6.5 Arbeit im Gravitationsfeld
Im xkcd Web-Comic Gravity Wells des Cartoonisten und Wissenschaftlers Randall Munroe geht es um das Gravitationspotenzial unseres Sonnensystems. Was genau damit gemeint ist, erfährst du in diesem Kapitel.
6.5.1 Hubarbeit im Gravitationsfeld
Wie viel Arbeit ist notwendig, um einen Satelliten auf seine Umlaufbahn zu heben? Für die Hubarbeit hast du die Formel \(W_H = m\cdot g\cdot h\) kennengelernt. Bei kleinen Hubhöhen ändert sich die Gewichtskraft unmerklich und wir können mit einer konstanten Fallbeschleunigung rechnen. Bei großen Hubhöhen macht sich die Abnahme der Gravitationskraft mit der Entfernung deutlich bemerkbar (Bild 6.34). In diesen Fällen dürfen wir die einfache Formel für die Hubarbeit nicht mehr verwenden.
Für große Hubhöhen muss die Formel für die Arbeit im Gravitationsfeld verwendet werden.
| \[\begin{equation} W = GmM\cdot\left[\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right] \tag{6.7} \end{equation}\] |
In dieser Formel bedeuten:
- \(G\), die Gravitationskonstante (\(6{,}67\cdot 10^{-11}\;\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{s}^2}\))
- \(m\), die Masse des zu hebenden Körpers (in \(\mathrm{kg}\))
- \(M\), die Masse des Himmelskörpers (in \(\mathrm{kg}\))
- \(r_1\), Entfernung des Körpers zum Mittelpunkt des Himmelskörpers vor dem Heben (in \(\mathrm{m}\))
- \(r_2\), Entfernung des Körpers zum Mittelpunkt des Himmelskörpers nach dem Heben (in \(\mathrm{m}\))
6.5.2 Herleitung Hubarbeit im Gravitationsfeld
Bist du schon mit der Integralrechnung vertraut, lässt sich die Hubarbeit im Gravitationsfeld wie folgt herleiten. Ist \(F_\textrm{G}\) die Gravitationskraft, dann ist für eine kleine Änderung des Abstands \(\text{d}r\) der beiden Massen die Arbeit \(\text{d}W\) erforderlich („Kraft mal Weg“, Gleichung (5.1)):
\[ \text{d}W = F_\textrm{G}\cdot \text{d}r \]
Damit können wir die Gesamtarbeit \(W\) (Flächeninhalt in Bild 6.34) für die Änderung des Abstandes zweier Massen \(M\) und \(m\) von \(r_1\) auf \(r_2\) über ein bestimmtes Integral berechnen:
\[ \begin{aligned} W = {} & \int_{r_1}^{r_2} \text{d}W \\ = {} & \int_{r_1}^{r_2} F_\textrm{G}\cdot \text{d}r \\ = {} & \int_{r_1}^{r_2} G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}\cdot \text{d}r \\ = {} & GMm\cdot\int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{r^2}\cdot \text{d}r \\ = {} & GMm\cdot\left( -\frac{1}{r} \right)\Bigr\vert_{r_1}^{r_2} \\ = {} & GMm\cdot\left[ \left(-\frac{1}{r_2}\right) - \left(-\frac{1}{r_1}\right) \right] \\ = {} & GMm\cdot\left[ \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right] \\ \end{aligned} \]
6.5.3 Herleitung Hubarbeit im Gravitationsfeld (ohne Integral)
Wir nähern den Flächeninhalt durch die Summe von Rechtecken an. Unterteilen wir das Intervall in vier Rechtecke, können wir die Arbeit als die Summe
\[ W_{ges} \approx W_1+W_2+W_3+W_4 \]
annähern, wobei \(W_1, W_2, \ldots\) die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke sind.
