4.9.1 Zentripetalkraft

Im Abschnitt über die Bewegung entlang eines Kreises hast du erfahren, dass eine Kreisbewegung mit einer konstanten Bahngeschwindigkeit einer beschleunigten Bewegung entspricht. Obwohl die Länge des Geschwindigkeitsvektors unverändert gleich bleibt, ändert sich ständig die Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Die daraus resultierende Zentripetalbeschleunigung zeigt immer zum Kreismittelpunkt.

Bild 4.64: Zentripetalkraft

Jede Bewegung entlang einer Kreisbahn erfordert daher eine zum Kreismittelpunkt gerichtete Kraft, die für die nötige Zentripetalbeschleunigung sorgt (Bild 4.64). Diese Kraft wird Zentripetalkraft \(\vec{F}_\text{Zp}\) (engl. centripetal force) genannt. Setzen wir die Formel für die Zentripetalbeschleunigung ((3.14)) in das dynamische Grundgesetz ein, erhalten wir direkt die Formel für die Zentripetalkraft:

\[ F_\text{Zp} = m\cdot a_\text{Zp} = m\cdot \left(\frac{v^2}{r}\right) \]

Und nach Auflösung der Klammern:

In dieser Formel bedeuten:

• \(F_\text{Zp}\), die zum Kreismittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft (in \(\mathrm{N}\))
• \(m\), die Masse des Körpers (in \(\mathrm{kg}\))
• \(v\), die Bahngeschwindigkeit des Körpers (in \(\mathrm{m/s}\))
• \(r\), der Radius der Kreisbahn (in \(\mathrm{m}\))

Die Zentripetalkraft ist keine neue Art von Kraft. Es ist lediglich ein allgemeiner Name für eine Kraft, die notwendig ist, um einen Körper auf einer kreisförmigen Bahn zu halten. Konkret kann es sich dabei zum Beispiel um

• die Zugkraft eines Seiles (Hammerwurf),
• die Kontaktkraft von Schienen (Achterbahn),
• die Reibungskraft zwischen Reifen und Fahrbahn (Auto)
• die Gravitation (Erde-Mond) oder
• die Lorentzkraft (Teilchenbeschleuniger)

handeln. In manchen Situationen, wie zum Beispiel bei überhöhten Kurven, kann sich die Zentripetalkraft sogar aus unterschiedlichen Kräften (hier: Reibungskraft und Normalkraft) zusammen setzen. Aus diesem Grund wird der Pfeil für die Zentripetalkraft in den Bildern in diesem Kapitel immer als Umriss dargestellt, der von anderen Kräften „gefüllt“ werden muss.

4.9.2 Anwendung Kettenkarussell

Als erstes Beispiel sehen wir uns die Fahrt in einem Kettenkarussell an. Das Kräftediagramm dazu siehst du in Bild 4.65

Bild 4.65: Kräfte bei einem Kettenkarussell

Auf einen Sitz im Kettenkarussell wirken genau zwei Kräfte:

• Gewichtskraft \(F_\text{G}\) (türkisgrün)
• Seilkraft \(T\) (rot)

Bei einer konstanten Fahrt bleibt dein Sitz auf derselben Höhe – die Gewichtskraft \(F_\text{G}\) und die senkrechte Komponente der Seilkraft \(T_\text{y}\) heben einander gerade auf. Die waagrechte Komponente der Seilkraft \(T_\text{x}\) zwingt den Sitz auf eine Kreisbahn. Sie entspricht der Zentripetalkraft in unserem Beispiel.

Je schneller sich das Kettenkarussell dreht, desto größer muss die Zentripetalkraft werden. Da die Gewichtskraft aber immer gleich groß bleibt, muss sich die Zugkraft im Seil erhöhen – der Sitz steigt dabei höher. Da die senkrechte Komponente der Seilkraft immer die Gewichtskraft ausgleichen muss, kann das Seil – egal wie groß die Bahngeschwindigkeit wird – niemals senkrecht stehen!

