16.8 Lokale relativistische Effekte der Gravitation

Die spezielle Relativitätstheorie ist speziell, weil sie auf Inertialsysteme beschränkt ist. Im Anschluss an die Entwicklung der speziellen Relativitätstheorie versuchte Albert Einstein, eine Theorie zu finden, mit der sich alle physikalischen Gesetze in allen Bezugssystemen in gleicher Form ausdrücken lassen – also auch in beschleunigten Bezugssystemen.

Aufzugskabine in einem Aufzugsschacht

Bild 16.74: Aufzugskabine in einem Aufzugsschacht

Mit Hilfe von Gedankenexperimenten (2.2.2) mit frei fallenden, fensterlosen Aufzugskabinen (Bild 16.74) kam Einstein auf die Idee, dass eine Person darin keine Möglichkeit hat, die Auswirkungen einer gleichmäßigen Beschleunigung von denen eines gleichmäßigen Gravitationsfeldes zu unterscheiden. Demzufolge wurde seine Allgemeine Relativitätstheorie (ART) zu einer neuen Theorie der Gravitation…

16.8.1 Frei fallende Aufzugskabinen

Stell dir vor, du befindest dich in einer frei fallenden, fensterlosen Aufzugskabine. Du erlebst Schwerelosigkeit (4.4.7) (bis du den Boden erreichst). Befinden sich zusätzlich Objekte in der Kabine, schweben sie entweder bewegungslos neben dir oder treiben mit konstanter Geschwindigkeit. In deinem kleinen begrenzten „Labor“ gilt der Trägheitssatz, also befindest du dich in einem Inertialsystem (3.15.3), wie es für den Geltungsbereich der speziellen Relativitätstheorie (16.2.1) gefordert wird.

Schwerelosigkeit in einer unbeschleunigten Rakete (links) und in einem frei fallenden Aufzug auf der Erde (rechts)

Bild 16.75: Schwerelosigkeit in einer unbeschleunigten Rakete (links) und in einem frei fallenden Aufzug auf der Erde (rechts)

Von außen betrachtet ist aber vollkommen klar: Das Labor wird im Gravitationsfeld beschleunigt. Haben wir nicht immer behauptet, dass ein Inertialsystem ein unbeschleunigtes Bezugssystem ist? Die Gravitation ist in diesem Punkt eine ganz besondere Kraft. Da wir keinen Unterschied zwischen träger Masse (Widerstand gegen Bewegungsänderung) und schwerer Masse (Gravitationsgesetz) messen können, heben sich die Wirkungen von Trägheit und Gravitationskraft gerade auf und alle Körper fallen in einem Gravitationsfeld mit derselben Beschleunigung (6.3.7).

Albert Einstein vermutete, dass diese Gleichheit kein Zufall sein kann und behauptet:

Alle physikalischen Prozesse laufen in einem frei fallenden Bezugssystem so ab, als ob keine Gravitation vorhanden wäre.

Diese lokal begrenzte Gleichheit (Äquivalenz) sollte daher nicht nur auf mechanische Prozesse beschränkt sein, sondern auch für optische, elektrische und alle anderen Prozesse gelten.

16.8.2 Gravitation und Beschleunigung

Alle Effekte der Schwerkraft verschwinden im freien Fall. Umgekehrt lassen sich alle Effekte eines homogenen Gravitationsfeldes, durch eine geeignet gewählte Beschleunigung simulieren.

Ball in einer beschleunigten Rakete (links) und auf der Erde (rechts)

Bild 16.76: Ball in einer beschleunigten Rakete (links) und auf der Erde (rechts)

Wurdest du betäubt und in einen fensterlosen Raum gebracht, kannst du nach dem Aufwachen nicht unterscheiden ob du

  • dich in einem Raum auf der Erde befindest (Bild 16.76 rechts), oder

  • im Weltraum in einer Rakete, die mit \(9{,}81\;\mathrm{m/s^2}\) beschleunigt (Bild 16.76 links).

Nach Albert Einstein sollte es kein einziges Experiment geben, mit dem du die Verhältnisse in einem homogenen Gravitationsfeld von einem beschleunigten Bezugssystem unterscheiden kannst.

