7.7 Impuls drehender Körper

Experimente zur Drehimpulserhaltung führen oft zu (scheinbar) überraschende Effekten und faszinieren jung und alt (Bild 7.40).

Bekannter Drehschemel Versuch

Bild 7.40: Bekannter Drehschemel Versuch

In diesem Kapitel geht es unter anderem um den Drehimpuls, die Drehimpulserhaltung, Pirouetten und das scheinbar paradoxe Verhalten von Kreiseln.

7.7.1 Drehimpuls

Analog dem Impuls der Translation (5.5.1) wird der Drehimpuls (engl. angular momentum) oder „Drall“ als Produkt aus Drehmasse und Winkelgeschwindigkeit beschrieben.

\[ \vec{L} = I\cdot\vec{\omega} \]

Beachte, dass der Drehimpuls ein Vektor ist, der in dieselbe Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit zeigt – also entlang der Drehachsenrichtung.

7.7.2 Drehimpulserhaltungssatz

Alle Experimente zeigen, dass nicht nur der lineare Impuls eine Erhaltungsgröße (5.5.6) ist, sondern auch der Drehimpuls. Der Drehimpulserhaltungssatz (engl. conservation of angular momentum) lautet:

Wirken keine äußeren Drehmomente auf ein System ist der Gesamtdrehimpuls – die Vektorsumme aller Drehimpulse – konstant.

7.7.3 Drehmoment als zeitliche Drehimpulsänderung

Im Kapitel Impuls hast du gesehen, wie Kraft als zeitliche Impulsänderung (5.5.4) beschrieben werden kann. Analog zur Translation lässt sich in der Rotation ein Drehmoment als zeitliche Drehimpulsänderung definieren.

\[ \vec{M} = \frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} \]

Diese Formulierung hat den gegenüber Bewegungsgleichung für die Rotation (7.6.7) den Vorteil, dass sogar die Änderung des Trägheitsmoments (zum Beispiel wenn sich die Drehachse ändert oder die Masse abnimmt) berücksichtigt wird.

7.7.4 Drehmomentstoß

Durch Umschrieben des dynamische Grundgesetzes für die Rotation (7.7.3) erhältst du den Ausdruck

\[ \Delta\vec{L} = \vec{M}\cdot\Delta t. \]

In Worten bedeutet diese Gleichung, dass jede Impulsänderung \(\Delta\vec{L}\) durch ein Drehmoment \(\vec{M}\) verursacht wird, das eine gewisse Zeit \(\Delta t\) auf den starren Körper wirkt.

Diese Größe wird Drehmomentstoß (engl. angular impulse) genannt. Der Analoge Ausdruck in der Translation ist der Kraftstoß (5.5.5).

7.7.5 Pirouetteneffekt

Der Drehimpuls ist das Produkt von Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit ist \(L = I\cdot\omega\). Verändert sich während der Drehbewegung das Trägheitsmoment – zum Beispiel durch Anlegen der Arme an den Körper – muss aufgrund der Drehimpulserhaltung die Winkelgeschwindigkeit entsprechend größer werden (Bild 7.41).

Änderung des Trägheitsmoments ändert die Winkelgeschwindigkeit

Bild 7.41: Änderung des Trägheitsmoments ändert die Winkelgeschwindigkeit

Der Pirouetteneffekt wird in vielen Sportarten, wie zum Beispiel beim Eiskunstlauf oder dem Wasserspringen verwendet, um Drehungen zu verlangsamen oder zu beschleunigen.

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7.7.6 Fahrradreifen und Drehschemel

Mit einem Fahrradreifen mit Griffen und einem Drehsessel lässt sich die Drehimpulserhaltung (7.7.2) sehr anschaulich zeigen und erfahren (Je größer die Masse des Reifens, desto eindrucksvoller der Effekt).

Bild 7.42:

Sitzt du auf einem Drehsessel und hältst die Drehachse des Reifens senkrecht wie in Bild 7.42 (links) passiert zunächst nichts. Da sich kein Teil dreht gibt es keinen Drehimpuls und des Gesamtdrehimpuls ist null. Versetzt du den Reifen in Drehung (ohne die Achse zu verändern), beginnst du dich mit dem Drehsessel in die entgegengesetzte Richtung zu drehen. Der Reifen, du und der Drehsessel seid ein abgeschlossenes System, für das die Drehimpulserhaltung gilt. Damit die Drehimpulserhaltung erfüllt ist und der Gesamtdrehimpuls null bleibt, muss beim Andrehen des Reifens ein gleich großes Drehmoment in entgegengesetzter Richtung auftreten (Bild 7.42, rechts).

Bild 7.43:

Im zweiten Versuch sitzt du ruhig auf dem Sessel und bekommst einen bereits drehenden Reifen von einer zweiten Person ausgehändigt, so dass die Drehachse waagrecht ist. Dein System hat jetzt eine Drehimpuls von außen in waagrechter Richtung erhalten, die senkrechte Komponente des Drehimpulses \(L_z\) ist daher null. Kippst du die Drehachse des Reifens in die senkrechte Position, beginnt sich der Drehsessel in die entgegengesetzte Richtung zu drehen und der Gesamtdrehimpuls in senkrechter Richtung bleibt null (\(\sum F_z=0\)). Aber muss die waagrechte Drehimpuls-Komponente nicht ebenfalls erhalten bleiben. Das ist richtig, der Drehsessel lässt aber nur eine Drehung um die senkrechte Achse zu….