4.9.3 Anwendung Kreispendel

Um den Zusammenhang von Bahngeschwindigkeit und Steigwinkel beim Kettenkarussell näher zu untersuchen, verwenden wir ein ideales Kreispendel oder konisches Pendel (engl. conical pendulum). Das ist ein Pendel, bei dem der Pendelkörper eine Kreisbahn beschreibt und der Faden einen Kegelmantel (Bild 4.66). Betrachten wir zunächst die rechte Seite der Zeichnung. Die Länge der Pendelschnur ist \(\ell\) und die Kreisbahn des Pendelkörpers hat den Radius \(r\).

Bild 4.66: Kräfte bei einem Kreispendel

Auf der rechten Seite des Bildes siehst du die zwei Kräfte, die auf den Pendelkörper während der Bewegung wirken:

• Gewichtskraft \(F_\text{G}\) (türkisgrün)
• Seilkraft \(T\) (rot)

Die (vektorielle) Summe dieser beiden Kräfte muss die für die Kreisbewegung notwendige Zentripetalkraft \(F_\text{Zp}\) ergeben. Bei einem idealen Kreispendel darf sich die Höhe des Pendelkörpers (und damit der Winkel \(\alpha\)) nicht ändern. Die Kraftkomponente der Seilkraft in senkrechter Richtung \(T_y\) und die Gewichtskraft des Pendelkörpers müssen sich daher gerade aufheben, ihre Summe ist null.

\[ T_\text{y} - m\cdot g = 0 \]

Zunächst suchen wir einen Ausdruck für die wirkende Seilkraft \(T\). Aus dem rechtwinkeligen Dreieck ergibt sich:

\[ \begin{aligned} T_\text{y} - m\cdot g = {} & 0 &&\qquad\Bigr\rvert\;T_\text{y}=T\cdot\sin(\alpha) \\ T\cdot\sin(\alpha) - m\cdot g = {} & 0 &&\qquad\Bigr\rvert+m\cdot g \\ T\cdot\sin(\alpha) = {} & m\cdot g &&\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin(\alpha)} \\ T = {} & \frac{\displaystyle m\cdot g}{\displaystyle \sin(\alpha)}\\ \end{aligned} \]

Als Nächstes drücken wir die Bahngeschwindigkeit \(v\) aus den restlichen Größen aus. Die Seilkraft \(T_x\) in senkrechter Richtung kommt für die gesamte Zentripetalkraft \(F_\text{Zp}\) auf. Gleichsetzen liefert:

\[ \begin{aligned} T_x = {} & F_\text{Zp} \\ T\cdot\cos(\alpha) = {} & \frac{m\cdot v^2}{r}&&\qquad\Bigr\rvert\;r=\ell\cdot\cos(\alpha) \\ T\cdot\cos(\alpha) = {} & \frac{m\cdot v^2}{\ell\cdot\cos(\alpha)}&&\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{\displaystyle 1}{\cos(\alpha)} \\ T = {} & \frac{m\cdot v^2}{\ell\cdot\cos^2(\alpha)}&&\qquad\Bigr\rvert\;T = \frac{\displaystyle m\cdot g}{\displaystyle \sin(\alpha)} \\ \frac{\displaystyle m\cdot g}{\displaystyle \sin(\alpha)} = {} & \frac{m\cdot v^2}{\ell\cdot\cos^2(\alpha)}&&\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{\ell\cdot\cos^2(\alpha)}{m} \\ \frac{\displaystyle\cancel{m}\cdot g\cdot \ell\cdot\cos^2(\alpha)}{\displaystyle \sin(\alpha)\cdot\cancel{m}} = {} & v^2&&\qquad\Bigr\rvert\;\sqrt{\ldots} \\ v = {} & \sqrt{\frac{\displaystyle g\cdot \ell\cdot\cos^2(\alpha)}{\displaystyle \sin(\alpha)}} \\ \end{aligned} \]

Zum Schluss wollen wir überlegen, ob diese Formel stimmen kann. Wenn das Pendel senkrecht nach unten hängt, ist der Winkel \(\alpha=90^\circ\). Da \(\cos(90^\circ)=0\) gilt, wird der gesamte Ausdruck unter der Wurzel null und damit auch die Bahngeschwindigkeit \(v\). In diesem Fall gibt es keine Beschleunigung, und die Seilkraft ist gleich groß der Gewichtskraft des Pendelkörpers.