16.8.3 Einstein Postulate der allgemeinen Relativitätstheorie

Diese Überlegungen bilden die Grundlage für die allgemeine Relativitätstheorie. Sie lassen sich in den folgenden zwei Postulaten zusammenfassen.

In allen Bezugssystemen, egal ob beschleunigt oder nicht, haben alle Naturgesetze die gleiche Form.

Und:

In jedem Raumpunkt ist ein Gravitationsfeld äquivalent zu einem beschleunigten Bezugssystem ohne Gravitationswirkung.

Dieses zweite Postulat wird Äquivalenzprinzip (engl. equivalence principle) genannt. Beachte: Das Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie hat nichts mit der Äquivalenz von Masse und Energie (16.6.8) aus der speziellen Relativitätstheorie zu tun.

16.8.4 Lichtablenkung im Gravitationsfeld

Stell dir vor, du befindest dich in einem Raumschiff. Während die Rakete beschleunigt, schickst du einen Lichtstrahl von der linken zur rechten Seite. Dabei kommt der Strahl auf der anderen Seite ein wenig unterhalb an und du kannst eine Abweichung feststellen (Bild 16.77, links).

Lichtablenkung durch Beschleunigung und Gravitation

Bild 16.77: Lichtablenkung durch Beschleunigung und Gravitation

Ist das Äquivalenzprinzip (16.8.3) gültig, dann muss auch ein Lichtstrahl im Gravitationsfeld dieselbe Abweichung erfahren und ein wenig unterhalb die andere Seite erreichen (Bild 16.77, rechts).

Dies war eine der ersten Voraussagen der allgemeinen Relativitätstheorie. Sie wurde in zahlreichen Experimenten, wie zum Beispiel im Eddington-Experiment (16.8.5), bestätigt.

16.8.5 Experiment von Eddington

Um die Lichtablenkung durch Gravitation 16.8.4 experimentell zu bestätigen, ist eine sehr große Masse erforderlich. Die Sonne ist die größte Masse in unserem Sonnensystem. Sie ist aber so hell, dass eine Beobachtung der Sterne nahe am Sonnenrand unmöglich ist. Die einzige Möglichkeit bietet eine Sonnenfinsternis.

Sternpositionen bei Nacht (Ringe) und bei Sonnenfinsternis (Scheiben)

Bild 16.78: Sternpositionen bei Nacht (Ringe) und bei Sonnenfinsternis (Scheiben)

Arthur Stanley Eddington verglich daher bei der Sonnenfinsternis 1919 eine Aufnahme des Sternenhimmels bei Nacht mit der Aufnahme während einer Sonnenfinsternis. In der Nähe der Sonne erscheinen die Sternbilder dabei „aufgebläht“ (Bild 16.78, Effekt im Bild stark übertrieben). Dabei konnte er die von Albert Einstein bereits 1911 vorhergesagte Abweichung von 0,875 Bogensekunden experimentell nachweisen. Damit war das Eddington-Experiment (engl. eddington experiment) die erste Bestätigung der allgemeinen Relativitätstheorie und machte Albert Einstein zu einer Berühmtheit.

Vielleicht hast du dich gewundert, dass die Sternpositionen bei der Sonnenfinsternis von der Sonne wegrücken, obwohl das Licht doch von der Sonne angezogen wird. Den Grund kannst du in Bild 16.79 erkennen – wir sehen den Stern in der geraden Verlängerung des einfallenden Lichtstrahls.

Tatsächliche und scheinbare Sternposition

Bild 16.79: Tatsächliche und scheinbare Sternposition

Links:

16.8.6 Gravitative Zeitdilatation

Einsteins Arbeiten zur allgemeinen Relativitätstheorie zeigten auch, dass die Zeit durch ein Gravitationsfeld verändert wird (gravitative Zeitdilatation, engl. gravitational time dilation). Um das plausibel zu machen, verwenden wir folgendes Gedankenexperiment: Identische Uhren werden in der Mitte und am Rand einer sich sehr schnell drehenden Kreisscheibe platziert (Bild 16.80). Die Uhr in der Nähe des Randes bewegt sich mit einer hohen Geschwindigkeit. Aus der speziellen Relativitätstheorie wissen wir, dass eine bewegte Uhr langsamer geht; je schneller sie sich bewegt, desto langsamer geht sie (Zeitdilatation 16.2.5).

