7.6 Bewegungsenergie drehender Körper

In der Animation 7.31 siehst du den Wettlauf unterschiedlicher runder Körper beim bergab rollen.

Wettlauf unterschiedlicher runder Körper gleicher Masse und Durchmesser

Bild 7.31: Wettlauf unterschiedlicher runder Körper gleicher Masse und Durchmesser

Das Besondere: Alle Körper haben die gleiche Masse. Auf alle Körper wirkt somit die gleiche Gewichtskraft (4.4) und auch dieselbe Hangabtriebskraft (4.8) und trotzdem ist ihre Beschleunigung unterschiedlich.

Das dynamische Grundgesetz (4.2.4) gilt für rotierende Körper offensichtlich nicht und auch die Masse eines Körpers ist als Maß für den Widerstand gegen eine Drehbewegungsänderung ungeeignet. In diesem Kapitel wirst du die Drehmasse kennen lernen und Bewegungsenergie von rotierenden und rollenden Körpern.

7.6.1 Herleitung der Rotationsenergie

Wir stellen und einen starren Körper aus lauter kleinen Massenstücken \(m_1,m_2,\ldots,m_i,\ldots\), die sich jeweils im Abstand \(r_1,r_2,\ldots,r_i,\ldots\) von der Drehachse befinden (Bild 7.32).

Aufbau eines starren Körpers aus kleinen Massenstücken

Bild 7.32: Aufbau eines starren Körpers aus kleinen Massenstücken

Bei einer Rotation bewegt sich jedes der Massenstücke mit seiner Tangentialgeschwindigkeit (3.14.2) \(v_1,v_2,\ldots,v_i,\ldots\) um die Drehachse. Die kinetische Energie des rotierenden Körpers \(E_\text{ROT}\) ist die Summe der einzelnen kinetischen Energien seiner Massenstücke.

\[ \begin{aligned} E_\text{ROT} = {} & \frac{m_1\cdot v_1^2}{2} + \frac{m_1\cdot v_1^2}{2} + \ldots + \frac{m_i\cdot v_i^2}{2} + \ldots\\ \end{aligned} \]

Winkelgeschwindigkeit und Tangentialgeschwindigkeit (7.2.5) eines Massenpunktes hängen über die Formel \(v_i=\omega\cdot r_i\) zusammen. Da es sich um einen starren Körper handelt ist die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) für alle Massenstücke gleich groß.

\[ \begin{aligned} E_\text{ROT} = {} & \frac{m_1\cdot (\omega\cdot r_1)^2}{2} + \frac{m_2\cdot (\omega\cdot r_2)^2}{2} + \ldots + \frac{m_i\cdot (\omega\cdot r_i)^2}{2} + \ldots\\ E_\text{ROT} = {} & \frac{m_1\cdot r_1^2\cdot \omega^2}{2} + \frac{m_2\cdot r_2^2\cdot \omega^2}{2} + \ldots + \frac{m_i\cdot r_i^2\cdot \omega^2}{2} + \ldots\\ E_\text{ROT} = {} & (m_1\cdot r_1^2 + m_2\cdot r_2^2 + \ldots + m_i\cdot r_i^2 + \ldots)\cdot\frac{\omega^2}{2}\\ \end{aligned} \]

Mit der Bezeichnung

\[ I=m_1\cdot r_1^2 + m_2\cdot r_2^2 + \ldots + m_i\cdot r_i^2 + \ldots \]

Erhältst du für die

Rotationsenergie eine starren Körpers:

\[ E_\text{ROT} = I\cdot\frac{\omega^2}{2} \tag{7.1} \]

7.6.2 Trägheitsmoment (Drehmasse)

Das Trägheitsmoment \(I\) (engl. moment of inertia) ist ein Maß für den Widerstand gegen die Änderung einer Drehbewegungsänderung eines starren Körpers um eine bestimmte Drehachse.

