5.5 Impuls und Kraftstoß
In Bild 5.25 siehst du ein Kopfballduell beim Fußball.
Egal ob du einen Kopfball spielst, auf der Straße einen Autounfall beobachtest oder dir aus Versehen ein Becher zu Boden fällt und dort aufschlägt – Stoßvorgänge (Kollisionen) von Objekten begegnen dir überall im Alltag. Die Erkenntnisse, die wir im Alltag über Stoßvorgänge gewonnen haben, helfen uns in der Kriminalistik bei der Aufklärung von Verbrechen mit Schusswaffen, aber auch bei der Entdeckung neuer Elementarteilchen. Ja, sogar das Swing-by Manöver einer Raumsonde bei einem Planeten und die Kollision von zwei Galaxien sind Stoßvorgänge.
Der Schlüssel zum Verständnis dieser Vorgänge ist der Impuls und ein weiterer Erhaltungssatz, der Impulserhaltungssatz.
5.5.1 Definition von Impuls
Die physikalische Größe Impuls (engl. momentum) entspricht am ehesten dem Begriff „Wucht“ oder „Schwung“ aus der Alltagssprache. Die physikalische Definition lautet:
\[ \text{Impuls} = \text{Masse}\cdot\text{Geschwindigkeit} \]
Oder in Symbolschreibweise ausgedrückt:
| \[\begin{equation} \vec{p} = m\cdot\vec{v} \tag{5.10} \end{equation}\] |
Der Impuls ist das Produkt aus einer Zahl (Masse) und einem Vektor (Geschwindigkeit) und ist somit ebenfalls eine Vektorgröße. Das \(p\) als Formelzeichen für den Impuls kommt vom lateinischen Wort pello, das so viel wie „stoßen“ oder „schleudern“ bedeutet.
5.5.2 Einheit des Impulses
Einsetzen in die Definitionsgleichung für den Impuls liefert die Einheit:
\[ [p] = [m] \cdot [v] = 1\;\text{kg}\cdot\frac{\text{m}}{\text{s}} = 1\;\text{kg} \cdot \text{m/s} = 1\;\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1} \]
Die Einheit „Kilogramm Meter pro Sekunde“ hat keinen eigenen Namen.
5.5.3 Kraft und Impuls
Mithilfe des Impulsbegriffs lässt sich das dynamische Grundgesetz durch den Impuls ausdrücken.
\[ \begin{array}{rcl} F & = & m\cdot a \\ & = & m\cdot \frac{\displaystyle \Delta v}{\displaystyle \Delta t} \\ & = & m\cdot \frac{\displaystyle v_2-v_1}{\displaystyle \Delta t} \\ & = & \frac{\displaystyle m\cdot v_2-m\cdot v_1}{\displaystyle \Delta t} \\ & = & \frac{\displaystyle p_2-p_1}{\displaystyle \Delta t} \\ & = & \frac{\displaystyle \Delta p}{\displaystyle \Delta t} \\ \end{array} \]
Eine andere Formulierung des dynamischen Grundgesetzes lautet daher:
\[\begin{equation} F = \frac{\Delta p}{\Delta t} \tag{5.11} \end{equation}\]
| Jede Kraft, die auf einen Körper wirkt, verursacht eine zeitliche Impulsänderung. |
5.5.4 Kraft als zeitliche Impulsänderung
Sind die beiden Formulierungen des dynamischen Grundgesetzes
\[ F = \frac{\displaystyle \Delta p}{\displaystyle \Delta t}\qquad \text{und}\qquad F = m\cdot a \]
gleichwertig? Die Antwort ist: Nein. Wenn du dir die Herleitung aus dem letzten Abschnitt noch einmal genau ansiehst, wird dir auffallen, dass wir bei den Impulsen nicht zwischen \(m_1\) und \(m_2\) unterschieden haben und davon ausgegangen sind, dass sich die Masse \(m\) während der Krafteinwirkung nicht verändert hat. In den meisten Fällen ändert sich die Masse tatsächlich nicht und wir können die vereinfachte Form \(F = m\cdot a\) für die Berechnung verwenden.
