7.4 Körper im Gleichgewicht

Ein Handstand auf einer Hand (Bild 7.11) ist eine beachtliche Leistung. Neben Kraft benötigt man noch jede Menge „Gleichgewichts-Gefühl“.

Handstand auf einer Hand

Bild 7.11: Handstand auf einer Hand

In diesem Kapitel geht es um das statische und dynamische Gleichgewicht von Körpern.

7.4.1 Statisches Gleichgewicht

Körper, die ihre Lage – trotz angreifender Kräfte – beibehalten, sind im Gleichgewicht. Da sich der Körper im Gleichgewicht nicht bewegt, spricht man von statischem Gleichgewicht (engl. static equilibrum).

Ein Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn sich

  • alle Kräfte aufheben (keine Translation)
  • alle Drehmomente aufheben (keine Rotation)

Das Forschungsgebiet, das sich mit Gleichgewichten von ruhenden starren Körpern beschäftigt, ist die Statik.

7.4.2 Arten von Gleichgewicht

Je nachdem, wie ein Körper, auf eine Störung reagiert, unterscheidet man drei Arten von Gleichgewicht:

  • stabiles Gleichgewicht (engl. stable equilibrium): Der Körper kehrt nach einer Störung wieder in seinen Ausgangszustand zurück (Bild 7.12 a).

  • indifferentes Gleichgewicht (engl. neutral equilibrium): Der Körper kommt nach jeder Störung in einem neuen Zustand zur Ruhe (Bild 7.12 b).

  • labiles Gleichgewicht (engl. unstable equilibrium): Der Körper geht bei der kleinsten Störung in einen anderen Zustand über. (Bild 7.12 c).

Arten von Gleichgewicht

Bild 7.12: Arten von Gleichgewicht

7.4.3 Standfläche

Die Standfläche (engl. base of support) eines Körpers erhältst du, wenn du eine Schnur um alle seine Standbeine spannst. Die von der Schnur eingeschlossene Fläche (konvexe Hülle), entspricht der Standfläche des Körpers (Bild 7.13).

Standfläche (lila) einiger Körper

Bild 7.13: Standfläche (lila) einiger Körper

Ein Körper mit einer punktförmigen Standfläche befindet sich im labilen Gleichgewicht – die geringste Störung lässt den Körper umfallen.

Sieh dir jetzt das Bild 7.14 an. Du bringst den Quader in die Lage (a). Der Drehpunkt liegt auf der Kippkante der Standfläche. Die Gewichtskraft bewirkt ein rechtsdrehendes Drehmoment. Lässt du den Körper los, bewirkt das Drehmoment ein Rückstellen in die ursprüngliche Lage.

Schwerpunktlot und Standfläche

Bild 7.14: Schwerpunktlot und Standfläche

Kippst du den Quader weiter, erreichst du die Lage (b). In dieser Lage befindet sich der Schwerpunkt genau über dem Drehpunkt (Kippkante) – die Wirklinie der Gewichtskraft geht durch den Drehpunkt. In dieser Stellung gibt es kein Drehmoment und der Körper befindet sich im labilen Gleichgewicht.

Kippst du den Quader noch weiter, erreichst du die Lage (c). In dieser Lage bewirkt die Gewichtskraft ein linksdrehendes Drehmoment. Lässt du den Körper los, fällt er um.

Geht das Schwerpunktslot durch das Innere der Standfläche, steht ein Körper stabil.

Beim einem Bücherstapel, zum Beispiel, müssen die einzelnen Bücher stets so angeordnet, dass

  • der Schwerpunkt jedes einzelnen Buches muss sich immer über dem darunterliegenden Buch liegt, damit es nicht herunter fällt und

  • der Gesamtschwerpunkts des Stapels über der Standfläche befinden, sonst fällt der Turm als gesamtes um.

Bücherstapel Problem

Bild 7.15: Bücherstapel Problem

Der maximal mögliche Überhang ergibt sich, wenn die Überhänge der einzelnen Steine, so wie in Bild 7.15, eine geometrischen Reihe bilden (Bücherstapel Problem).

7.4.4 Standfestigkeit

Um einen Körper umzukippen, muss sein Schwerpunkt über die Kippkante hinaus verschoben werden. Besteht die Standfläche nicht nur aus einem Punkt oder einer Strecke, muss dafür der Schwerpunkt des Körpers gehoben werden. Um den Schwerpunkt eines Körpers zu heben, musst du Hubarbeit verrichten. Je größer die dafür notwendige Arbeit, desto größer ist seine Standfestigkeit (engl. stability).

Höhere Standfestigkeit durch größere Gewichtskraft

Bild 7.16: Höhere Standfestigkeit durch größere Gewichtskraft

In Bild 7.16 siehst du eine Möglichkeit die Standfestigkeit eines Körpers zu erhöhen. Da die Hubarbeit \(E_{pot}=m\cdot g\cdot h\) ist (4.3.2), erhöhst du die Standfestigkeit eines Körpers durch vergrößern der Masse (in dem du zum Beispiel ein Material mit größere Dichte verwendest).

Höhere Standfestigkeit durch größere Hubhöhe

Bild 7.17: Höhere Standfestigkeit durch größere Hubhöhe

In Bild 7.17 siehst du weitere Möglichkeiten die Standfestigkeit eines Körpers zu erhöhen, dieses Mal aber ohne die Masse zu verändern. Im Fall (b) wird der Schwerpunkt durch eine inhomogene Verteilung gesenkt und im Fall (c) die Standfläche vergrößert. Beides bewirkt eine Vergrößerung der Hubhöhe und damit eine Vergrößerung der Hubarbeit und der Stabilität.

Zusammenfassend können wir sagen:

Ein Körper ist umso standfester,

  • je größer seiner Standfläche ist.
  • je größer seine Masse (Gewichtskraft) ist.
  • je tiefer der Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) ist.