Ist ein Körper aus den Massenstücken \(m_1,m_2,\ldots,m_i,\ldots\) aufgebaut, berechnet sich sein Trägheitsmoment aus der Summe

\[ I=m_1\cdot r_1^2 + m_2\cdot r_2^2 + \ldots + m_i\cdot r_i^2 + \ldots = \sum m_i\cdot r_i^2 \]

wobei die Größen \(r_1,r_2,\ldots,r_i,\ldots\) die Abstände der Massen von der Drehachse sind. Ein und derselbe Körper hat also unterschiedliche Trägheitsmomente, je nachdem, wo sich die Drehachse befindet!

Für einfache geometrische Körper, wie zum Beispiel Kugel, Zylinder oder Quader, können Drehmomente durch eine unendliche Summen (Integrale) berechnet werden. In Bild 7.33 siehst du einige Ergebnisse dieser Berechnungen.

Beispiele für Trägheitsmomente

Bild 7.33: Beispiele für Trägheitsmomente

Für kompliziertere Körper wird das Drehmoment experimentell bestimmt.

Links:

7.6.3 Einheit des Trägheitsmoments

Um auf die Einheit des Trägheitsmoment zu erhalten, setzen wir in seine Definitionsgleichung ein:

\[ [I] = [m]\cdot [r]^2 = 1\;\mathrm{kg}\;\mathrm{m}^2 \]

Die Einheit „Kilogramm Quadratmeter“ hat keinen eigenen Namen.

7.6.4 Rotationsenergie

Die Rotationsenergie (engl. rotational energy) eines starren Körpers um eine Achse \(a\) lautet

\[ E_{\text{ROT}}={\frac {I\cdot\omega^{2}}{2}} \tag{7.2} \]

In dieser Formel bedeuten:

  • \(E_{\text{ROT}}\), die Rotationsenergie des Körpers um die Drehachse \(a\) (in \(\mathrm{J}\))
  • \(I\), das Trägheitsmoment des Körpers um die Drehachse \(a\) (in \(\mathrm{kg}\;\mathrm{m}^2\))
  • \(\omega\), die Winkelgeschwindigkeit des Körpers (in \(\mathrm{rad}/\mathrm{s}\))

Die Formel für die translatorische kinetische Energie (5.3.2) (\(m\cdot v^2/2\)) und die Formel für die Rotationsenergie haben dieselbe Form. Es müssen nur die translatorischen Größen (Masse, Geschwindigkeit) gegen die entsprechenden Größen der Rotation (Drehmasse, Winkelgeschwindigkeit) ersetzt werden.

7.6.5 Rotationsenergie Dimensionsprobe {#rotational-energy-dimensional analysis}

Wenn der Ausdruck für die Rotationsenergie (7.6.4) einer Energie entspricht, muss er die Energieeinheit Joule (5.3.1) ergeben.

Bei einer Dimensionsprobe (2.7.10) können alle dimensionslose Faktoren weggelassen werden. Außerdem ist das Radiant (7.1.3) ist eine dimensionslose Größe und es gilt \(\mathrm{rad}/\mathrm{s}=\mathrm{1}/\mathrm{s}\). Setzt du ein, erhältst du

\[ \begin{aligned} {}[E_\text{ROT}] = {} &{\frac {1}{2}}\cdot [I]\cdot[\omega]^{2} \\ = {} & 1\;(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2)\cdot\left(\frac{1}{\mathrm{s}^2}\right) \\ = {} & 1\;\mathrm{kg}\cdot\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} \\ = {} & 1\;\mathrm{kg}\cdot\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot\mathrm{m} &&\qquad\Bigr\rvert\ 1\;\mathrm{N}=1\;\mathrm{kg}\cdot\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\\ = {} & 1\;\mathrm{N}\cdot\mathrm{m} \\ = {} & 1\;\mathrm{J} \\ \end{aligned} \]

Der letzte Schritt folgt aus der Definition der Arbeit (5.1.3). Damit ist gezeigt, dass der Ausdruck für die Rotationsenergie auch wirklich die Einheit einer Energie hat.

