7.3 Newtons Gravitationsgesetz

Sowohl das durch Ptolemäus verbesserte geozentrische Modell (Abschnitt 7.1.2) als auch das durch Kepler verbesserte heliozentrische Modell (Abschnitt 7.1.3) haben die Bewegung von Himmelskörper erfolgreich beschrieben. Bisher war es eher Geschmackssache für welches der beiden Modelle man sich für die Berechnung entschieden hat.

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Bild 7.16: Gegenüberstellung geozentrisches und heliozentrisches Modell

Man wusste zwar dass sich die Himmelskörper auf Kreis- und Ellipsenbahnen bewegen, aber nicht warum. Das änderte sich durch die Entdeckung des Gravitationsgesetzes durch Isaac Newton.

7.3.1 Entdeckung des Gravitationsgesetzes

Vermutlich hast du die folgende Geschichte schon einmal gehört. Isaac Newton soll unter einem Apfelbaum eingeschlafen sein. Als er in der Nacht von einem herunter fallenden Apfel getroffen wird und aufwacht, erblickt er den Mond. In diesem Moment wird ihm klar: Sowohl der Apfel als auch der Mond folgenden denselben physikalischen Gesetzen. Das soll in der Folge zur Formulierung des Gravitationsgesetzes geführt haben.

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Bild 7.17: Isaac Newton unter einem Apfelbaum

Auch wenn diese Geschichte mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erfunden ist, verdeutlicht sie einen sehr wesentlichen Punkt: Vor der Kopernikanischen Wende war die vorherrschende Meinung, dass das Geschehen im Himmel und auf der Erde unterschiedlichen Gesetzmäßigkeiten folge. Erst durch das (universelle) Gravitationsgesetz erfolgt eine Gleichstellung von irdischen und kosmischen Kräften - für alle Körper im Universum gelten dieselben physikalischen Gesetze (Kosmologisches Prinzip).

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Bild 7.18: Originalskizze von Isaac Newton

Wenn ein Apfel von der Erde angezogen wird, vielleicht wird ja auch der Mond von der Erde angezogen. Wenn ich einen Apfel nehme und ihn waagrecht abschieße, fällt er nach ein paar Metern zu Boden. Wenn ich den Apfel schneller abschießen kann, bewegt er sich noch weiter weg als zuvor. Jetzt ist die Erde aber annährend eine Kugel. Schaffe ich es den Apfel so schnell abzuschießen, dass sein Herabfallen durch das Wegkrümmen der Erdoberfläche ausgeglichen wird, würde der Apfel immer auf der selben Höhe bleiben und ständig um die Erde „herumfallen“ (Bild 7.18) - vorausgesetzt er wird nicht durch die Luftreibung oder andere Gegenstände behindert. Genau das macht der Mond.

7.3.2 Das Gravitationsgesetz

Alle Körper ziehen einander an. Diese Kraft \(F_G\) zwischen jeweils zwei Körpern beschreibt das Newtonsches Gravitationsgesetz (engl. Newton’s law of universal gravitation)

\[ F_G=G\cdot\frac{m_1\cdot m_2}{r^2} \]

Dabei bedeuten die Größen \(m_1\) und \(m_1\) die Massen der beiden Körper, \(G\) die Gravitationskonstante und \(r\) den Abstand der Massenmittelpunkte (Bild 7.19).

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Bild 7.19: Skizze zum Newtonsches Gravitationsgesetz

Streng genommen gilt das Gravitationsgesetz nur für punktförmige Massen. In vielen Aufgaben kann man so tun also ob die gesamte Masse des Körpers in seinem Massenmittelpunkt konzentriert ist. In einigen Fällen, wie zum Beispiel der Berechnung der Gezeitenkräfte (siehe Abschnitt 7.6.2), muss man die räumliche Ausdehnung des Körpers berücksichtigen.

7.3.3 Das Gravitationsgesetz in Vektorschreibweise

Verwendest du die Vektorform des Gravitationsgesetzes musst du dir die Richtung der Kraft nicht zusätzlich überlegen, sie ist bereits im Kraftvektor enthalten.

\[ \vec{F}_{12}=G\cdot\frac{m_1\cdot m_2}{|\vec{r}_{12}|^2}\cdot\frac{\vec{r}_{12}}{|\vec{r}_{12}|} \]

Dabei ist \(\vec{r}_{12}\) der Verbindungsvektor von der Masse \(m_1\) zu der Masse \(m_2\) (siehe Bild 7.20).

Skizze zum Newtonsches Gravitationsgesetz in Vektorschreibweise image source

Bild 7.20: Skizze zum Newtonsches Gravitationsgesetz in Vektorschreibweise

Die Formel mag dir auf den ersten Blick sehr kompliziert vorkommen. Wenn du dir aber überlegst, dass der Betrag eines Vektors nicht anderes als seine Länge ist, kannst du erkennen, dass der erste Teil der Formel dieselbe Zahl ist, die du bereits mit der nicht-verktoriellen Formel für das Gravitationsgesetzes (siehe 7.3.2) ausgerechnet hat - sie ist einfach die Länge des Kraftvektors \(\vec{F}_{12}\).

Der letzte Faktor ist der Verbindungsvektor dividiert durch seine Länge, also der Einheitsvektor (der Richtungsvektor \(\vec{r}_{12}\) auf die Länge Eins normiert) - er gibt lediglich die Richtung der Kraftvektors \(\vec{F}_{12}\) an.

