7.6 Anwendungen des Gravitationsgesetzes

7.6.1 Das Baryzentrum

Nach der Entdeckung des Gravitationsgesetzes erkannte man, dass sich streng genommen nicht der Mittelpunkt der Sonne (wie im Erstes Keplersches Gesetz (7.2.1) behauptet) im Brennpunkt der Bahnellipse von Planeten befindet, sondern der gemeinsamen Schwerpunkt von Planet und Sonne (das sogenannten Baryzentrum; im Bild 7.36 mit einem Plus markiert).

Bewegung zweier Massen um den gemeinsamen Schwerpunkt image source

Bild 7.36: Bewegung zweier Massen um den gemeinsamen Schwerpunkt

In unserem Sonnensystem ist die Sonne im Verhältnis zu den Planeten aber so massenreich, das Sonnenmittelpunkt und Baryzentrum fast zusammen fallen (siehe Bild 7.37).

Bewegung des Baryzentrums unseres Sonnensystems im Größenvergleich zur Sonne image source

Bild 7.37: Bewegung des Baryzentrums unseres Sonnensystems im Größenvergleich zur Sonne

Je größer die Masse eines Planeten, desto mehr weicht das Baryzentrum vom Mittelpunkt der Sonne ab. Bei einem Doppelstern-Systemen, wo beide Körper sogar eine vergleichbare Masse haben, befindet sich das Baryzentrum in der Mitte zwischen den beiden Massen. In der Animation 7.38 sieht du das Baryzentrum der beiden Körper wieder als Plus markiert.

Bewegung zweier Körper ähnlicher Masse um den gemeinsamen Schwerpunkt image source

Bild 7.38: Bewegung zweier Körper ähnlicher Masse um den gemeinsamen Schwerpunkt

7.6.2 Gezeitenkräfte

Der Meeresspiegel unterliegt täglichen Schwankungen, wie du im Bild 7.39 erkennen kannst.

Vergleich von Ebbe und Flut in der Bay of Fundy image source

Bild 7.39: Vergleich von Ebbe und Flut in der Bay of Fundy

Ebbe und Flut auf der Erde sind eine Folge der Gezeitenkräfte (engl. tidal forces) von Sonne und Mond. Je näher Massen beisammen sind und je größer ihre Ausdehnung ist, desto größer sind die Unterschiede in der Gravitationskraft an den unterschiedlichen Stellen der Körper (Applet 7.40).

Interaktive Abbildung zur Gezeitenkraft image source

Bild 7.40: Interaktive Abbildung zur Gezeitenkraft

Die roten Kraftpfeile entsprechen den Kräften, die auf die unterschiedlichen Stellen des Körpers durch die zweite Masse wirken. Zieht man davon den schwarzen Kraftpfeil (Kraft auf den Mittelpunkt) ab, so erhält man die blauen Kraftpfeile. Sie zeigen die Kräfte relativ zum Mittelpunkt des Körpers.

Die Gezeitenkräfte haben auf die feste Erde kaum einen Einfluss. Ganz anders als die Wassermassen. Hier bewirken die Gezeitenkräfte auf der Mond zu- und abgewandten Seite ein Anheben des Meeresspiegels (Flut), normal dazu ein Absenken des Meeresspiegels (Ebbe).

Zusätzlich zum Mond wirken auf die Wassermassen auch Gezeitenkräfte von der Sonne. Stehen Sonne, Erde und Mond in einer Linien verstärken sich die Gezeitenkräfte von Mond und Sonne (Springtide). Bilden Sonne, Erde und Mond einen rechten Winkel sind die Gezeitenkräfte am kleinsten (Nipptide).

Gezeitenkräfte können sogar so groß werden, dass sie ganze Planeten zerstört (Roche-Grenze).

Links:

7.6.3 Kepler Bahnen

Besteht ein System aus genau zwei Massen (Zweikörperproblem), sind die Bahn-Formen immer Kegelschnittlinien (Keplerbahnen). Die möglichen Bahnen sind in Bild 7.41 dargestellt.

Mögliche Bahnen für eine Raumsonde image source

Bild 7.41: Mögliche Bahnen für eine Raumsonde

Je nach Anfangsgeschwindigkeit erhältst du für die Raumsonde keine Umlaufbahn (hypothetische Ellipse durch die Erde), eine stabile Umlaufbahnen (Kreis (c) und Ellipse (b und d)) oder die Raumsonde verlässt den Planeten für immer (Parabel (e) oder Hyperbelast (f)).

7.6.4 Erste kosmische Geschwindigkeit (Kleinste Kreisbahngeschwindigkeit)

Für eine Kreisbahn eines Satelliten um einen Planeten muss die Gravitationsbeschleunigung (siehe 7.4.2) gleich der Zentripetalbeschleunigung (siehe 2.14.4) sein.

\[ \begin{aligned} a_z = {} & g \\ \frac{v^{2}}{r} = {} &{\frac {GM}{r^{2}}} \\ v= {} &{\sqrt {\frac {GM}{r}}} \\ \end{aligned} \]

Für die kleinstmögliche Kreisbahn (1. kosmische Geschwindigkeit, engl. first cosmic velocity) muss zusätzlich der Bahnradius größer als der Radius des Planeten sein. Für die Erde ergibt sich eine Geschwindigkeit von rund \(7{,}91\;\mathrm{km/s}\). Da unsere Erde aber eine Atmosphäre besitzt kann es einen solchen „Baumwipfelsatelliten“ natürlich nicht geben.