Wählen wir als Höhe der Rechtecke den Funktionswert am Anfang des Intervalls, erhalten wir eine zu große Summe. Wählen wir als Höhe der Rechtecke den Funktionswert am Ende des Intervalls, erhalten wir eine zu kleine Summe (Bild 6.35).
Am besten nehmen wir einen Wert zwischen beiden Funktionswerten. Da \(r_0^2 < r_0\cdot r_1 < r_1^2\) gilt, wählen wir für das erste Rechteck die Zwischenhöhe:
\[ \frac{GmM}{r_0^2}>\frac{GmM}{r_0\cdot r_1}>\frac{GmM}{r_1^2}. \]
Für den Flächeninhalt des ersten Streifens (Höhe mal Breite) gilt dann:
\[ \begin{aligned} W_1 = {} &\frac{GmM}{r_0\cdot r_1}\cdot(r_1-r_0) \\ = {} & GmM\cdot\frac{r_1-r_0}{r_0\cdot r_1} \\ = {} & GmM\cdot\left(\frac{r_1}{r_0\cdot r_1}-\frac{r_0}{r_0\cdot r_1}\right) \\ = {} & GmM\cdot\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}\right) \\ \end{aligned} \]
Genau so lassen sich auch die Flächeninhalte der anderen Streifen anschreiben.
\[ W_2=GmM\cdot\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right), \ldots, W_4=GmM\cdot\left(\frac{1}{r_3}-\frac{1}{r_\mathrm{Ende}}\right) \]
Für die Gesamtsumme erhalten wir:
\[ \begin{aligned} &GmM\cdot\left[\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}\right)+\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{r_3}-\frac{1}{r_\mathrm{Ende}}\right)\right] = \\ &GmM\cdot\left[\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}+\ldots+\frac{1}{r_3}-\frac{1}{r_\mathrm{Ende}}\right] = \\ &GmM\cdot\left[\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_\mathrm{Ende}}\right] \end{aligned} \]
Ist dir etwas aufgefallen? Durch unsere intelligente Wahl für die Rechteckhöhe der Streifen heben sich alle Summanden in der Mitte auf. Es hätte auch keinen Unterschied gemacht, hätten wir fünf, sechs oder mehr Streifen für die Berechnung verwendet – die so gebildete Rechtecksumme ist unabhängig von der Anzahl der Streifen. Das Ergebnis ist also nicht nur eine Näherung, sondern entspricht exakt dem Flächeninhalt unter der Kurve.
\[ W_{ges}= GmM\cdot\left[\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_\mathrm{Ende}}\right] \]
6.5.4 Konservative Kraft
Bisher haben wir so getan, als könnten wir einen Satelliten direkt senkrecht nach oben in seine Umlaufbahn heben. In der Praxis wird ein Satellit aber entlang einer Bahn um die Erde in seine Umlaufbahn gebracht. Müssen wir unsere bisherigen Überlegungen bezüglich Arbeit korrigieren? Glücklicherweise: Nein. Die Arbeit im Gravitationsfeld hängt tatsächlich nur von dem Anfangs- und Endpunkt im Feld ab – es ist vollkommen egal, auf welchem Weg die Masse vom Anfangspunkt zum Endpunkt gelangt. Ist in einem Kraftfeld, so wie hier, die Arbeit wegunabhängig, wird die zugehörige Kraft als konservative Kraft (engl. conservative force) bezeichnet.
Jeder Weg von einem Anfangspunkt \(A\) zu einem Endpunkt \(B\) in einem Gravitationsfeld kann durch einen Weg ersetzt werden, der nur aus radialen und tangentialen Wegstücken besteht (Graue Linie in Bild 6.36). Entlang aller tangentialen Wegstücke ist die Arbeit aber immer null, weil Kraft- und Weg-Vektor dort stets normal aufeinander stehen (siehe Abschnitt Arbeit). Nur entlang der radialen Wegstücke wird Arbeit verrichtet. Für alle Wege, die denselben Start- und Endpunkt haben, wird dieselbe Arbeit im Gravitationsfeld benötigt.
