5.1 Arbeit
Im Alltag wird das Wort „Arbeit“ oft verwendet. Die meisten Menschen verstehen darunter eine anstrengende, oft unfreiwillige Tätigkeit.
Bei dem Begriff der physikalischen Arbeit wurde in erster Linie an Maschinen gedacht. Durch eine exakte Definition lässt sich das Arbeitsvermögen unterschiedlicher Maschinen vergleichen.
5.1.1 Definition der physikalischen Arbeit
Die physikalische Arbeit \(W\) (engl. work) ist als das Produkt aus zurückgelegtem Weg \(s\) und der dafür nötigen Kraft \(F_s\) entlang dieses Weges definiert:
| \[\begin{equation} W = F_s \cdot s \tag{5.1} \end{equation}\] |
Kraft und Weg sind Vektorgrößen. Die Formel oben gilt für die Längen (Beträge) der Vektoren. Die Größe \(F_s\) bezeichnet nicht die Gesamtkraft, sondern nur den Betrag der Kraft, der in Bewegungsrichtung wirkt (Bild 5.4)!
Wird der Winkel zwischen Kraft und Weg \(90^\circ\), dann wird die Länge \(F_s\) null und damit auch die Arbeit.
Zeigen \(F_s\) und \(s\) in entgegengesetzte Richtungen, erhältst du für die Arbeit ein negatives Vorzeichen. Was eine negative Arbeit physikalisch bedeutet, erfährst du im Kapitel Energie.
5.1.2 Arbeit als Skalarprodukt
Wenn du das Skalarprodukt von zwei Vektoren aus dem Mathematik-Unterricht schon kennst, dann kannst du die Arbeit auch mithilfe dieser Vektorgleichung berechnen:
\[\begin{equation} W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=|{\vec {F}}|\,|{\vec {s}}|\,\cos \alpha \tag{5.2} \end{equation}\]
Wie du im Bild 5.4 sehen kannst, ist \(\alpha\) der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel. Die Größe \(\vec{F}_s\) ist dabei die orthogonale Projektion des Vektors \(\vec{F}\) auf den Vektor \(\vec{s}\).
5.1.3 Einheit der physikalischen Arbeit
Physikalische Arbeit ist das Skalarprodukt aus zwei Vektoren. Wie der Name schon andeutet, ist das Ergebnis ein Skalar (Zahl). Die Arbeit ist daher eine ungerichtete Größe.
\[ [W] = [F] \cdot [s] = \text{N} \cdot \text{m} \]
Die Einheit „Newton Meter“ wird zu Ehren des Physikers James Prescott Joule ein Joule (gesprochen „tschul“) genannt. Ein Joule durch Basiseinheiten ausgedrückt lautet daher:
\[ \mathrm{ 1 \, J = 1 \; {N m} = 1 \; \frac{kg \, m^2}{s^2}} \]
5.1.4 Kraft-Orts-Diagramm
Die Form \(A=a\cdot b\) kennst du von der Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks. Die Formel \(W=F\cdot s\) hat dieselbe mathematische Struktur. Sehen wir uns das Kraft-Orts-Diagramm (Bild 5.5) einer Bewegung an:
In diesem Diagramm kannst du die Arbeit als Flächeninhalt unter der Kraft-Kurve erkennen. In diesem einfachen Fall ist die Kraft zeitlich konstant. Daher hat die Fläche die Form eines Rechtecks.
5.1.5 Arbeit bei veränderlicher Kraft
Ändert sich die Kraft entlang des Weges, wird die Fläche unter der Kraft-Kurve im Kraft-Orts-Diagramm kein Rechteck mehr sein. Aber es gilt weiterhin: Die verrichtete Arbeit entspricht dem Flächeninhalt unter der Kraft-Kurve (Bild 5.6).
In diesem Fall kannst den Flächeninhalt (und damit die Arbeit) näherungsweise mit einer Summe aus Rechtecken (Rechtecksumme) berechnen. Je mehr Rechtecke du verwendest, desto exakter wird die Näherung.
Vielleicht hast du in Mathematik schon das Riemannsche Integral kennengelernt. Dann kannst du den Flächeninhalt im F-s-Diagramm bei einer veränderlichen Kraft sogar exakt berechnen.