Identische Uhren auf einer schnell rotierenden Scheibe

Bild 16.80: Identische Uhren auf einer schnell rotierenden Scheibe

Die Uhr am Rand erfährt aber auch eine große Zentripetalbeschleunigung. Das Äquivalenzprinzip (16.8.3) besagt, dass jedes beschleunigte Bezugssystem äquivalent einem Bezugssystem in einem Gravitationsfeld ist. Daher muss auch die Uhr in einem Gravitationsfeld langsamer gehen (Bild 16.81). Je stärker das Gravitationsfeld, desto langsamer geht die Uhr.

Uhren im Gravitationsfeld

Bild 16.81: Uhren im Gravitationsfeld

16.8.7 Gravitative Zeitdilatation in der Nähe einer Kugel

Um dir eine ungefähre Vorstellung von der Größe der Beeinflussung der Zeit durch Gravitation zu vermitteln, findest du hier die Formel der gravitativen Zeitdilatation (engl. gravitational time dilation) für den Spezialfall einer ruhenden, nicht-rotierenden massereichen Kugel.

\[ t=t_{0}\cdot \sqrt{1-{\frac {2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}} \]

In dieser Formel bedeuten

  • \(t\), die durch Gravitation verlangsamte Zeit (in \(\mathrm{s}\))
  • \(t_0\), die Zeit ohne Beeinflussung durch Gravitation (in \(\mathrm{s}\))
  • \(G\), die Gravitationskonstante (\(6{,}67\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}}\))
  • \(M\), die Masse der Kugel, die das Gravitationsfeld erzeugt (in \(\mathrm{kg}\))
  • \(r\), Abstand der Uhr vom Mittelpunkt der Kugel (in \(\mathrm{m}\))
  • \(c\), die Lichtgeschwindigkeit (\(3\cdot 10^{8}\;\mathrm{m/s}\))

16.8.8 Hafele-Keating-Experiment

Die gravitative Zeitdilatation (16.8.7) wurde erstmals 1971 im Hafele-Keating-Experiment untersucht.

Hafele und Keating mit Atomuhren an Bord eines Verkehrsflugzeugs

Bild 16.82: Hafele und Keating mit Atomuhren an Bord eines Verkehrsflugzeugs

Joseph C. Hafele und Richard E. Keating brachten Atomuhren an Bord eines Verkehrsflugzeuges (Bild 16.82). Sie flogen zweimal um die Welt und verglichen ihre Atomuhren, mit denen am Boden. Bei der Rückkehr, stellte sich heraus, dass die Uhren nicht miteinander übereinstimmten, und dass ihre Unterschiede mit den Vorhersagen der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie übereinstimmten.

Messergebnis beim Maryland-Experiment

Bild 16.83: Messergebnis beim Maryland-Experiment

In Bild 16.83 siehst du das Ergebnis einer ähnlichen Messung mit höherer Genauigkeit. Beim Maryland-Experiment (1975) befand sich das Flugzeug in \(10\;\mathrm{km}\) Höhe. Nach einer Flugzeit von 15 Stunden wurde eine Zeitdifferenz zwischen den Atomuhren an Bord der Maschine und am Boden von \(47{,}1\;\mathrm{ns}\) gemessen. Dieser Wert ist die Summe aus dem Geschwindigkeitseffekt (16.2.5) von \(-5{,}7\;\mathrm{ns}\) und dem Gravitationseffekt (16.8.7) von \(52{,}8\;\mathrm{ns}\). Die gemessene Zeitdifferenz stimmt mit der relativistischen Vorhersage auf eine Genauigkeit von etwa \(1{,}6\%\) überein.