Für einen geschlossenen Weg im Gravitationsfeld (der Anfangspunkt ist gleich der Endpunkt) ist die Arbeit sogar null. Daraus folgt, dass ein Satellit – einmal auf eine Umlaufbahn gebracht – keinen weiteren Antrieb benötigt und ewig im Orbit bleibt.
6.5.5 Abtrennarbeit
Wie viel Arbeit ist notwendig, um einen Körper von der Erdoberfläche für immer zu entfernen? Durch das \(1/r^2\) Abstandsgesetz wirkt die Gravitationskraft zwar in jeder noch so großen Entfernung, aber ihre Wirkung nimmt mit dem Abstand rasch ab. Die Hubarbeit, um einen Körper ins Unendliche zu „heben“, hat zwar unendlich viele Summanden, aber ihre Summe ist trotzdem ein endlicher Wert (Grenzwert), so wie diese unendliche Summe:
\[ \frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots = 1 \]
Nähert sich der Abstand \(r\) unendlich (\(r \rightarrow \infty\)), nähert sich \(1/r\) dem Wert null (\(1/r\rightarrow 0\)). Für die notwendige Hubarbeit, um einen Körper gegen die Gravitationskraft der Erde von ihrer Oberfläche ins Unendliche zu befördern, erhältst du:
\[\begin{equation} W_{\infty}=GmM_\mathrm{Erde}\cdot\left[\frac{1}{r_\mathrm{Erde}}-0\right] = \frac{GmM_\mathrm{Erde}}{r_\mathrm{Erde}} \tag{6.8} \end{equation}\]
Diese Arbeit wird Bindungsenergie (Abtrennarbeit oder Fluchtenergie) genannt.
6.5.6 Potenzielle Energie im Gravitationsfeld
Hebst du unter Aufbringung von Arbeit einen Körper gegen die Gravitationskraft, kannst du diesem Körper – im gehobenen Zustand – eine potenzielle Energie zuschreiben. Lässt du den Körper frei, wird diese potenzielle Energie zum Beispiel in Beschleunigungsarbeit umgewandelt.
Wie du vielleicht von der potenziellen Energie bei der Hubarbeit noch weißt, ist die Wahl des Nullpunktes der potenziellen Energie (\(E_\text{pot}=0\)) beliebig, da physikalisch nur die Differenz von potenziellen Energien, also \(\Delta E_\text{pot}\), von Bedeutung ist. Auch bei der potenziellen Energie im Gravitationsfeld können wir den Nullpunkt (das Nullpotenzial) beliebig festlegen.
Der Erdmittelpunkt kann nicht verwendet werden (für \(r=0\) ist \(1/r\) nicht definiert). Auch die Erdoberfläche wäre keine gute Wahl, weil die Erde nur ein Planet unter vielen ist. Daher wird das Nullpotenzial im Unendlichen festgelegt (siehe Nullpunkt im Bild 6.37). Dadurch ist der Wert der potenziellen Energie für alle Körper, die an einen Himmelskörper gebunden sind, immer negativ.
6.5.7 Gravitationspotenzial
Die Hubarbeit und potenzielle Energie im Gravitationsfeld der Erde (6.5.1 sind abhängig von der Masse des verwendeten Testkörpers. Um Himmelskörper unabhängig von der jeweils verwendeten Testmasse vergleichen zu können, definieren die Physikerinnen und Physiker eine neue Größe:
\[\begin{equation} V=\frac{E_\text{pot}}{m}=-\frac{G\cdot M}{r} \tag{6.9} \end{equation}\]
Durch die Division durch die Masse \(m\) des Testkörpers ist diese neue Größe unabhängig von der verwendeten Testmasse. Diese Größe wird Gravitationspotenzial (engl. gravitational potential) genannt. Sie entspricht der potenziellen Energie pro \(1\;\mathrm{kg}\) (Einheitsmasse). Willst du also die potenzielle Energie eines bestimmten Körpers im Gravitationsfeld des Planeten berechnen, multiplizierst du einfach das den Potenzialwert an dem Ort mit der Masse des Körpers:
\[ E_\text{pot} = m\cdot V \]
Im Bild 6.37 siehst du das gemeinsame Gravitationspotenzial (dicke schwarze Linie) von Erde (blaue Linie) und Mond (rote Linie) eingezeichnet (Die Massen und Größen von Erde und Mond sind im richtigen Verhältnis, alle anderen Größen sind nicht maßstabsgetreu).
