleichförmigen Bewegung (durch die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\)) in x-Richtung und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (durch die Fallbeschleunigung) in y-Richtung. Da die Anfangsgeschwindigkeit sowohl eine x- als auch eine y-Komponente besitzt, muss die Anfangsgeschwindigkeit in den Gleichungen beider Richtungen vorkommen:

\[ \begin{array}{lcc} s_x &=& v_{x,0}\cdot t \\ v_x &=& v_{x,0} \\ a_x &=& 0 \end{array} \]

und

\[ \begin{array}{rcccccc} s_y &=& h_0 &+& v_{y,0}\cdot t &+& \displaystyle\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \\ v_y &=& & & v_{y,0} &+& g\cdot t \\ a_y &=& & & & & g \end{array} \]

In den Gleichungen sind alle Bewegungen dieses und des letzten Kapitels als Spezialfälle enthalten:

• der freie Fall (wenn \(v_0=0\))
• der senkrechte Wurf (\(v_0=v_{y,0}\))
• der waagrechte Wurf (\(v_0=v_{x,0}\))

In Bild 3.45 ist die Bahn des Körpers in einem x-y-Diagramm gezeichnet. Die Kurve, die dabei entsteht, ist eine Parabel.

Bild 3.45: Interaktive Abbildung eines schrägen Wurfs

3.6.9 Abschusswinkel

Hast du die Winkelfunktionen im Mathematikunterricht schon kennengelernt, kannst du sie verwenden, um die beiden Geschwindigkeitskomponenten bei gegebenem Abschusswinkel \(\alpha\) und Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) zu berechnen. Falls nicht, findest du Anhang dieses Buches eine Zusammenfassung über Winkelfunktion und deren Berechnung.

Mit \(|\vec{v_0}|\), der Länge des Geschwindigkeitsvektors, und der Definition von Sinus und Cosinus erhältst du:

\[ \begin{array}{rcc} v_{x,0} &=& |\vec{v_0}| \cdot \cos(\alpha) \\ v_{y,0} &=& |\vec{v_0}| \cdot \sin(\alpha) \end{array} \]

Das interaktive Bild 3.46 fasst die Zusammenhänge noch einmal zusammen.

Bild 3.46: Interaktive Abbildung zu den x- und y-Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit

3.6.10 Anwendungsbeispiel: schräger Wurf

Ein Ball befindet sich in einer Höhe von \(h_0=2\;\mathrm{m}\) über dem Boden. Er wird mit der waagrechten Geschwindigkeit \(v_{0x}=4.33\;\mathrm{m/s}\) und der senkrechten Geschwindigkeit \(v_{0y}=2.5\;\mathrm{m/s}\) abgeschossen (das entspricht ungefähr einem Tempo von \(v=5\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) und einem Abschusswinkel von \(30^{\circ}\)). Berechne die erreichte Wurfweite.

Um die Wurfweite auszurechnen, benötigst du zunächst die Wurfdauer \(t_{end}\). Dabei gehen wir wie in dem Anwendungsbeispiel zum senkrechten Wurf vor und lösen die Gleichung für \(s_y=0\) nach \(t\):

\[ \begin{aligned} s_y = {} & h_0 + v_{y0} \cdot t + \displaystyle\frac{g}{2}\cdot t^2\\ 0 = {} & 2 + 2.5\cdot t + \displaystyle\frac{-9.81}{2}\cdot t^2\\ \end{aligned} \]

Lösen dieser quadratischen Gleichung liefert \(t_1=-0{,}43\ldots\;\mathrm{s}\) und \(t_2=0{,}94\ldots\;\mathrm{s}\). Die positive Lösung der Gleichung ist unsere gesuchte Wurfzeit \(t_{end}=t_2\).

In einem zweiten Schritt berechnest du die Wurfweite, indem du \(t_{end}\) in die Gleichung für \(s_x\) einsetzt. Genau so haben wir es auch in der Beispielrechnung zum waagrechten Wurf schon gemacht:

\[ \begin{aligned} s_x = {} & v_{x0}\cdot t \\ s_x = {} & 4.33\cdot 0{,}94\ldots \\ s_x = {} & 4{,}08\ldots \\ \end{aligned} \]

Für die Wurfweite erhalten wir einen Wert von rund \(s_x=4{,}08\;\mathrm{m}\).