7.6.5 Zweite kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit)

Ist die kinetische Energie (siehe 4.3.2) größer als die Bindungsenergie (siehe 7.5.4) einer Sonde, entfernt sie sich dauerhaft von der Erde und kommt nicht mehr zurück.

\[ \begin{aligned} E_{kin} > {} &W_{\infty} \\ \frac{m\cdot v^2}{2} > {} &\frac{GmM}{r} \\ v > {} &\sqrt{\frac{2GM}{r}} \\ \end{aligned} \]

Die dafür notwendige Geschwindigkeit wird als 2. kosmische Geschwindigkeit (oder Fluchtgeschwindigkeit, engl. escape velocity, second cosmic velocity) bezeichnet. Die Bahn für diese Grenzgewindigkeit entspricht der Parabel in Bild 7.41.

Für einen Körper auf der Erdoberfläche (\(r=r_{Erde}\)) erhält man einen Wert von rund \(11{,}2\;\mathrm{km/s}\) als Fluchtgeschwindigkeit von der Erde.

7.6.6 Das Dreikörperproblem

Befinden sich drei oder mehr Körper mit vergleichbarer Masse in einem System (Dreikörperproblem (engl. three-body problem) bzw. Mehrkörperproblem) sind die Bahnen keine Kegelschnittlinien mehr. Es gibt auch keine Formel mehr für die Bahnkurven der Körper und die Entwicklung eines solchen Systems kann nur mit Simulation bestimmt werden (Animation 7.42). Das Verhalten ist im allgemeinen chaotisch (also sehr stark abhängig von den Anfangsbedingungen).

Simulation eines Systems mit drei Massen image source

Bild 7.42: Simulation eines Systems mit drei Massen

7.6.7 Die Kepler-Konstante

Johannes Kepler hat durch Beobachtungen das dritte Keplersches Gesetz (siehe 7.2.4) entdeckt, aber mit Hilfe des Gravitationsgesetzes können wir berechnen, von welchen Größen die Kepler-Konstante (engl. Kepler’s Constant) abhängt.

Wir gehen wieder von einer kreisförmigen Planetenbahn (Radius \(r\)) um einen Stern aus. Für eine Kreisbahn eines Planeten um einen Stern muss die Gravitationsbeschleunigung (siehe 7.4.2) gleich der Zentripetalbeschleunigung (siehe 2.14.4) sein.

\[ \begin{aligned} a_z = {} & g \\ \frac{v^{2}}{r} = {} &{\frac {GM}{r^{2}}} \qquad\Bigr\rvert\cdot r\\ v^2= {} &{\frac{GM}{r}} \\ \end{aligned} \]

Für die Umlaufzeit \(T\) des Planeten gilt

\[ \begin{aligned} v = {} & \frac{2\pi r}{T} \qquad\Bigr\rvert\;(\ldots)^2\\ v^2 = {} & \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} \end{aligned} \]

Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt

\[ \begin{aligned} \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = {} & \frac{GM}{r} \qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{r}{4\pi^2}\\ \frac{r^3}{T^2} = {} & \frac{GM}{4\pi^2} = C\\ \end{aligned} \]

Da \(G\) und \(\pi\) konstant sind, hängt die Kepler-Konstante also nur von der Masse des Zentralsterns ab und muss somit für alle Planeten eines Planetensystems gleich sein.

7.6.8 Flughöhe Geostationärer Satelliten

Ein geostationärer Satellit (engl. geosynchronous orbit), befindet sich zu jeder Zeit über demselben Ort auf der Erde (Animation 7.43). Seine Umlaufzeit muss daher \(24\;\text{h}\) betragen.

image source

Bild 7.43:

Gehen wir von der Kepler-Konstante (siehe 7.6.7) aus, können wir die Gleichung für \(r\) umschreiben:

\[ \begin{aligned} \frac{r^3}{T^2} = {} & \frac{GM_{Erde}}{4\pi^2} \qquad\Bigr\rvert\cdot T^2\\ r^3 = {} & \frac{GM_{Erde}T^2}{4\pi^2} \qquad\Bigr\rvert\cdot \sqrt[3]{(...)}\\ r = {} & \sqrt[3]{\frac{GM_{Erde}T^2}{4\pi^2}}\\ \end{aligned} \]

Mit der Umlaufzeit (\(24\;\text{h}= 86{.}400\;\text{s}\)) und einer Erdmasse von \(5{,}974\cdot 10^{24}\;\text{kg}\) erhältst du einen Bahnradius von rund \(42{.}236\;\mathrm{km}\). Für die Flughöhe muss noch der Erdradius am Äquator (\(r_{Erde}=6{.}378\;\mathrm{km}\)) abgezogen werden. Die gesuchte Flughöhe ist somit \(35{.}858\;\mathrm{km}\).

Aus der Formel kannst du erkennen, dass eine bestimmte Umlaufzeit immer einen bestimmten Bahnradius erfordert. Nach dem Erstes Keplersches Gesetz (siehe 7.2.1) gilt, dass der Bahnmittelpunkt jeder Satellitenbahn gleich dem Erdmittelpunkt sein muss. Daraus folgt, dass sich alle geostationären Satelliten auf derselben Umlaufbahn um die Erde bewegen müssen. Inaktive Satelliten werden nicht entsorgt, sondern verbleiben in der Umlaufbahn. Dieser Weltraummüll ist zu einem großen Problem für alle Weltraumorganisationen geworden.

Links: