6.1 Impuls und Kraftstoß

Im Bild 6.2 siehst du ein sogenanntes Kugelstoßpendel (engl. newtons cradle). Wenn man auf der linken Seite eine Kugel auslenkt und dann los lässt, schwingt genau eine Kugel auf der rechten Seite auf gleiche Höhe aus.

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Bild 6.2: Kugelstoßpendel bei einer ausgelenkten Kugel

Das Verhalten ist im Einklang mit der Energieerhaltung (siehe 4.3.4). Würden bei einer ausgelenkten Kugel auf der rechten Seite allerdings zwei Kugeln wegschwingen, wobei jede davon nur die halbe Hubhöhe erreicht, würde die Energieerhaltung ebenfalls gelten. Bei einer ausgelenkten Kugel schwingt aber immer nur eine Kugel auf der anderen Seite weg. Offensichtlich fehlt uns noch ein physikalisches Gesetz zur korrekten Vorhersage dieses Stoßvorganges.

6.1.1 Definition von Impuls

Die physikalische Größe Impuls (engl. momentum) entspricht am ehesten dem Begriff „Wucht“ oder „Schwung“ aus der Alltagssprache. Die physikalische Definition lautet

\[ \text{Impuls} = \text{Masse}\cdot\text{Geschwindigkeit} \]

oder in Symbolschreibweise

\[ \vec{p} = m\cdot\vec{v} \]

Der Impuls ist das Produkt aus einer Zahl (Masse) und einem Vektor (Geschwindigkeit) und ist somit ebenfalls eine Vektorgröße.

6.1.2 Einheit des Impulses

Einsetzen in die Definitionsgleichung für den Impuls liefert die Einheit

\[ [p] = [m] \cdot [v] = \text{kg}\cdot\frac{\text{m}}{\text{s}} = \text{kg} \cdot \text{m/s} = \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1} \]

Diese Einheit hat keinen eigenen Namen.

6.1.3 Kraft und Impuls

Mit Hilfe des neuen Impulsbegriffs kann man das dynamische Grundgesetz aus Abschnitt 3.3.3 umschreiben.

\[ \begin{array}{rcl} F & = & m\cdot a \\ & = & m\cdot \frac{\Delta v}{\Delta t} \\ & = & m\cdot \frac{v_2-v_1}{\Delta t} \\ & = & \frac{m\cdot v_2-m\cdot v_1}{\Delta t} \\ & = & \frac{p_2-p_1}{\Delta t} \\ & = & \frac{\Delta p}{\Delta t} \\ \end{array} \]

Eine andere Formulierung des dynamischen Grundgesetzes lautet daher:

\[ F = \frac{\Delta p}{\Delta t} \]

Jede Kraft die auf einen Körper wirkt, verursacht eine zeitliche Impulsänderung.

6.1.4 Das eigentliche dynamische Grundgesetz

Sind die beiden Formulierungen des dynamischen Grundgesetzes

\[ F = \frac{\Delta p}{\Delta t}\qquad \text{und}\qquad F = m\cdot a \]

gleichwertig? Die Antwort ist: Nein. Wenn du dir die Herleitung aus dem letzten Abschnitt (6.1.3) noch einmal genau ansiehst, wird dir auffallen, dass wir bei den Impulsen nicht zwischen \(m_1\) und \(m_2\) unterschieden haben, und davon ausgegangen sind, dass sich die Masse \(m\) während der Krafteinwirkung nicht verändert hat. In den meisten Fällen ändert sich die Masse tatsächlich nicht und wir können die vereinfachte Form \(F = m\cdot a\) für die Berechnung verwenden.

In einigen wenigen Fällen allerdings ändert sich die Masse sehr wohl. Zum Beispiel beim Raketenflug, wo der Treibstoff der Rakete bis zu 90% ihrer Gesamtmasse beträgt. Wird der Raketentreibstoff verbrannt, nimmt die Masse der Rakete ständig ab. In solchen Fällen muss man mit der allgemeineren Form \(F = \Delta p/\Delta t\) des dynamischen Grundgesetzes rechnen.

Isaac Newton war ein sehr kluger Mann. In seiner Arbeit hat er das dynamische Grundgesetz selbstverständlich in der allgemeinen Form als Impulsänderung pro Zeit beschrieben.

6.1.5 Kraftstoß

Die Impulsänderung \(\Delta p\) wird als Kraftstoß (engl. impuls) (oder Antrieb) bezeichnet und hat die Größe

\[ \Delta p = F\cdot\Delta t \]

Im Kraft-Zeit-Diagramm kannst du die Impulsänderung als Fläche unter der Kraftkurve erkennen. Wirkt eine konstante Kraft, ist dieser Flächeninhalt ein Rechteck (Bild 6.3 oben), das du einfach berechnen kannst.

Impulsänderung im Kraft-Zeit-Diagramm image source

Bild 6.3: Impulsänderung im Kraft-Zeit-Diagramm

In den meisten Fällen wirkt während der Kontaktzeit keine konstante Kraft auf den Körper (Bild 6.3 unten). Wird ein Tennisball zum Beispiel gegen eine Wand geworfen, nimmt die Kraft zu, bis der Ball maximal eingedellt ist. Verformt sich der Ball zurück, wird die Kraft immer geringer bis er die Wand schließlich verlässt und keine Kraft mehr wirkt. In diesem Fall kann man aus der Impulsänderung zumindest auf die wirkende mittlere Kraft schließen (flächengleiches Rechteck).

6.1.6 Impulserhaltung

Neben der Energieerhaltung die du in Abschnitt 4.3.4 kennen gelernt hast, gibt es in der Physik noch weitere Erhaltungssätze, wie der Impulserhaltungssatz

Wirken keine äußeren Kräfte auf ein System ist der Gesamtimpuls - die Vektorsumme aller Impulse - konstant.

In der Animation 6.4 siehst du die Impulserhaltung beim schiefen Stoß zweier Münzen.

Impulserhaltung beim Stoß zweier Münzen. image source

Bild 6.4: Impulserhaltung beim Stoß zweier Münzen.

6.1.7 Herleitung der Impulserhaltung

Wir verwenden das Wechselwirkungsgesetz aus Abschnitt 3.3.5. Die Kontaktzeiten \(\Delta t\), in der beide Körper Kraft aufeinander ausüben, ist stets für beide Körper gleich.

\[ \begin{array}{rcl} F_1 & = & -F_2\\ \frac{\Delta p_1}{\Delta t} & = & -\frac{\Delta p_2}{\Delta t}\\ \Delta p_1 & = & -\Delta p_2\\ \Delta p_1 +\Delta p_2& = & 0\\ \Sigma \Delta p_i& = & 0\\ \end{array} \]

Die Gesamtimpulsänderung bei der Wechselwirkung von zwei Körpern ist immer Null. Ist die Änderung aber Null, folgt daraus, dass der Gesamtimpuls - also die Summe aller Einzelimpulse - konstant sein muss.

6.1.8 Kugelstoßpendel

Mit der zusätzlichen Hilfe der Impulserhaltung können wir den richtigen Ausgang des Kugelstoßpendels jetzt vorhersagen.

Bei zwei wegschwingenden Kugel widersprechen sich nämlich Energie- und Impulserhaltung. Entsprechend kann es sich dabei um keine physikalisch mögliche Lösung handeln.

Im Falle einer wegschwingenden Masse sind Energie- und Impulserhaltung im Einklang. Die weiteren Ausgänge für zwei und mehr ausgelenkte Kugeln siehst du in Bild 6.5 zusammengefasst.

Kugelstoßpendels bei 1, 2, 3 und 4 ausgelenkter Kugeln image source

Bild 6.5: Kugelstoßpendels bei 1, 2, 3 und 4 ausgelenkter Kugeln