4.2 Hub-, Spann- und Beschleunigungsarbeit

Im Kapitel Arbeit hast du die Definition von physikalischer Arbeit kennen gelernt. In diesem Kapitel wenden wir die Definition auf konkrete Situationen an.

4.2.1 Hubarbeit

Um einen Körper zu heben, musst du Arbeit gegen die Gewichtskraft verrichten. Diese Arbeit nennt man Hubarbeit (engl. lifting work). Setzen wir für die Kraft die Gewichtskraft \(F_G = m\cdot g\) und für den zurückgelegten Weg die Hubhöhe \(h\) in die allgemeine Formel für die Arbeit ein, erhältst du:

\[ W_H = m\cdot g\cdot h \]

Die Formel geht davon aus, dass sich die Gewichtskraft entlang des Weges nicht ändert. Für kleine Hubhöhen trifft das zu. Für große Höhen (zum Beispiel „Heben“ eines Satelliten in die Erdumlaufbahn), gilt das nicht mehr und du musst das Gravitationsgesetz berücksichtigen.

4.2.2 Hubarbeit enlang einer Rampe

Soll ein Lastwagen mit Fässern beladen werden gibt es zwei Möglichkeiten:

  1. Die Fässer direkt auf die Ladefläche heben.
  2. Die Fässer (reibungsfrei) entlang einer Rampe hinauf rollen.

Betrachten wir beide Situationen genauer.

Hubarbeit entlang einer Rampe image source

Bild 4.5: Hubarbeit entlang einer Rampe

Auf der rechten Seite von Bild 4.5 siehst du die Situation beim direkten Heben eines Körper die Höhe \(h\). Der Weg ist \(s_2\) und die aufzubringende Kraft \(m\cdot g\). Darüber erkennt du die Hubarbeit als Fläche unter der Kurve im F-s-Diagramm.

Auf der linken Seite von Bild 4.5 siehst du die Situation beim (reibungsfreien) befördern eines Körper über eine Rampe. In diesem Fall muss nur mehr ein Teil der Gewichtskraft, nämlich die Hangabtriebskraft, überwunden werden. Der Weg \(s_2\) über die Rampe ist allerdings wesentlich länger. Auch in diesem Fall erkennst du die Hubarbeit als Fläche unter der Kurve im F-s-Diagramm darüber.

Wenn du beide Flächeninhalte vergleichst, siehst du, dass die Arbeit in beiden Fällen immer dieselbe ist. Und das unabhängig davon, wie steil die Rampe ist. Das ist natürlich kein Zufall. In der Abbildung kannst du zwei ähnliche Dreiecke entdecken (in beiden ist jeweils der Winkel \(\alpha\) eingezeichnet). Daher gilt für das Verhältnis der Seiten

\[ s_1 : F_G = h : F_{HA} \]

oder

\[ s_1 : F_{s_2} = s_2 : F_{s_1} \]

multiplizieren der Kräfte ergibt

\[ F_{s_1} \cdot s_1 = F_{s_2} \cdot s_2 \]

Das Produkt auf beiden Seiten ist also immer gleich.

4.2.3 Goldene Regel der Mechanik

Bei der Verrichtung mechanischer Arbeit kannst du dir zwar das Leben ein wenig leichter machen, in dem du mit Hilfe von Werkzeugen eine geringere Kraft für die Verrichtung einer Arbeit benötigst, aber das verlängert immer auch entsprechend den Weg. Diese Erkenntnis ist in der Goldenen Regel der Mechanik zusammengefasst.

Was man an Kraft spart, muss man durch einen längeren Weg ausgleichen.

4.2.4 Beschleunigungsarbeit

Wie du beim dynamisch Grundgesetz gesehen hast, ist für die Beschleunigen eines Körpers immer Kraft notwendig. Man muss Arbeit gegen die Trägheit der Masse verrichten, um einen Körper vom Stillstand auf eine bestimmte Geschwindigkeit \(v\) zu bringen. Diese Arbeit nennt man Beschleunigungsarbeit.

\[ W_B = \frac{m \cdot v^2}{2} \]

4.2.5 Herleitung Beschleunigungsarbeit

Für die Herleitung der Formel für die Beschleunigungsarbeit gehen wir von einer konstanten Beschleunigung aus. Für die Endgeschwindigkeit \(v\) und die Beschleunigungsstrecke \(s\) dürfen wir daher die Formeln aus der gleichmäßig beschleunigte Bewegung verwenden.

\[ \begin{array}{rcl} W_B & = & F_s \cdot s \\ & = & m \cdot a \cdot s \\ & = & m \cdot a \cdot \frac{a\cdot t^2}{2} \\ & = & \frac{m}{2} \cdot a^2 \cdot t^2 \\ & = & \frac{m}{2} \cdot v^2 \\ \end{array} \]

In der Formel kommt nur noch die Endgeschwindigkeit vor. Tatsächlich ist es egal, wie der Körper beschleunigt wurde. Sobald seine Endgeschwindigkeit \(v\) ist, wurde eine Beschleunigungsarbeit von

\[ W_B = \frac{m \cdot v^2}{2} \]

an ihm verrichtet.

4.2.6 Elastische Verformungsarbeit

Das Dehnen oder Stauchen einer Schraubenfeder erfordert ebenfalls Arbeit. Die Arbeit gegen die Federkraft eines elastischen Körpers wird Spann- oder elastische Verformungsarbeit genannt. Du kannst sie mit der Formel

\[ W_S = \frac{k\cdot x^2}{2} \]

berechnen. Dabei ist \(x\) die Elongation und \(k\) die Federkonstante, wie sie auch im Hookesche Gesetz vorkommen.

4.2.7 Herleitung elastische Verformungsarbeit

Die nötige Kraft zum Spannen einer Feder wird durch das Hookesche Gesetz beschrieben. Im Gegensatz zur Hub- und Beschleunigungsarbeit, ist die Kraft beim Spannen einer Feder nicht konstant (Bild 4.6)!

Spannarbeit bei einer Schraubenfedern image source

Bild 4.6: Spannarbeit bei einer Schraubenfedern

Glücklicherweise steigt die Kraft beim Spannen einer Schraubenfeder linear an. Dadurch kannst du die Arbeit recht einfach über den Flächeninhalt im F-s-Diagramm berechnen - die Dreiecksfläche ist der halbe Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seiten \(k\cdot x\) und \(x\).

\[ W_S = \frac{(k\cdot x)\cdot x}{2} = \frac{k\cdot x^2}{2} \]