In einigen wenigen Fällen allerdings ändert sich die Masse sehr wohl. Zum Beispiel beim Raketenflug, wo der Treibstoff der Rakete bis zu 90% ihrer Gesamtmasse beträgt. Wird der Raketentreibstoff verbrannt, nimmt die Masse der Rakete ständig ab. In solchen Fällen musst du die allgemeinere Form \(F = \Delta p/\Delta t\) des dynamischen Grundgesetzes verwenden.
Isaac Newton war ein sehr kluger Mann. In seiner Arbeit hat er das dynamische Grundgesetz selbstverständlich in der allgemeinen Form als Impulsänderung pro Zeit beschrieben.
5.5.5 Kraftstoß
Das Produkt aus Kraft und Zeit wird in der Physik als Kraftstoß (engl. impuls) (auch Antrieb oder Impulsübertrag) bezeichnet. Sie ist gleich der Impulsänderung (Umformen des dynamischen Grundgesetzes (5.11)):
\[\begin{equation} F\cdot\Delta t = \Delta p \tag{5.12} \end{equation}\]
Oder bei konstanter Masse (\(\Delta m = 0\)):
\[\begin{equation} F\cdot\Delta t = m\cdot\Delta v \tag{5.13} \end{equation}\]
In vielen Sportarten ist nicht die Kraft alleine entscheidend, sondern die Schnellkraft, also die Fähigkeit in der zur Verfügung stehenden Zeit eine möglichst große Impulsänderung (also einen möglichst großen Kraftstoß) herbeizuführen.
Im Kraft-Zeit-Diagramm kannst du die Impulsänderung als Flächeninhalt unter der Kraftkurve erkennen. Wirkt eine konstante Kraft, ist die Form der Fläche ein Rechteck (Bild 5.26 oben), dessen Flächeninhalt du einfach berechnen kannst.
In den meisten Fällen wirkt während der Kontaktzeit keine konstante Kraft auf den Körper (Bild 5.26 unten). Wird ein Tennisball zum Beispiel gegen eine Wand geworfen, nimmt die Kraft zu, bis der Ball maximal eingedellt ist. Verformt sich der Ball zurück, wird die Kraft immer geringer, bis er die Wand schließlich verlässt und keine Kraft mehr wirkt. In diesem Fall kannst du aus der Impulsänderung zumindest auf die wirkende mittlere Kraft schließen (flächengleiches Rechteck).
5.5.6 Zeit bringt Sicherheit
Stell dir vor, ein Auto fährt mit \(50\;\mathrm{km/h}\) frontal in eine Mauer. Egal, wie der Unfall verläuft, die Geschwindigkeit des Fahrzeugs ist nach dem Zusammenstoß immer \(0\;\mathrm{km/h}\). Und da sich die Masse nicht ändert, ist auch die Impulsänderung immer gleich groß. Die Größen auf der rechten Seite der Kraftstoß-Gleichung können während eines Unfalls nicht verändert werden.
\[ F\cdot\Delta t = m\cdot\Delta v = \Delta p = \text{const.} \]
Alle Sicherheitseinrichtungen müssen daher an der linken Seite der Gleichung ansetzen.
Bläst sich der Airbag bei einem Unfall auf, beginnt der Kontakt von Kopf und Lenkrad schon rund \(30\;\mathrm{cm}\) früher und die Kontaktzeit verlängert sich (Bild 5.27). Je größer die Wirkdauer, desto kleiner die Kraft bei gleicher Impulsänderung!
\[ F\downarrow\cdot\Delta t\uparrow = \Delta p = \text{const.} \]
Auch die folgenden Sicherheitseinrichtungen verwenden das Prinzip der Verlängerung der Wirkdauer:
In der Geschichte von Spider-Man kommt seine Freundin Gwen Stacy bei einem Sturz von einer Brücke ums Leben. Erstaunlicherweise stirbt sie, obwohl Spider-Man sie vor dem Aufschlag auf dem Boden mit seiner Spinnenseide auffängt. Der Faden ist einfach zu wenig elastisch, und damit die Kraft beim Abfangen zu groß. Auch Superhelden können sich nicht über Naturgesetze hinwegsetzen.