7.6.6 Satz von Steiner

Satz von Steiner (engl. parallel axis theorem)

[TODO]

7.6.7 Bewegungsgleichung für die Rotation

Mit dem Trägheitssatz (4.2.3) (\(F=m\cdot a\)) hast du die Bewegungsgleichung für die Translation kennen gelernt. Mit dem Trägheitsmoment lässt sich eine analoge Bewegungsgleichung für die Rotation formulieren.

\[ M = I\cdot\alpha \]

Wirkt ein Drehmoment \(M\) (7.3.3) auf einen Körper, ändert sich seine Winkelgeschwindigkeit (das entspricht einer Winkelbeschleunigung \(\alpha\) (7.2.7)). Je größer das Trägheitsmoment, desto kleiner ist die Winkelbeschleunigung bei gleichem Drehmoment.

7.6.8 Rollwettlauf und Balancierstange

Je weiter die Masse eines Körpers von der Drehachse entfernt ist, desto größer ist sein Trägheitsmoment. Deshalb setzt sich der Hohlzylinder, dessen gesamte Masse am Umfang konzentriert ist, langsamer in Bewegung als ein Vollzylinder, dessen Masse auf das gesamten Zylindervolumen gleichmäßig verteilt ist (Animation 7.31 am Kapitelanfang).

Stuntkünstler auf einer Slackline

Bild 7.34: Stuntkünstler auf einer Slackline

In Bild 7.34 siehst du ein weiteres Anwendungsbeispiel: Je größer das Trägheitsmoment, desto langsamer beginnt eine Drehbewegung. Wenn du die Arme ausbreitest oder eine sogar eine Balancierstange verwendest, erhöhst du dein Trägheitsmoment, und du hast mehr Zeit eine Drehbewegung auf dem Seil/Slackline auszugleichen.

7.6.9 Freie Achsen und Unwucht

Wählst du bei einem Körper eine beliebige Drehachse für die Rotation aus, hast du in den meisten Fällen eine Unwucht. Als Unwucht werden Kräfte bezeichnet, die auf das Lager und die Achse wirken. Bei diesen Kräften kannst zu folgen zwei Arten unterscheiden:

Unterschiedliche Arten von Unwucht

Bild 7.35: Unterschiedliche Arten von Unwucht

  • statische Unwucht: Die Drehachse geht nicht durch den Massenmittelpunkt. Es kommt zu einer radialen Nettokraft auf die Achse (Bild 7.35-a). Eine statische Unwucht ist ohne Rotation feststellbar.

  • dynamische Unwucht: Die Drehachse verläuft zwar durch den Massenmittelpunkt, aber es kommt zu einem seitlichen Drehmoment (Bild 7.35-b). Die dynamische Unwucht kann nur bei einem rotierenden Körper festgestellt werden.

Treten bei Rotationsachse eines Körpers weder statische noch dynamische Unwucht auf, dreht sich der Körper um eine freie Achse (gemeint ist „frei von Kräften“). Das Anbringen von Zusatzmassen („auswuchten“) schafft eine freie Achse.

7.6.10 Rotation ohne feste Achse

Bisher sind wird bei allen starren Körpern immer von einer fix vorgegebenen Rotationsachse ausgegangen. In diesem Abschnitt beantworten wir die Frage, um welche Achse sich ein Körper dreht, wenn keine Achse vorgegeben wird. Wirfst du zum Beispiel einen Quader (zum Beispiel ein Buch) in die Luft, erfolgt die Drehung immer um den Massenmittelpunkt. In den meisten Fällen beginnt der Quader aber zu torkeln – die Drehachse ändert sich während der Rotation also ständig.

Rotation ohne feste Achse

Bild 7.36: Rotation ohne feste Achse

Wir hängen einen Quader an der kleinsten Fläche auf und versetzen den Körper in Drehung (7.36-1). In dieser Position ändert der Körper seine Drehachse nicht – seine Rotationachse ist stabil. Bei der Achse \(a_1\) handelt es sich um die freie Achse mit dem kleinsten Trägheitsmoment.

