8.3 Drehkraft

Im Kapitel Kraft (siehe 3) geht es um die Wirkung von Kräften, die auf einen Massenpunkt wirkt. In diesem Kapitel wollen wir die Wirkung von Kräften untersuchen, die an einem starren Körper angreifen.

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Bild 8.6: Wippe auf einem Spielplatz

Das einfachste Gerät, mit dem wir die Wirkung von Drehkräften an einem starren Körper untersuchen können, kennst du vermutlich schon aus deiner Kindergartenzeit: es ist die Wippe (Bild 8.6).

8.3.1 Der Hebel

Um die Wirkung von Drehkräften vergleichen zu können, beladen wir eine Wippe auf beiden Seiten mit unterschiedlich schweren Massen (Bild 8.7).

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Bild 8.7: Wippe im Gleichgewicht

Die Wirkung der Drehkraft hängt von zwei Größen ab:

  • der Abstand (\(r\)) vom Drehzentrum
  • die Größe der dort angreifende Normalkraft (\(F\), in unserem Beispiel die Gewichtskraft der Körper)

Auf einer Seite verschieben wir die Masse so lange, bis die Wippe im Gleichgewicht ist – jetzt ist die Wirkung der linke und rechten Drehkräfte offensichtlich gleich groß. Messen wir nach, stellen wir fest, dass im Falle eines Gleichgewichts das Produkt aus Kraft (\(F\)) und Abstand vom Drehpunkt (\(r\)) auf beiden Seiten gleich groß ist.

Dieses Hebelgesetz (engl. law of the lever) war spätestens seit er Antike bekannt. Da es meist verwendet wurde um Kraft bei Arbeiten zu sparen, wird es oft in der folgenden Form geschrieben:

„Kraft mal Kraftarm ist gleich Last mal Lastarm“

Die Wippe ist ein Beispiel für einen zweiseitigen Hebel (engl. class 1 lever), bei dem die Kräfte links und rechts vom Drehpunkt (engl. fulcrum) angreifen. Die Schubkarre oder Scheibtruhe ist ein Beispiel für einen einseitigen Hebel (engl. class 2 lever), bei dem beide Kräfte auf derselben Seite des Drehpunkts angreifen.

8.3.2 Das Drehmoment

Bei dem Beispiel des Hebels (8.3.1) haben wir einen Sonderfall: Hier steht die Kraft immer im rechten Winkel auf den Radius. Wir benötigen also einen Ausdruck für die Wirkung einer Drehkraft, der auch für einen beliebigen Winkel zwischen Kraftvektor und Radiusvektor gültig ist.

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Bild 8.8: Wirkung einer Drehkraft bei beliebigen Winkeln

Jeden Kraftvektor, der im Abstand \(r\) an einem starren Körper angreift, kannst du in zwei Kraftkomponenten zerlegen, die unterschiedliche Wirkungen haben (siehe Applet 8.8):

  • Die Wirklinie der Kraftkomponente \(F_\parallel\) geht durch den Drehpunkt. Diese Komponente übt zwar Kraft auf die Drehachse aus, bewirkt aber keine Drehung.

  • Im Unterschied dazu ist die Kraftkomponente \(F_\perp\) für die Drehung des starren Körpers zuständig.

Die Größe der Drehkraft heißt Drehmoment \(M\) (engl. torque). Schließen \(r\) und \(F\) den Winkel \(\alpha\) ein gilt:

\[ M = r\cdot F_\perp = r\cdot F\cdot\sin(\alpha) \]

Es gibt noch eine weitere Möglichkeit das Drehmoment zu berechnen. Im Abschnitt Wirklinie (3.2.3) hast du erfahren, dass sich die Wirkung einer Kraft nicht ändert, wenn sie entlang ihrer Wirklinie verschoben wird. Wir verschieben die Kraft \(F\) so lange, bis sie mit dem Abstand \(d\) einen rechten Winkel bildet (Normalabstand von Wirkline und Drehpunkt). Du erhälst das Drehmoment dann auch durch die Rechnung

\[ M = d\cdot F \]

8.3.3 Die Einheit des Drehmoments

Um auf die Einheit des Drehmoments zu erhalten, setzen wir in die Definitionsgleichung ein:

\[ [M] = [F]\cdot [r] = \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} \]

Die Einheit „Newton Meter“ hat keinen eigenen Namen.

