4.1 Arbeit

Im Alltag wird das Wort „Arbeit“ oft verwendet. Die meisten Menschen versteht darunter eine anstrengende, oft unfreiwillige Tätigkeit.

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Bild 4.1: Klimmzüge sind Arbeit

Bei dem Begriff der physikalischen Arbeit wurde in erster Linie an Maschinen gedacht. Durch eine exakte Definition lässt sich das Arbeitsvermögen unterschiedlicher Maschinen vergleichen.

4.1.1 Definition der physikalischen Arbeit

Die physikalischen Arbeit \(W\) (engl. work) ist als das Produkt von Weg und der Kraft entlang des Weges definiert:

\[ W = F_s \cdot s \]

Kraft und Weg sind Vektorgrößen. Die Formel oben gilt für die Längen (Beträge) der Vektoren. Die Größe \(F_s\) bezeichnet nicht die Gesamtkraft, sondern nur den Betrag der Kraft, der in Bewegungsrichtung wirkt (Bild 4.2)!

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Bild 4.2: Arbeit durch Kraft und Weg

Wird der Winkel zwischen Kraft und Weg \(90^\circ\), dann wird die Länge \(F_s\) Null und damit auch die Arbeit.

Zeigen \(F_s\) und \(s\) in entgegengesetzte Richtungen, erhältst du für die Arbeit ein negatives Vorzeichen. Was eine negative Arbeit physikalisch bedeutet, erfährst du im Kapitel Energie.

4.1.2 Arbeit und das Skalarprodukt

Wenn du das das Skalarprodukt von zwei Vektoren aus dem Mathematik Unterricht schon kennst, dann kannst du die Arbeit auch mit Hilfe dieser Vektorgleichung berechnen:

\[ W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=|{\vec {F}}|\,|{\vec {s}}|\,\cos \alpha \]

Wie du im Bild 4.2 sehen kannst, ist \(\alpha\) der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel. Die Größe \(\vec{F}_s\) ist dabei die orthogonale Projektion des Vektors \(\vec{F}\) auf den Vektor \(\vec{s}\).

4.1.3 Einheit der physikalischen Arbeit

Physikalische Arbeit ist das Skalarprodukt aus zwei Vektoren. Wie der Name schon andeutet, ist das Ergebnis ein Skalar (Zahl). Die Arbeit ist daher eine ungerichtete Größe.

\[ [W] = [F] \cdot [s] = \text{N} \cdot \text{m} \]

Diese Einheit wird zu Ehren des britischen Physikers James Prescott Joule ein Joule genannt. Ein Joule durch Basiseinheiten ausgedrückt lautet:

\[ \mathrm{ 1 \, J = 1 \; {N m} = 1 \; \frac{kg \, m^2}{s^2}} \]

4.1.4 Kraft-Ort-Diagramm

Die Form \(A=a\cdot b\) kennst du von der Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks. Die Formel \(W=F\cdot s\) hat dieselbe mathematische Struktur. Sehen wir uns das Kraft-Ort-Diagramm (Bild 4.3) einer Bewegung an:

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Bild 4.3: Kraft-Ort-Diagramm

In diesem Diagramm kannst du die Arbeit als Flächeninhalt unter der Kraft-Kurve erkennen. In diesem einfachen Fall ist die Kraft zeitlich konstant. Daher hat die Fläche die Form eines Rechtecks.

4.1.5 Arbeit bei veränderlicher Kraft

Ändert sich die Kraft entlang des Weges, wird die Fläche unter der Kraft-Kurve im F-s-Diagramm kein Rechteck mehr sein. Aber es gilt weiterhin: Die verrichtete Arbeit entspricht dem Flächeninhalt unter der Kraft-Kurve (Bild 4.4).

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Bild 4.4: Arbeit bei veränderlicher Kraft

In diesem Fall kannst den Flächeninhalt (und damit die Arbeit) näherungsweise mit einer Summe aus Rechtecken (Rechtecksumme) berechnen. Je mehr Rechtecke du verwendest, desto exakter wird die Näherung.

Vielleicht hast du in Mathematik schon das Riemannsches Integral gelernt. Dann kannst du den Flächeninhalt im F-s-Diagramm bei einer veränderlichen Kraft sogar exakt berechnen.