Im anderen Extremfall, wenn sich der Winkel \(\alpha\) null Grad nähert (\(\alpha\to 0\)), nähert sich auch der Sinus des Winkels null (\(\sin(\alpha)\to 0\)). Da der Sinus im Nenner des Bruches steht, wird der Bruch und damit die Bahngeschwindigkeit in diesem Fall extrem groß. Das Seil kann aber nie waagrecht gespannt sein, da es immer eine senkrechte Komponente der Seilkraft \(T_\text{y}\) geben muss, die der Gewichtskraft des Pendelkörpers entgegenwirkt!

4.9.4 Wegfallen der Zentripetalkraft

Für eine Kreisbahn ist eine zum Mittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft notwendig. Fällt diese plötzlich weg – zum Beispiel, weil die Schnur reißt – welche Bahn beschreibt der Körper dann (Bild 4.67)?

Bild 4.67: Welche Bahn nimmt der Körper nach dem Reißen der Schnur?

Unmittelbar vor dem Reißen der Schnur steht der Geschwindigkeitsvektor tangential an die Kreisbahn. Fällt die Zentripetalkraft weg, bewegt sich der Körper kräftefrei nach dem Trägheitssatz mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer Geraden. Die korrekte Bahn ist daher die Nummer zwei. Alle anderen Bahnkurven sind nur dann möglich, wenn weitere Kräfte auf den Körper wirken.

4.9.5 Anwendung Kurvenfahrt

Als nächstes Beispiel betrachten wir die Kurvenfahrt eines Autos in der Ebene (Bild 4.68):

Bild 4.68: Kräfte bei einer Kurvenfahrt

Dabei sind drei Kräfte zu berücksichtigen:

• Gewichtskraft \(F_\text{G}\) (türkisgrün)
• Normalkraft \(N\) des Bodens (rot)
• Reibungskraft \(R\) zwischen Reifen und Boden (hellgrün)

Die Gewichtskraft und die Normalkraft des Bodens stehen im rechten Winkel zu dem Kreisradius und können zur Zentripetalkraft nichts beitragen. Nur die Reibungskraft zwischen Fahrbahn und Reifen kann für die bei einer Kurvenfahrt notwendige Zentripetalkraft aufkommen. Das merkst du auf dramatische Weise in einem Auto auf blankem Eis, wenn die Haftreibungskraft wegfällt: Es lässt sich keine Kurve mehr fahren!

Die maximale Bahngeschwindigkeit ist also einzig und alleine von der Reibungskraft bestimmt. Fährt das Auto zu schnell in eine Kurve, übersteigt die notwendige Zentripetalkraft die Haftreibungskraft und das Fahrzeug bricht aus. Im Rennsport werden deshalb breitere Reifen mit einem höheren Haftreibungskoeffizienten verwendet. Außerdem befinden sich Spoiler am Fahrzeug, die wie verkehrte Tragflächen wirken und das Auto durch den Fahrtwind auf den Boden pressen. Das erhöht die Normalkraft und damit auch die maximale Haftreibungskraft. So können Kurven mit größerer Geschwindigkeit gefahren werden als mit einem herkömmlichen Auto.

4.9.6 Anwendung überhöhte Kurven

In Bobbahnen, Radstadien, auf manchen Rennstrecken und auch bei Gleisen der Eisenbahn kannst du Kurven sehen, die zur Innenseite hin geneigt sind. Solche Kurven werden überhöhte Kurven oder Steilkurven (engl. banked turns) genannt. In Bild 4.69 siehst du die Situation dargestellt. Ein Fahrzeug fährt mit der Bahngeschwindigkeit \(v\) entlang einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\).

Bild 4.69: Kräfte bei einer überhöhten Kurve

Für die Kurvenfahrt ist eine zum Kreismittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft \(F_\text{Zp}\) notwendig (Bild Mitte). Bei einer nicht geneigten Kurve sorgt die Haftreibungskraft zwischen Reifen und Straße für die Zentripetalkraft. Wird die Kurve geneigt, übernimmt die Normalkraft des Bodens einen Teil der Zentripetalkraft. Ist der Winkel auf die Bahngeschwindigkeit abgestimmt, braucht es für die Kurvenfahrt überhaupt keine Reibungskraft – die Kurvenfahrt wäre dann sogar auf blankem Eis möglich! Diesen Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit und Neigungswinkel suchen wir.

