7.2 Keplersche Gesetze

Das antike geozentrischen Weltbild (siehe Abschnitt 7.1.2) war zunächst dem heliozentrischen Weltbildes (siehe Abschnitt 7.1.3) von Nikolaus Kopernikus an Genauigkeit überlegen. Das änderte sich erst, als der deutsche Astronom Johannes Kepler das Modell durch drei Gesetze verbesserte. Bei der Formulierung seiner Gesetze konnte er auf die Aufzeichnungen des dänischen Astronomen Tycho Brahe zurückgreifen, der jahrzehntelang Planeten beobachtete und ihre Positionen sehr genau bestimmte.

In der Folge wird immer von „Planet“ und „Sonne“ die Rede sein. Die Keplerschen Gesetze gelten aber für alle Himmelskörper, die einen anderen umkreisen. Alle Gesetze gelten daher auch für Monde und Satelliten, die einen Planeten umkreisen.

7.2.1 Erstes Keplersches Gesetz (Ellipsensatz)

Die Aufzeichnungen von Tycho Brahe enthielten auch Beobachtungsdaten von Kometen, deren Bahnen deutlich von Kreisbahnen abwichen. Johannes Kepler versuchte es daher mit der dem Kreis am ähnlichsten Form, der Ellipse. Damit konnte er die Planetenbewegung des Mars im Einklang mit den Beobachtungsdaten erfolgreich beschreiben und er formulierte das 1. Keplersches Gesetz (Ellipsensatz) (engl. Kepler’s First Law - The Law of Ellipses):

Jeder Planet umkreist die Sonne entlang einer Ellipse. Die Sonne befindet sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse.
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Bild 7.9: Erstes Keplersches Gesetz

Die Abbildung 7.9 zeigt das erste Keplersche Gesetz. Während Kometenbahnen stark elliptisch sind, weichen die Planetenbahnen in unserem Sonnensystem nur wenig von einer Kreisbahn ab. Die Exzentrizität einer Bahn gibt an, wie stark ihre Form von einem Kreis abweicht. Ein Kreis hat eine Exzentrizität von 0, die der abgebildeten Ellipse 0,8. Die Erde hat lediglich eine Exzentrizität von 0,017 - ist also fast kreisförmig, so wie die meisten Planetenbahnen in unserem Sonnensystem (siehe Bild 7.10).

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Bild 7.10: Bahnen der äußeren Planeten

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7.2.2 Zweites Keplersches Gesetz (Flächensatz)

Wenn sich ein Planet um die Sonne bewegt, dann ist seine Geschwindigkeit entlang der elliptischen Bahn nicht konstant (Animation 7.11). Je näher sich der Planet an der Sonne befindet, desto schneller bewegt er sich auf seiner Bahn. Am sonnennächsten Punkt (Perihel) hat er die größte Geschwindigkeit und am sonnenfernsten Punkt (Aphel) die kleinste Geschwindigkeit.

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Bild 7.11: Bahngeschwindigkeit eines Planeten während eines Umlaufs

Neben dieser Erkenntnis fand Johannes Kepler noch einen weiteren Zusammenhang zwischen der Entfernung von der Sonne und der Geschwindigkeit des Planeten, das 2. Keplersches Gesetz (Flächensatz) (engl. Kepler’s Second Law - The Law of Equal Areas in Equal Time):

Die Strecke Planet-Sonne überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

In der Abbildung 7.12 haben die eingezeichneten Ellipsensektoren - obwohl sie unterschiedliche Form haben - alle dieselbe Fläche \(A\). Die Zeit \(t\) in der sie durch die Bewegung des Planeten entstanden sind, ist ebenfalls für alle drei Sektoren gleich.

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Bild 7.12: Flächensatz nach Kepler

Links:

7.2.3 Länge der Jahreszeiten

Eine Folge des Flächensatzes ist, dass die beide Jahreshälften auf der Erde nicht gleich lang sind. Frühling und Sommer haben zusammen 186 Tage, während Herbst und Winter zusammen nur 179 Tage ergeben. In unserem Winter (Nordwinter) befinden wir uns der Sonne am nächsten und die Erde bewegt sich am schnellsten um die Sonne (Bild 7.13). Daraus folgt aber auch, dass die Entfernung der Sonne nichts mit der Entstehung der Jahreszeiten zu tun haben kann - dafür ist die Neigung der Erdachse zur ihrer Bahnebene um die Sonne (Ekliptikebene) verantwortlich.