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7.7.7 Drehen in Schwerelosigkeit

Die Drehimpulserhaltung (7.7.2) sorgt für ein interessantes Problem. Stell dir vor, du befindest dich in Schwerelosigkeit. Wie kannst du (ohne dich an einem Gegenstand festzuhalten) deine Orientierung ändern? Jede Drehung des Oberkörpers führt zu einer Gegendrehung des Unterkörpers und umgekehrt. Es scheint unmöglich.

Es gibt aber dennoch eine Möglichkeit. Im Gegensatz zu einem starren Körper können Menschen und Tiere ihre Form verändern. Der Trick besteht darin, das Trägheitsmoment der jeweils einen Körperhälfte während der Drehung möglichst groß zu machen und das der anderen Körperhälfte möglichst klein. Bei der Rückdrehung dann umgekehrt.

Drehung einer Katze in Schwerelosigkeit (Fachzeitschrift Nature, 1894)

Bild 7.44: Drehung einer Katze in Schwerelosigkeit (Fachzeitschrift Nature, 1894)

Katzen beherrschen diesen Trick und landen sprichwörtlich immer auf ihren Pfoten, unabhängig von ihrer ursprünglichen Orientierung. Im freien Fall führen sie instinktiv die oben beschriebene Bewegung aus, um sicher zu landen (Bild 7.44). Die Drehung des Schwanzes spielt dabei keine Rolle, denn auch Hasen beherrschen diesen Trick.

7.7.8 Freie Kreisel

Einen Kreisel kennst du sicher als Kinderspielzeug. In diesem Abschnitt geht es um sogenannte freie Kreisel. Darunter ist ein Kreisel zu verstehen, der so aufgehängt ist, dass er sich in jede beliebige Richtung frei drehen kann (es wirken also keine äußeren Drehmomente). So eine Aufhängung (Bild 7.45) wird nach Gerolamo Cardano als kardanische Aufhängung (engl. gimbal) bezeichnet.

Kreisel mit kardanischer Aufhängung

Bild 7.45: Kreisel mit kardanischer Aufhängung

Für einen freien Kreisel ist der Drehimpuls (Größe und Richtung des Drehimpulsvektors) immer konstant. Einmal in Rotation versetzt, zeigt die Rotationsache immer in dieselbe Richtung im Raum. Wird am Äquator die Kreiselachse zum Beispiel senkrecht eingestellt, zeigt die Kreislachse immer an dieselbe Stelle am Fixsternenhimmel, auch nach Stunden. So kann gezeigt werden, dass die Erde rotiert und der Fixsternenhimmel nicht rotiert!

7.7.9 Präzessionsbewegung

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Kreiseln, auf die ein äußeres Drehmoment wirkt. Wird zum Beispiel ein rotierender Kreisel wie in Bild 7.46 horizontal aufgehängt, fällt er erstaunlicherweise nach dem Loslassen nicht zu Boden.

Erklärung der Präzession eines Kreisels.

Bild 7.46: Erklärung der Präzession eines Kreisels.

Zu Beginn hat der Kreisel den Drehimpuls \(L\). Die Gewichtskraft \(F\) erzeugt um den Drehpunkt \(P\) ein Drehmoment \(M\). Es bewirkt während der kurzen Zeit \(\Delta t\) eine Impulsänderung \(\Delta L = M\cdot\Delta t\). Der resultierende neue Drehimpuls des Kreisels ist \(L^\prime\).

Die Kreiselachse weicht also im rechten Winkel zu \(F\) aus. Diese Bewegung wird Präzession (engl. precession) genannt. Die Bezeichnung ist abgeleitet von dem lateinischen Wort praecessio für „das Vorangehen“ – nicht zu verwechseln mit dem Wort Präzision (Genauigkeit)! Beachte: Je schneller der Kreisel dreht (je größer der Drehimpuls), desto langsamer ist die Präzessionsbewegung.

Da die Zeiten \(\Delta t\) sehr klein sind, bleibt die Größe (Länge) des Drehimpulsvektors \(L\) während der Präzessionsbewegung unverändert, nur die Richtung ändert sich dabei.

Bei einem schräg gestellten Kreisel beschreibt die Achse bei der Präzessionsbewegung einen Kegelmantel.

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7.7.10 Nutationsbewegung

Die rotierende Erde verhält sich wie ein riesiger Kreisel im Weltall. Da die Rotationachse der Erde gegen die Ekliptik geneigt ist, führen die Gezeitenkräfte durch die Sonne zu einer Präzessionsbewegung (7.7.9) des Erd-Kreisels. Zusätzlich führen die Gezeitenkräfte des Mondes auf die Erde zu einer Störung dieser Präzessionsbewegung. Die daraus resultierende Bewegung siehst du in Bild 7.47 (Effekt der Störung stark überzeichnet!).

Präzession und Nutation

Bild 7.47: Präzession und Nutation

Diese der Präzession \(P\) überlagerte Nick-Bewegung \(N\) wird Nutation (engl. nutation) genannt. Die Bezeichnung ist abgeleitet von dem lateinischen Wort nutare für „nicken“.