Auf das Fahrzeug auf der überhöhten Kurve wirken genau zwei Kräfte:

• Gewichtskraft \(F_\text{G}\) (türkisgrün)
• Normalkraft \(N\) des Bodens (rot)

Für eine reibungsfreie Kurvenfahrt muss die (vektorielle) Summe dieser beiden Kräfte gerade die für die Kreisbewegung notwendige Zentripetalkraft ergeben. Soll sich die senkrechte Position des Fahrzeugs bei der Kurvenfahrt nicht ändern, müssen sich die Kraftkomponente der Normalkraft in senkrechter Richtung \(N_\text{y}\) und die Gewichtskraft aufheben, ihre Summe ist daher null.

\[ N_\text{y} - m\cdot g = 0 \]

Zunächst drücken wir die Normalkraft \(N\) durch den Neigungswinkel \(\alpha\) aus. Aus dem rechtwinkeligen Dreieck ergibt sich der Zusammenhang \(N_\text{y} = N\cdot\cos(\alpha)\). Damit folgt:

\[ \begin{aligned} N_\text{y} - m\cdot g = {} & 0 &&\qquad\Bigr\rvert\; N_\text{y} = N\cdot\cos(\alpha)\\ N\cdot\cos(\alpha) - m\cdot g = {} & 0 &&\qquad\Bigr\rvert+m\cdot g\\ N\cdot\cos(\alpha) = {} & m\cdot g &&\qquad\Bigr\rvert\cdot\frac{1}{\cos(\alpha)}\\ N = {} & \frac{m\cdot g}{\cos(\alpha)} \\ \end{aligned} \]

Die waagrechte Komponente der Normalkraft \(N_\text{x} = N\cdot\sin(\alpha)\) muss gleich der Formel der Zentripetalkraft ((4.11)) sein:

\[ N\cdot\sin(\alpha) = \frac{m\cdot v^2}{r} \]

Setzen wir das Ergebnis von vorher ein, erhalten wir den gesuchten Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit und Bahnneigung:

\[ \begin{aligned} N\cdot\sin(\alpha) = {} & \frac{m\cdot v^2}{r} &&\qquad\Bigr\rvert\;N = \frac{m\cdot g}{\cos(\alpha)}\\ \frac{m\cdot g}{\cos(\alpha)}\cdot\sin(\alpha) = {} & \frac{m\cdot v^2}{r} &&\qquad\Bigr\rvert\cdot\frac{1}{m\cdot g}\\ \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = {} & \frac{\cancel{m}\cdot v^2}{r\cdot\cancel{m}\cdot g} &&\qquad\Bigr\rvert\;\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\ \tan(\alpha) = {} & \frac{v^2}{r\cdot g}\\ \end{aligned} \]

Bei kleinen Bahngeschwindigkeiten ist kaum eine Neigung erforderlich. Für größere Bahngeschwindigkeiten sind auch größere Neigungen erforderlich.

4.9.7 Anwendung überhöhte Kurven (mit Reibung)

Wenn Bahngeschwindigkeit und Winkel zusammenpassen, wird bei einer überhöhten Kurve überhaupt keine Reibungskraft benötigt. Üblicherweise gibt es aber immer eine gewisse Reibung zwischen Fahrbahn und Reifen. Diese gestattet es, eine überhöhte Kurve auch mit einer größeren (oder auch kleineren) Geschwindigkeit sicher zu durchfahren. In der Mitte von Bild 4.70 siehst du den Fall einer reibungsfreien Kurvenfahrt für die ideale Bahngeschwindigkeit \(v_0\).