7.3.4 Die Gravitationskonstante

Die Gravitationskonstante (engl. gravitational constant) im Gravitationsgesetz ist, soweit wir heute wissen, eine Naturkonstante und hat im gesamten Universum den gleichen Wert. Nach der Veröffentlichung des Gravitationsgesetzes durch Isaac Newton hat es noch mehr als 100 Jahre gedauert, bis Henry Cavendish um 1800 mit einer Drehwaage (siehe A.2) einen Wert für die Gravitationskonstante erstmalig bestimmen konnte. Ihr Wert beträgt:

\[ 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} \]

Mit Sicherheit ist dir das Minus im Exponenten der Gravitationskonstante aufgefallen. \(10^{-11}\) ist eine unglaublich kleine Zahl und damit ist die Gravitationskraft eine sehr, sehr kleine Kraft.

Die Einheit der Gravitationskonstante leitet sich direkt aus dem Gravitationsgesetz her.

\[ [G]= [F]\cdot\frac{[r]^2}{[m_1]\cdot[m_2]} = \textrm{N}\cdot\frac{\textrm{m}^2}{\textrm{kg}\cdot\textrm{kg}} = \frac{\textrm{kg}\cdot\textrm{m}}{\textrm{s}^2}\frac{\textrm{m}^2}{\textrm{kg}\cdot\textrm{kg}} = \mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} \]

7.3.5 Das Abstandsgesetz

Die Gravitationskraft nimmt mit dem Quadrat des Abstandes ab. Bei doppeltem Abstand sinkt die Kraft auf \(1/4\), bei 3-fachem Abstand auf \(1/9\), usw. Dieses Abstandsgesetz (engl. inverse-square law) ist keine Selbstverständlichkeit. Warum ist die Potenz nicht \(1,9\) oder \(2,1\)? Es wurden viele Experimente gemacht. Sie alle haben - im Rahmen ihrer Messgenauigkeit - gezeigt das der Exponent tatsächlich \(2\) ist.

Vorstellung zum Abstandsgesetz image source

Bild 7.21: Vorstellung zum Abstandsgesetz

Am besten kannst du dir das Abstandsgesetz über eine geometrische Vorstellung merken. Die Oberfläche einer Kugel ist durch die Formel

\[ A\,=4\pi r^2 \]

gegeben. Wenn du einen kugelförmigen Luftballon auf die doppelte Größe aufbläst, vervierfacht sich die Oberfläche. Bläst du ihn auf den dreifachen Radius auf, wächst die Oberfläche auf das 9-fache (Bild 7.21). Du kannst dir vorstellen, dass sich die Gravitationskraft proportional zur Kugeloberfläche “verdünnt” und damit schwächer wird.

7.3.6 Gravitationskraft bei mehr als zwei Massen

Mit Hilfe des Gravitationsgesetzes kannst du nur die Kraft zwischen zwei punktförmigen Massen ausrechnen. Willst du die Kraft auf eine Masse in einem System mit mehr als zwei Massen berechnen, musst du das Gravitationsgesetz wiederholt für jedes Massenpaar anwenden. So erhältst du die Einzelkräfte \(F_{12}\), \(F_{13}\), usw. (siehe Bild 7.22)

Anwendung des Gravitationsgesetzes bei mehr als zwei Massen image source

Bild 7.22: Anwendung des Gravitationsgesetzes bei mehr als zwei Massen

Die Gesamtkraft auf die Masse \(m_1\) ergibt sich dass aus der Summe der Einzelkräfte (siehe 3.2.4).

7.3.7 Träge und schwere Masse

Den Begriff „Masse“ ist uns bisher in zwei unterschiedlichen Funktionen begegnet.

In der Geschichte der Physik hat es viele Versuche gegeben, einen Unterschied zwischen träger und scherer Masse zu finden. Einige der genauesten Untersuchungen hat um 1900 der ungarische Physiker Loránd Eötvös vorgenommen. Auch er fand - im Rahmen der Messgenauigkeit der Instrumente - keinen Unterschied. Albert Einstein setzt einige Jahre später die Gleichheit von träger und schwerer Masse als Grundvoraussetzung seiner allgemeinen Relativitätstheorie voraus (Äquivalenzprinzips).

Setzen wir die Gravitationskraft und die Gewichtskraft (siehe Abschnitt 3.4) für einen Körper der Masse \(m\) gleich

\[ G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2} = m\cdot g \]

können wir Aufgrund der Gleichheit von träger und schwerer Masse die Gleichung durch \(m\) dividieren und erhalten:

\[ g = G\cdot\frac{M}{r^2} \]

Die Fallbeschleunigung ist also unabhängig von der Masse eine konkreten Körpers und hängt nur von Ort \(r\) und der Masse \(M\) des Planeten ab. Obwohl Körper mit größerer Masse eine größere Gravitationskraft erfahren, nimmt ihre Trägheit im selben Maß zu, sodass alle Körper prinzipiell gleich schnell fallen.

Apollo 15 Fallexperiment auf dem Mond image source

Bild 7.23: Apollo 15 Fallexperiment auf dem Mond

Weil der Luftwiderstand auf der Erde den Fall von Gegenständen verzögert, hat die Mannschaft der Apollo 15 Mission am Mond bei einem Fallversuch mit einem Hammer und einer Feder das Äquivalenzprinzip gezeigt (Video 7.23).