Das Gravitationspotenzial von Planeten kannst du dir am besten als Gelände vorstellen. Dabei bilden die Himmelskörper trichterförmige Löcher im Gelände (Potenzialtrichter), wie im Bild 6.38) gezeigt. Würdest du eine kleine Kugel in das Gelände legen, gibt das Gelände vor, in welche Richtung sich die Kugel in Bewegung setzt. Das entspricht auch der Richtung der Beschleunigung einer Raumsonde im Gravitationsfeld der Himmelskörper. Der Punkt \(P\) in der Abbildung 6.37 entspricht dem kräftefreien Punkt (engl. point of zero net force) zwischen Erde und Mond – in diesem Punkt heben sich die anziehenden Gravitationskräfte von Erde und Mond genau auf und die Beschleunigung ist null. Ebenso könntest du eine Kugel dort in das Gelände legen, ohne dass sie beginnen würde herunterzurollen.
Im Abschnitt Lagrange-Punkte wirst du noch vier weitere kräftefreie Punkte kennenlernen.
6.5.8 Äquipotenzialflächen
Auch das Gravitationspotenzial entspricht einem Feld. Da das Potenzial in jedem Raumpunkt eine Zahl ist, handelt sich daher um ein Skalarfeld. Im Bild 6.39 siehst du den 2-dimensionalen Schnitt durch das Gravitationsfeld von Erde und Mond. Die sogenannten Äquipotenzialflächen (B.4.3, engl. equipotential surface) des Potenzialfeldes sind als rote Linien eingezeichnet. Entlang einer Äquipotenzialfläche (oder einer Äquipotenziallinie) ist der Wert des Potenzials immer gleich groß. Der Name leitet sich von dem lateinischen Wort aequus für „gleich“ ab.
Im Bild 6.39 ist nicht nur das Potenzialfeld, sondern auch die Feldlinien des Gravitationsfeldes (in blauer Farbe) eingezeichnet. Wie du im Bild erkennen kannst, stehen die Feldlinien immer normal auf die Äquipotenzialflächen. Beide Felder sind voneinander abhängig und wie zwei Seiten einer Münze. Kennst du das Kraftfeld, kannst du auf das Potenzialfeld schließen und umgekehrt.
6.5.9 Geschlossene Äquipotenzialflächen
In Bild 6.39 sind alle Äquipotenziallinien geschlossene Kurven. Muss das immer so sein?
Um die Frage zu beantworten, verwenden wir eine Analogie im Gelände. Die Höhenlinien (B.4.1, engl. contour lines) einer Landkarte (Bild 6.40) müssen immer geschlossen sein. Nehmen wir an, die Höhenschichtlinie von \(1000\;\mathrm{m}\) wäre nicht geschlossen. Das würde bedeuten, es gäbe einen Weg von \(500\;\mathrm{m}\) auf \(1500\;\mathrm{m}\), den du aufsteigen kannst, ohne jemals die Höhe \(1000\;\mathrm{m}\) passiert zu haben. Das ist unmöglich.
Analoges gilt für das Potenzialfeld. In einem konservativen Kraftfeld müssen alle Äquipotenziallinien geschlossen sein. Gleiches gilt für Äquipotenzialflächen: Sie sind stets geschlossene Oberflächen.