8.3.4 Die Richtung des Drehmoments

Je Nach Richtung der angreifenden Kraft ergibt sich eine rechtsdrehende oder linksdrehende Wirkung. Die Richtung der Wirkung wird als Vorzeichen des Drehmoments angegeben. Das Vorzeichen folgt der mathematischen Konvention für Drehrichtungen. Dabei entspricht ein

  • positives Vorzeichen einer Linksdrehung („gegen den Uhrzeigersinn“)
  • negatives Vorzeichen einer Rechtsdrehung („im Uhrzeigersinn“)

8.3.5 Das Gesamtdrehmoment

Wirken mehrere Drehmomente \(M_1, M_2, M_3, \ldots\) auf einen drehbar gelagerten Körper, dann ist das Gesamtdrehmoment die Summe der einzelnen Drehmomente:

\[ M_{ges} = M_1 + M_2 + M_3 + \ldots = \sum M_i \]

Der griechische Großbuchstabe Sigma in der Mathematik steht für die Summe von Werten, hier den Drehmomenten. Der allgemeine Index \(i\) steht dabei für die Indizes \(1,2,3,\ldots\).

Das Vorzeichen des Gesamtdrehmoments entscheidet ob sich der Körper unter dem Einfluss der Drehmomente links oder rechts dreht.

8.3.6 Das Momentengleichgewicht

Im Abschnitt Kräftegleichgewicht (3.2.5) hast du gesehen, dass es zu keiner Wirkung kommt, wenn die Summe aller Kräfte auf einen Körper Null ist. Analog kommt es zu keiner Drehwirkung, wenn die Summe aller Drehmomente sich gerade aufheben (Momentengleichgewicht, engl. equilibrium of torques).

\[ M_{ges} = \sum M_i = 0 \]

Im Forschungsgebiet der Statik beschäftigt man sich mit unbewegten, ruhenden starren Körpern. Ein Körper ist nur dann im Gleichgewicht, wenn sowohl ein Kräftegleichgewicht als auch ein Momentengleichgewicht herrscht.

8.3.7 Arten von Gleichgewicht

Je nachdem, wie ein Körper, auf eine Störung reagiert, unterscheidet man drei Arten von Gleichgewicht:

  • stabiles Gleichgewicht: Der Körper kehrt nach einer Störung wieder in seinen Ausgangszustand zurück (Bild 8.9 a).

  • indifferentes Gleichgewicht: Der Körper kommt nach jeder Störung in einem neuen Zustand zur Ruhe (Bild 8.9 b).

  • labiles Gleichgewicht: Der Körper geht bei der kleinsten Störung in einen anderen Zustand über. (Bild 8.9 c).

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Bild 8.9: Arten von Gleichgewicht

8.3.8 Das Drehmoment als Vektor

Genau genommen ist das Drehmoment – wie auch die Kraft \(\vec{F}\) aus der Translation – ein Vektor. Seine Definition ist:

\[ \vec{M}=\vec{r}\times \vec{F} \]

Das Drehmoment \(\vec{M}\) ist das Kreuzprodukt aus dem Radiusvektor \(\vec{r}\) und dem Kraftvektor \(\vec{F}\) (Bild 8.10).

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Bild 8.10: Drehmoment als Kreuzprodukt von Radius und Kraft

Durch ihn wird eine Drehkraft vollständig beschrieben:

  • Seine Länge entspricht der Größe der Drehkraft
  • Seine Richtung entspricht der Drehachse
  • Seine Orientierung enthält die Information der Drehrichtung (links- oder rechtsdrehend)

Die Richtung des Drehmomentvektors \(\vec{M}\) steht sowohl normal zu \(\vec{r}\) und als auch normal zu \(\vec{F}\). Um aus der Richtung des Drehmoment-Vektors die Wirkrichtung zu ermitteln, kannst du die Korkenzieherregel (Rechte-Faust-Regel) (engl. right-hand screw rule) verwenden: Lege deine rechte Hand so um den Drehmoment-Vektor, dass der Daumen in dieselbe Richtung wie der Vektor zeigt. Die Richtung der restlichen Finger zeigt dir die Drehrichtung (Bild 8.11).

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Bild 8.11: Rechte Hand Regel um die Wirkrichtung des Drehmoments zu bestimmen.