Wird der Körper während dieser Rotation durch einen Stoß gestört (7.36-2), beginnt er sich um die Achse \(a_3\) zu drehen (7.36-3). Bei dieser Achse handelt es sich um die freie Achse mit dem größten Trägheitsmoment. Wird der Körper bei Rotation um diese Achse gestört, kehrt er immer wieder zur Achse \(a_3\) zurück (7.36-4).

Nur die Drehung um die freien Achsen mit dem kleinsten und dem größten Trägheitsmoment sind stabil.

7.6.11 Rollbewegung starrer Körper

Wenn ein Körper auf einer Unterlage rollt (Animation 7.37), ist das nicht dasselbe wie ein rotierender Körper, wie wir ihn bisher betrachtet haben.

Spur eines Punktes am Rand eines rollenden Körpers

Bild 7.37: Spur eines Punktes am Rand eines rollenden Körpers

In der Animation ist ein Punkt am Umfang des Körpers markiert. Die Kurve die dieser Punkt beim Abrollen des Körpers beschreibt, wird Zykloide oder Rollkurve genannt. Wenn du den Punkt verfolgst, kannst du sehen, dass der Punkt für einen kurzen Moment still zu stehen scheint, immer wenn er den Boden berührt.

Der Drehpunkt bei dieser Bewegung ist nämlich kein fixer Punkt am Körper, sondern jeweils der momentane Berührpunkt von Körper und Unterlage. Ein einziger Punkt bleibt immer auf derselben Höhe. Das ist der Mittelpunkt des Rades. Jede Rollbewegung kann daher als eine Kombination aus einer Translation des Mittelpunktes und einer Rotation um diesen Punkt beschrieben werden.

Abrollen bei einer vollen Umdrehung des Rades

Bild 7.38: Abrollen bei einer vollen Umdrehung des Rades

Unabhängig von der Geschwindigkeit hat der Radmittelpunkt nach einer vollen Umdrehung des Rades (\(\varphi = 2\pi\;\mathrm{rad}\)) einen Weg \(s_M=r\cdot2\pi\) zurückgelegt (Bild 7.38 für das Einheitsrad \(r=1\)). Für einen Körper, der ohne zu rutschen („schlupflos“) abrollt, muss daher die folgende Rollbedingung gelten:

\[ s_M=r\cdot\varphi \]

Dividieren wir durch die Zeit erhalten wir für die Geschwindigkeit des Radmittelpunktes die Beziehung

\[ v_M=r\cdot\omega \tag{7.3} \]

Links:

7.6.12 Bewegungsenergie rollender Körper

Eine Roll-Bewegung ist keine reine Rotation, sondern eine Kombination aus Translation und Rotation (7.6.11). Daher ist auch die Bewegungsenergie eines rollenden Körpers die Summe aus seiner translatorischen kinetischen Energie und einer Rotationsenergie (Bild 7.39).

Rollbewegung als Kombination aus Translation und Rotation um den Massenmittelpunkt

Bild 7.39: Rollbewegung als Kombination aus Translation und Rotation um den Massenmittelpunkt

Genauer gesagt, ist die gesamte Bewegungsenergie eines rollenden starren Körpers die Summe aus der

  • Rotationsenergie um den Massenmittelpunkt_ und der
  • translatorischen kinetischen Energie der Gesamtmasse, konzentriert im Massenmittelpunkt.

\[ E_\mathrm{GES} = \frac{1}{2}\cdot I_{MM}\cdot \omega^2 +\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{MM}^2 \]

Mit Hilfe der Rollbedingung ((7.3))

\[ v_{MM} = r\cdot \omega \]

können wir die Gleichung weiter vereinfachen:

\[ \begin{aligned} E_\mathrm{GES} = {} & \frac{1}{2}\cdot I_{MM}\cdot \left(\frac{v_{MM}}{r}\right)^2 +\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{MM}^2 \\ = {} & \frac{1}{2}\cdot I_{MM}\cdot \frac{v_{MM}^2}{r^2} +\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{MM}^2 \\ = {} & \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{I_{MM}}{r^2}+m\right) \cdot v_{MM}^2 \\ \end{aligned} \]