2.13 Schräger Wurf

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Bild 2.25: Bogenschütze zielt auf eine weit entferntes Ziel

Bogenschützen müssen nach oben zielen (Bild 2.25), um weit entfernte Ziele zu treffen, weil die Bahn des Pfeiles eine ballistische Kurve beschreibt. Davon erfährst du in diesem Kapitel.

2.13.1 Was ist ein schrägen Wurf?

Unter einem schrägen Wurf (engl. projectile motion) versteht man die Bewegung eines Körpers, der mit beliebigen Neigung und Anfangsgeschwindigkeit geworfen wird und schließlich zu Boden fällt. Die Wissenschaft der Ballistik beschäftigt sich mit solchen Bewegungen. In den meisten realen Anwendungen kann der Luftwiderstand allerdings nicht, wie hier, vernachlässigt werden.

2.13.2 Mathematische Beschreibung des schrägen Wurfs

Wie beim waagrechten Wurf ist auch der schräge Wurf eine zweidimensionale Bewegung. Für die Beschreibung der Bewegung benötigen wir daher wieder zwei Koordiatenachsen.

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Bild 2.26: Koordinatensystem für Aufgaben zum schrägen Wurf

Der Ort 0 (Höhe Null) bezeichnet den Erdboden. Unsere Bewegung beginnt daher am Ort \(h_0\) (Anfangshöhe). Die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) besitzt eine x- und eine y-Komponente (\(v_{x,0}\) und \(v_{y,0}\)). Da wir das Koordinatensystem so gelegt haben, dass „oben“ der positiven y-Richtung und „unten“ der negativen y-Richtung entspricht, hat die Fallbeschleunigung ein negatives Vorzeichen, da sie ja nach unten zeigt. Wir verwenden also \(g=-9{,}81\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\).

Bei dieser Bewegung handelt es sich um eine Überlagerung von zwei Bewegungen: einer gleichförmigen Bewegung (durch die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\)) in x-Richtung und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (durch die Fallbeschleunigung) in y-Richtung. Da die Anfangsgeschwindigkeit sowohl eine x- als auch eine y-Komponente besitzt, muss die Anfangsgeschwindigkeit in den Gleichungen beider Richtungen vorkommen.

\[ \begin{array}{lcc} s_x &=& v_{x,0}\cdot t \\ v_x &=& v_{x,0} \\ a_x &=& 0 \end{array} \]

und

\[ \begin{array}{rcccccc} s_y &=& h_0 &+& v_{y,0}\cdot t &+& \frac{g}{2}\cdot t^2 \\ v_y &=& & & v_{y,0} &+& g\cdot t \\ a_y &=& & & & & g \end{array} \]

In den Gleichungen sind alle Bewegungen der letzten Kapitel als Spezialfälle enthalten:

In der folgenden interaktiven Abbildung ist die Bahn des Körpers in einem x-y-Diagramm gezeichnet. Die Kurve die dabei entsteht ist eine Parabel.

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Bild 2.27: Interaktive Abbildung eines schrägen Wurfs

2.13.3 Abschusswinkel

Hast du die Winkelfunktionen im Mathematikunterricht schon kennen gelernt, kannst du sie verwenden, um die beiden Geschwindigkeitkeitskomponenten bei gegebenem Abschusswinkel \(\alpha\) und Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) zu berechnen. Mit \(|\vec{v_0}|\), der Länge des Geschwindigkeitsvektors, und der Definition von Sinus und Cosinus erhälst du:

\[ \begin{array}{rcc} v_{x,0} &=& |\vec{v_0}| \cdot \cos(\alpha) \\ v_{y,0} &=& |\vec{v_0}| \cdot \sin(\alpha) \end{array} \]

Die folgende Interaktive Abbildung fasst die Zusammenhänge noch einmal zusammen.

Interaktive Abbildung zu den x- und y-Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit image source

Bild 2.28: Interaktive Abbildung zu den x- und y-Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit

Vorsicht: Je nachdem mit welchem Programm oder App du Sinus und Cosinus von Winkeln berechnest, erwarten einige Funktionen die Eingabe im Gradmaß andere aber im Bogenmaß (Radiant) – einem in der Physik übliches Winkelmaß.

Wenn du mit deinem Schul-Taschenrechner rechnest, arbeiten die Sinus- und Cosinus-Funktionen standardmäßig mit dem Gradmaß. Am Display siehst du ein DEG (vom englischen DEGree für Grad). Siehst du ein RAD (für RADiant) gibt es eine Taste, mit deren Hilfe du auf das andere Gradmaß wechseln kannst.

In GeoGebra schreibst du das Grad-Symbol zur Zahl dazu. Die Eingabe sin(50°) berechnet den Sinus von \(50^{\circ}\). Fehlt das Grad-Symbol, wird die Zahl als Winkel im Bogenmaß gerechnet.

Wenn du in einer Tabellenkalkulation rechnest, werden Winkel immer im Bogenmaß erwartet. Allerdings gibt es meist eine eigene Funktion, um einen Winkel vom Grad- in das Bogenmaß umzurechnen. In LibreOffce Calc kannst du den Sinus von \(50^{\circ}\) mit der Formel =SIN(BOGENMASS(50)) berechnen.

Wenn du in einer Programmiersprache Winkelfunktionen verwendest, werden Winkel immer im Bogenmaß erwartet. Dort kannst du dich mit der Umrechnungsformel vom Grad- in das Bogenmaß behelfen. Um zum Beispiel in Python den Sinus von \(50^{\circ}\) zu berechnen, musst du zunächst die mathematischen Funktionen mit from math import sin, cos, pi importieren und dann mit sin((pi/180)*50) berechnen.

Wenn du dir bei einem Programm nicht sicher bist, welches Gradmaß die Winkelfunktionen erwarten, kannst du einen einfachen Test durchführen: Berechne den Sinus von der Zahl 90. Bekommst du das Ergebnis

  • 1, erwartet das Programm Winkel im Gradmaß.
  • 0,89… erwarten das Programm Winkel im Bogenmaß.

2.13.4 Schräger Wurf Beispielrechnung

Schauen wir uns wieder eine Beispielrechnung an. In unserem Beispiel wird ein Ball in einer Höhe von \(h_0=2\;\mathrm{m}\) mit den Geschwindigkeitkeitskomponenten \(v_x0=4,33\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) und \(v_y0=2.5\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) (Das entspricht einem Tempo von \(v_x=5\;\mathrm{m}/\mathrm{s}\) und einem Abschusswinkel von \(30^{\circ}\)). Bei einem schrägen Wurf ist meinstens die erreichte Wurfweite von Interesse.

Um die Wurfweite auszurechnen, brauchst du zunächst die Wurfdauer \(t_{end}\). Diese bekommst du durch Einsetzen von \(s_y=0\) und Lösen der quadratischen Gleichung wie in der Beispielrechnung zum senkrechten Wurf gezeigt. Die Lösungen sind \(t_1=-0.43\;\mathrm{s}\) und \(t_2=0.94\;\mathrm{s}\). Die positive Lösung der Gleichung ist unsere gesuchte Wurfzeit \(t_{end}\).

In einem zweiten Schritt berechnest du die Wurfweite, in dem du \(t_{end}\) in die Gleichung für \(s_x\) einsetzt. Genau so haben wir es auch in der Beispielrechnung zum waagrechten Wurf gemacht. Für die Wurfweite bekommst du den Wert \(s_x=4.08\;\mathrm{m}\).

2.13.5 Interessante Links