8.4 Seil- und Flaschenzüge

Seil- und Flaschenzüge sind spätestens seit der Antike bekannt und finden auch heute noch zahlreich Anwendung. Unter anderem auch beim Klettern (Bild 8.12).

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Bild 8.12: Abseilen beim Klettern

Seil- und Flaschenzüge sind Anwendungen des Hebelgesetzes (siehe 8.3.1). Diese einfachen Maschinen bestehen aus einer Kombination aus Rollen (Zahnrädern) und Seilen (Ketten), mit dem Ziel Kräfte umzuleiten und/oder die Kraft für eine mechanische Arbeit zu verkleinern. Für alle Seil- und Flaschenzüge gilt immer „die Goldene Regel der Mechanik“ (siehe 4.2.3): Auch wenn die Kraft verkleinert wird, die verrichtete Arbeit ist immer gleich groß!

Für alle Überlegungen in diesem Abschnitts gehen wir immer von massenlosen und reibungsfreien Rollen aus. In der Praxis steigt jedoch die Lagerreibung mit der Anzahl der Rollen und beschränkt somit die Wirkung von Seil- und Flaschenzügen.

8.4.1 Die feste Rolle

Unter einer festen Rolle (engl. fixed pulley), versteht man in der Physik eine Rolle die an einer Wand oder Decke montiert ist und die bei der Verwendung am selben Ort bleibt.

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Bild 8.13: Einfache feste Rolle

Eine einfache feste Rolle (Bild 8.13) entspricht einem zweiseitigen Hebel (8.3.1), bei dem der Lastarm (\(r_2\)) und der Kraftarm (\(r_1\)) dieselbe Länge haben. Daher führt eine feste Rolle zu keiner Krafterleichterung – die Kraft wird lediglich in eine andere Richtung umgelenkt. Beachte, dass auf die Wand/Decke an der die feste Rolle montiert ist die doppelte Kraft wirkt!

8.4.2 Die lose Rolle

Unter einer losen Rolle (engl. moveable pulley), versteht man in der Physik eine Rolle die sich bei der Verwendung bewegt.

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Bild 8.14: Einfache lose Rolle

Eine einfache lose Rolle (Bild 8.14) entspricht einem einseitigen Hebel (8.3.1). Der Drehpunkt (\(P\)) befindet am Umfang der Rolle. Der Lastarm (\(r_2\)) entspricht dem Radius der Rolle und der Kraftarm (\(r_1\)) entspricht dem Durchmesser der Rolle. Die Krafterleichterung entspricht dem Verhältnis von Radius zu Durchmesser, also 1:2. Im selben Verhältnis verlängert sich der Weg: Um die Last \(1\;\mathrm{m}\) Meter zu heben, muss das Seil \(2\;\mathrm{m}\) gezogen werden.

In unserem Beispiel muss nach oben gezogen werden, um die Masse zu heben. Das ist in vielen Fällen unpraktisch. Daher verwendet man zusätzlich eine feste Rolle um die Kraft umzulenken (Bild 8.15).

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Bild 8.15: Kombination von fester und loser Rolle

Da die feste Rolle lediglich die Richtung der Kraft ändert, ist die Krafterleichterung gleich groß wie bei der einfachen losen Rolle. Beachte, dass bei dieser Anordnung auf die Wand/Decke an der die feste Rolle montiert ist die 1,5-fache der Gewichtskraft wirkt (also in unserem Beispiel \(150\;\mathrm{N}\))! Dabei macht es keinen Unterschied, ob das Seilende an der festen Rolle montiert ist (wie in Bild 8.15), oder an der Wand/Decke – die Kraft bleibt dieselbe.