Entstehung der Jahreszeiten image source

Bild 7.13: Entstehung der Jahreszeiten

7.2.4 Drittes Keplersches Gesetz

Schließlich entdeckte Johannes Kepler noch ein weiteres Gesetz. Das 3. Keplersches Gesetz (engl. Kepler’s Third Law - The Law of Harmony) besagt:

Das Verhältnis von dem Quadrat der Umlaufzeit und der dritten Potenz der großen Bahn-Halbachse ist für alle Planeten eines Sonnensystems gleich.
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Bild 7.14: Drittes Keplersches Gesetz

Am besten schreibt man das Gesetz als Formel an:

\[ \frac{T_1^{2}}{a_1^{3}} = \frac{T_2^{2}}{a_2^{3}} = \ldots = C \]

Dabei sind \(T_1, T_2, \ldots\) die Umlaufzeiten des ersten, zweiten,… Planeten und \(a_1, a_2, \ldots\) die großen Halbachsen der Bahnellipsen des ersten, zweiten,… Planeten in einem Sonnensystem. Die Konstante \(C\) wird auch Kepler-Konstante genannt.

3. Keplersches Gesetz für die Planeten unseres Sonnensystems image source

Bild 7.15: 3. Keplersches Gesetz für die Planeten unseres Sonnensystems

In der Abbildung 7.15 sind die Verhältnisse für die Planeten unseres Sonnensystems in einem Diagramm zusammengefasst. Für jedes beliebige Objekt, das unsere Sonne umkreist (zum Beispiel auch Kometen), müssen die Werte von Umlaufzeit und großer Halbachse auf dieser gedachten Geraden im Diagramm liegen.

Bitte beachte, dass die Achsen im Diagramm nicht linear sind, sondern sowohl für die Umlaufzeit als auch für die große Halbachse eine Logarithmische Achsenbeschriftung verwendet wurde! Nur durch dieses logarithmische Stauchen der Achsen entsteht im Diagramm eine Gerade durch die Datenpunkte.

7.2.5 Herleitung des dritten Keplersches Gesetz

Das 3. Keplersches Gesetz kann zum Beispiel mit Hilfe der Drehimpulserhaltung hergeleitet werden…

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7.2.6 Anwendung des dritten Keplersches Gesetz

Das 3. Keplersches Gesetz gestattet es zum Beispiel, die Entfernung eines Planeten zu berechnen, wenn man dessen Umlaufzeit, sowie die Umlaufzeit und die große Halbachse eines beliebigen anderen Planeten in einem Sonnensystem kennt.

Als Beispiel wollen wir den Bahnradius des Mars berechnen. In der folgenden Berechnung nehmen wir kreisförmige Bahnen für Mars und Erde an. Die großen Halbachsen der Bahnellipsen entsprechen dann den Radien von Kreisen. Die Umlaufzeit der Erde beträgt 1 Jahr (\(T_{\text{Erde}} = 1\;\mathrm{a}\)) und der mittlere Bahnradius der Erde beträgt 1 Astronomische Einheit (\(a_{\text{Erde}} = 1\;\text{AE}\)), das entspricht rund \(1{,}5\cdot10^{11}\;\text{m}\). Aus Beobachtungen kennen wir außerdem die Umlaufzeit des Mars (\(T_{\text{Mars}} = 1{,}88\;\mathrm{a}\)). Nach dem 3. Keplersches Gesetz gilt

\[ \frac{T_\text{Mars}^{2}}{a_\text{Mars}^{3}} = \frac{T_\text{Erde}^{2}}{a_\text{Erde}^{3}} \]

für den Bahnradius des Mars gilt dann

\[ a_\text{Mars}^{3} = a_\text{Erde}^{3}\cdot\left(\frac{T_\text{Mars}}{T_\text{Erde}}\right)^{2} \]

und

\[ a_\text{Mars} = a_\text{Erde}\cdot \sqrt[3]{ \left(\frac{T_\text{Mars}}{T_\text{Erde}}\right)^{2} } \]

Einsetzen der Werte liefert

\[ a_\text{Mars} = 1\;\text{AE}\cdot \sqrt[3]{ \left(\frac{1{,}88\;\mathrm{a}}{1\;\mathrm{a}}\right)^{2} } = 1{,}52\;\mathrm{AE} = 2,3\cdot10^{11}\;\text{m} \]