Bild 4.70: Kräfte bei gleicher Bahn-Neigung und unterschiedlicher Bahngeschwindigkeit

Für jede andere Bahngeschwindigkeit außer \(v_0\) sind drei Kräfte zu berücksichtigen:

• Gewichtskraft \(F_\text{G}\) (türkisgrün)
• Normalkraft \(N\) des Bodens (rot)
• Reibungskraft \(R\) zwischen Reifen und Boden (hellgrün)

Ist die Bahngeschwindigkeit größer (\(v>v_0\)), würde im reibungsfreien Fall das Fahrzeug die Fahrbahn seitlich nach oben rutschen (Bild rechts) und sich der Bahnradius vergrößern. Die Reibungskraft zwischen Reifen und Fahrbahn verhindert das. Die waagrechte Komponente der Normalkraft \(N_\text{x}\) und die waagrechte Komponente der Reibungskraft \(R_\text{x}\) ergeben zusammen die Zentripetalkraft \(F_\text{Zp}\) für die Kurvenfahrt. Auch die Reibungskraft hat ihre Grenzen. Ist die Bahngeschwindigkeit so groß, dass die maximale Haftreibungskraft überschritten wird, verlässt das Fahrzeug die Kurve.

Ist die Bahngeschwindigkeit kleiner (\(v<v_0\)), würde im reibungsfreien Fall das Fahrzeug die Fahrbahn seitlich herunter zum Kurvenmittelpunkt rutschen. Die Reibungskraft zwischen Reifen und Fahrbahn verhindert auch das. Im Extremfall, dass das Auto ruht (\(v=0\)), gleicht die Reibungskraft gerade die Haftreibungskraft aus.

4.9.8 Anwendung Looping einer Achterbahn

Das Durchfahren eines Loopings ist eine tolle Erfahrung (Bild 4.63). Welche Bedingung muss erfüllt sein, dass der Wagen sicher den Looping durchfährt? Dazu betrachten wir die Kräfte während eines Loopings (Bild 4.71).

Bild 4.71: Kräfte beim Durchfahren eines Loopings

Zu allen Zeiten sind nur zwei Kräfte am Werk:

• Gewichtskraft \(F_\text{G}\) (türkisgrün)
• Normalkraft \(F_\text{N}\) der Schienen (rot)

An der Stelle 1 fährt der Wagen mit konstanter Geschwindigkeit. Gewichtskraft und die Normalkraft der Oberfläche sind gerade entgegengesetzt gleich groß und heben einander auf. Sobald der Wagen von dem geraden Streckenstück in den Kreisbogen einfährt (Stelle 2), ist eine Zentripetalkraft notwendig, die den Wagen auf die Kreisbahn zwingt. Sie kommt von den Schienen – die Normalkraft steigt sprunghaft an. Außerdem zeigt die Parallel-Komponente der Gewichtskraft gegen die Bewegungsrichtung (Stelle 3). Der Wagen wird langsamer und daher ist trotz gleichen Radius eine immer kleinere Zentripetalkraft notwendig (Stelle 3,4). Die Normalkraft wird auf dem Weg zum höchsten Punkt im Looping immer kleiner und ab der Stelle 4 übernimmt immer mehr die Normalkomponente der Gewichtskraft die Zentripetalkraft. Damit der Wagen auch am höchsten Punkt noch Kontakt zu den Schienen hat, darf dort die Zentripetalkraft nicht kleiner als die Gewichtskraft werden.

\[ \begin{aligned} F_\text{Zp} = {} & F_\text{G} \\ \frac{m\cdot v_0^2}{r} = {} & m\cdot g &&\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{r}{m} \\ v_0^2 = {} & \frac{\cancel{m}\cdot g\cdot r}{\cancel{m}} &&\qquad\Bigr\rvert\;\sqrt{(\ldots)} \\ v_0 = {} & \sqrt{g\cdot r} \\ \end{aligned} \]

Bei dieser Geschwindigkeit am höchsten Punkt im Looping sind der Wagen und die Fahrgäste gerade schwerelos. Aus Sicherheitsgründen wird bei Loopings in Achterbahnen stets eine Geschwindigkeit größer als diese Mindestgeschwindigkeit gewählt (\(v>v_0\)).

Übrigens: Um die starke Belastung beim sprunghaften Anstieg der Normalkraft bei der Einfahrt in den Looping – wie in unserem vereinfachten Beispiel – zu vermeiden, werden heute bei Achterbahnen keine kreisförmigen Abschnitte mehr verwendet. Stattdessen wird ein Streckenverlauf in der Form eines umgekehrten „Tropfens“ verwendet (Klothoide), bei dem kein Ruck zu spüren ist.