8.4.3 Der Flaschenzug

Im Abschnitt lose Rolle (8.4.2) hast du gesehen, dass eine einfache lose Rolle den Kraftaufwand zum Heben einer Masse halbiert. Bei einem Flaschenzug wird durch hinzufügen von weiteren losen und festen Rollen der Kraftaufwand weiter verkleinert. Nach der Art der Kraftübersetzung kann man folgende Bauformen von Flaschenzügen unterscheiden, die in den folgenden Abschnitten genauer besprochen werden:

  • Faktorenflaschenzug
  • Potenzflaschenzug
  • Differenzialflaschenzug

Der Name Flaschenzug kommt von der Halterungen der Rollen, die in der Fachsprache als Block oder Flasche bezeichnet werden (Bild 8.16).

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Bild 8.16: Block oder Flasche eines Flasschenzuges

Flaschenzugsysteme können oft recht kompliziert sein. Der beste Strategie um die Kraftersparnis eines Flaschenzuges zu bestimmen, ist sich den Wegzuwachs zu überlegen!

8.4.4 Der Faktorenflaschenzug

Die einfachste Bauform ist der Faktorenflaschenzug (engl. block and tackle pulley system).

Faktorenflaschenzüge mit unterschiedlicher Kraftersparnis image source

Bild 8.17: Faktorenflaschenzüge mit unterschiedlicher Kraftersparnis

Ganz links (Bild 8.17-1) siehst du eine feste Rolle wie in Abschnitt 8.4.1 mit der Kraftübersetzung 1:1. Daneben (Bild 8.17-2) siehst du zusätzlich eine lose Rolle wie in Abschnitt 8.4.2 mit der Kraftübersetzung 1:2. Im dritten Bild (Bild 8.17-3) wird eine weitere Rolle hinzufügt. Die Last verteilt sich jetzt auf 3 Seile und damit ergibt sich eine Kraftübersetzung von 1:3. Im letzten Bild (Bild 8.17-4) wird eine vierte Rolle hinzufügt. Die Last verteilt sich jetzt auf 4 Seile und damit ergibt sich eine Kraftübersetzung von 1:4.

Beachte: die Gewichtskraft der Last teilt sich auf die Seilstücke gleichmäßig auf. Bei einem Faktorenflaschenzug herrscht in jedem dieser Seilstücke dieselbe Zugkraft.

Die Kraft auf die Deckenaufhängung ist jeweils die Summe aus Gewichtskraft der zu hebenden Last und die Zugkraft am losen Ende. Im Bild 8.17 sind das (von links nach rechts)

  • \(100\;\mathrm{N}+100\;\mathrm{N}=200\;\mathrm{N}\),
  • \(100\;\mathrm{N}+50\;\mathrm{N}=150\;\mathrm{N}\),
  • \(100\;\mathrm{N}+33\,1/3\;\mathrm{N}=133\,1/3\;\mathrm{N}\) und
  • \(100\;\mathrm{N}+25\;\mathrm{N}=125\;\mathrm{N}\).

Im Bild 8.18 siehst du in der oberen Hälfte drei Faktorenflaschenzüge mit eins, zwei und vier Rollen. In der unteren Hälfte siehst du wie die Rollen eines Faktorenflaschenzuges oben und unten kompakt auf eine Achse gelegt werden und dann zu einander verdreht werden. In dieser Bauform wird der Faktorenflaschenzug in der Praxis meist verwendet.

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Bild 8.18: Faktorenflaschenzüge (Kompaktere Bauweise)

Der Name Faktorenflaschenzug kommt von dem Verhältnis von Anzahl der Rollen und Kraftersparnis: Bei \(n\) Rollen sinkt der Kraftaufwand auf \(1/n\) und der Weg erhöht sich um den Faktor \(n\).

8.4.5 Der Potenzflaschenzug

Der Potenzflaschenzug (engl. spanish burton) besteht nur aus losen Rollen und einer festen Rolle (Umlenkrolle).