5.5.7 Impulserhaltungssatz
Neben der Energieerhaltung, die du schon kennengelernt hast, gibt es in der Physik noch weitere Erhaltungssätze wie zum Beispiel den Impulserhaltungssatz (engl. conservation of momentum).
| Wirken keine äußeren Kräfte auf ein System, ist der Gesamtimpuls – die Vektorsumme aller Impulse – konstant. | |
In Bild 5.28 siehst du das Stroboskopbild von einem Stoß zweier Scheiben unterschiedlicher Masse auf einem Air-Hockey Tisch. Die Vektorsumme der Impulse zeigt die Impulserhaltung bei diesem Stoßvorgang.
5.5.8 Herleitung der Impulserhaltungssatzes
Die Impulserhaltung folgt aus dem Dynamisches Grundgesetz (2. Newtonsche Gesetz) und dem Wechselwirkungsgesetz (3. Newtonsche Gesetz). Wir beginnen mit dem Wechselwirkungsgesetz und drücken die Kräfte durch den Impuls aus. Die Kontaktzeiten \(\Delta t\), in der beide Körper Kraft aufeinander ausüben, ist stets für beide Körper gleich.
\[ \begin{array}{rcl} F_1 & = & -F_2\\ \frac{\displaystyle \Delta p_1}{\displaystyle \Delta t} & = & -\frac{\displaystyle \Delta p_2}{\displaystyle \Delta t}\\ \Delta p_1 & = & -\Delta p_2\\ \Delta p_1 +\Delta p_2& = & 0\\ \Sigma \Delta p_i& = & 0\\ \end{array} \]
Die Gesamtimpulsänderung bei der Wechselwirkung von zwei Körpern ist immer null. Ist die Änderung aber null, folgt daraus, dass der Gesamtimpuls – also die Summe aller Einzelimpulse – konstant sein muss.
5.5.9 Kugelstoßpendel
Das Kugelstoßpendel (engl. newtons cradle) ist ein bekannter Demonstrationsversuch für den Impulserhaltungssatz. Wird genau eine Kugel auf der linken Seite ausgelenkt und dann losgelassen, schwingt genau eine Kugel auf der rechten Seite auf gleiche Höhe aus.
Dieses Verhalten ist alleine durch Anwenden des Energieerhaltungssatzes nicht zwingend notwendig. Sie wäre auch dann erfüllt, wenn auf der rechten Seite zwei Kugeln wegschwingen würden, wobei jede davon nur die halbe Hubhöhe erreichte. Im Falle der zwei wegschwingenden Kugeln widersprechen sich Energie- und Impulserhaltung. Im Falle einer wegschwingenden Masse sind Energie- und Impulserhaltung im Einklang. Es werden also beide Erhaltungssätze benötigt, um das Verhalten des Kugelstoßpendels korrekt vorherzusagen.
Die weiteren Ausgänge für zwei und mehr ausgelenkte Kugeln siehst du in Bild 5.30 zusammengefasst.
5.5.10 Anwendungsbeispiel: Impuls und Kraftstoß
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Die Startzeit eines Viererbobs beträgt \(t=4{,}77\;\mathrm{s}\). Beim Anlaufen üben die vier Sportler durchschnittlich eine Kraft von \(F=400\;\mathrm{N}\) auf den Schlitten aus. Berechne die Geschwindigkeit nach dem Startvorgang, wenn der Bob eine Masse von \(m=210\;\mathrm{kg}\) hat.
Durch die für eine gewisse Zeitspanne auf den Schlitten wirkende Kraft kommt es zu einer Impulsänderung. Sie lässt sich mit der Formel für den Kraftstoß berechnen.
\[ \Delta p = F\cdot \Delta t = 400\cdot 4{,}77 = 1\,908\;\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}} \]
Für einen Körper mit unveränderlicher Masse ändert sich der Impuls nach der Formel \(\Delta p = m\cdot\Delta v\). Durch Umformen erhalten wir die Änderung der Geschwindigkeit durch das Anschieben.
\[\begin{align} m\cdot\Delta v = {} & \Delta p \qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{m} \notag \\ \Delta v = {} & \frac{\Delta p}{m} \notag \\ \Delta v = {} & \frac{1\,908}{210} \notag \\ \Delta v = {} & 9{,}08\ldots\;\mathrm{m/s} \notag \\ \Delta v = {} & 32{,}70\ldots\;\mathrm{km/h} \notag \\ \end{align}\]
Da der Schlitten zu Beginn stand (\(v=0\;\mathrm{m/s}\)), ist die Geschwindigkeitsänderung gleich der Endgeschwindigkeit.