Vorsicht: Anders als bei dem Faktorenflaschenzug (Abschnitt 8.4.4) ergibt sich die Kraftersparnis nicht durch die Anzahl der Seile, an denen die Last hängt! Das liegt daran, dass in den Seilen unterschiedliche Zugkräfte wirken. Im Bild 8.19 links siehst du, wie sich die Gewichtskraft der Last auf zwei Seile aufteilt. In der oberen losen Rolle teilt sich die halbe Gewichtskraft der Last wieder auf zwei Seile auf, sodass die Zugkraft nur noch 1/4 der Gewichtskraft der Last wirkt.

Potenzflaschenzug mit unterschiedlicher Kraftersparnis image source

Bild 8.19: Potenzflaschenzug mit unterschiedlicher Kraftersparnis

Der Effekt lässt sich durch Hinzufügen von weiteren losen Rollen verstärken (Bild 8.19, rechts). Bei \(n\) Rollen ergibt sich daher eine Kraftersparnis von \(1/2^n\) und eine Wegverlängerung um \(2^n\), daher auch der Name Potenzflaschenzug.

Die Kraft auf die Decke ergibt sich als Summe der Kräfte auf die einzelnen Aufhängungen. Für unsere beiden Fälle ergeben sich die Kräfte (immer von links nach rechts):

  • \((20\;\mathrm{N}+20\;\mathrm{N})+20\;\mathrm{N}+40\;\mathrm{N}=100\;\mathrm{N}=20\;\mathrm{N}+80\;\mathrm{N}\)
  • \((10\;\mathrm{N}+10\;\mathrm{N})+10\;\mathrm{N}+20\;\mathrm{N}+40\;\mathrm{N}=90\;\mathrm{N}=10\;\mathrm{N}+80\;\mathrm{N}\)

Auch hier ist die Gesamtkraft auf die Decke die Summe aus Zugkraft am losen Ende und Gewichtskraft der Last.

8.4.6 Der Differenzialflaschenzug

Anders als die bisherigen Flaschenzüge besteht der Differenzialflaschenzug (engl. differential pulley) aus zwei festen Rollen, die fest miteinander verbunden sind und unterschiedliche Durchmesser haben. Die Last hängt an einer losen Rolle (Bild 8.20). Bei diesem Flaschenzugtyp wird ein durchgehendes Seil verwendet, deren Länge vom Übersetzungsverhältnis nahezu unabhängig ist.

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Bild 8.20: Ein Differenzialflaschenzug

Bei einer Drehung der Rolle um den Winkel \(\varphi\) wird die Bogenlänge \(B=R\cdot\varphi\) am Umfang aufgewickelt. Gleichzeitig wird aber die Bogenlänge \(b=r\cdot\varphi\) auf der kleinen Rolle abgewickelt. Die Seilschlaufe mit der Last verkürzt sich daher nur um die Differenz (daher der Name) dieser beiden Längen

\[ \begin{aligned} x = {} & B-b \\ = {} & R\cdot\varphi - r\cdot\varphi \\ = {} & (R - r)\cdot\varphi \\ = {} & (R - r)\cdot\frac{B}{R} \\ = {} & \frac{R - r}{R}\cdot B \\ \end{aligned} \]

Da die Last an einer losen Rolle hängt wird sie nur um die halbe Länge gehoben, also

\[ \frac{R-r}{2R}\cdot B \]

In unserem Beispiel (Bild 8.20) ist \(B=40\;\mathrm{cm}\). Für die Hubhöhe der Last ergibt sich die Länge

\[ \left(\frac{20\;\mathrm{cm}-10\;\mathrm{cm}}{2\cdot 20\;\mathrm{cm}}\right)\cdot40\;\mathrm{cm} = 10\;\mathrm{cm} \]

Die Kraftersparnis verhält sich umgekehrt zu den Weglängen, ist also beim Differenzialflaschenzug

\[ 1:\frac{2R}{R-r} \]

Da die Spannung im Seil nicht überall gleich groß ist, muss sichergestellt sein, dass ein rutschfester Kontakt zwischen Rolle und Seil besteht. Aus diesem Grund verwendet man beim Differenzialflaschenzug meist Zahnräder und Ketten.