16.8.9 Ereignishorizont

Setzt du in die Gleichung für die gravitative Zeitdilatation einer Kugel (16.8.7) den Abstand

\[ r_{s}=\frac{2GM}{c^{2}} \]

ein, wird der Wert unter der Wurzel Null. Die Zeit steht damit still. Dieser besondere Abstand heißt Schwarzschild-Radius \(r_{s}\) (nach Karl Schwarzschild). Er bildet den sogenannten Ereignishorizont (engl. event horizon) der Masse.

Schwarzes Loch vor dem Hintergrund der Milchstraße (Simulation)

Bild 16.84: Schwarzes Loch vor dem Hintergrund der Milchstraße (Simulation)

Alle Ereignisse die sich innerhalb des Ereignishorizonts ereignen, sind von außen nicht mehr mess- und beobachtbar. Ein Stern der unter diese Größe schrumpft, erscheint als schwarze Kugel in der Größe des Schwarzschild-Radius – ein sogenanntes schwarzes Loch (Bild 16.84).

Die Röntgenquelle Cygnus X-1 im Sternbild Schwan wurde 1964 entdeckt und später als erstes schwarzes Loch nachgewiesen. Mittlerweile kennen wir noch weitere, wie zum Beispiel das supermassereiche Schwarzes Loch Sagittarius A* („Sagittarius A Stern“) im Zentrum der Milchstraße. 2019 gelang der Europäischen Weltraumorganisation (ESA) mit dem Event Horizon Telescope erstmalig eine Aufnahme von einem schwarzen Loch – 55 Millionen Lichtjahre von der Erde entfernt.

16.8.10 Gravitative Frequenzänderung

Wir betrachten einen monochromatischen Lichtstrahl (zum Beispiel einen Laser), den wir senkrecht in den Himmel richten. Im Quantenmechanik-Teil des Buches wirst du erfahren, dass der Strahl aus kleinen Energie-Paketen (Photonen) besteht. Die Energie hängt von der Frequenz \(f\) des Lichtes ab und ist \(E=h\cdot f\) (mit \(h\) dem Planckschen Wirkungsquantum 17.1.9). Dieser Energie entspricht ein Masseäquivalent von

\[ m=\frac{E}{c^2}=\frac{h\cdot f}{c^2} \]

Für das Heben einer Masse im Gravitationsfeld ist Hubarbeit (5.2.1) nötig. Für eine Hubhöhe \(H\) in einem annähernd homogenen Feldbereich benötigst du die Arbeit

\[ \begin{aligned} W = {} & m\cdot g\cdot H \\ = {} & \frac{h\cdot f}{c^2} \cdot g\cdot H \\ \end{aligned} \]

Diese Energie verliert ein Photon beim Aufsteigen im Gravitationsfeld. In der Höhe \(H\) angelangt, ist daher die Energie des Photons nur noch

\[ \begin{aligned} E' = {} & E-W \\ = {} & h\cdot f-\frac{h\cdot f}{c^2} \cdot g\cdot H \\ = {} & h\cdot f\cdot\left(1-\frac{g\cdot H}{c^2}\right) \\ = {} & h\cdot f' \\ \end{aligned} \]

mit

\[ f' = f\cdot\left(1-\frac{g\cdot H}{c^2}\right) \]

der verminderten Frequenz des Photons. Entsprechend wird seine Wellenlänge größer (9.2.1). Eine größere Wellenlänge bedeutet aber eine Verschiebung im sichtbaren Frequenzspektrum (11.8.1) hin zum rötlichen Bereich (Bild 16.85). Daher wird dieser Effekt gravitative Rotverschiebung (engl. gravitational redshift) genannt.

Gravitative Frequenzänderung

Bild 16.85: Gravitative Frequenzänderung

Fällt ein Photon im Gravitationsfeld nimmt es Energie auf und die Wellenlänge verschiebt sich hin zum bläulichen Ende – es kommt zur gravitativen Blauverschiebung. Die Frequenzänderung von Licht im Gravitationsfeld wird allgemein als gravitative Frequenzänderung (engl. gravitational frequency shift) bezeichnet.

16.8.11 Pound-Rebka-Experiment

Im Pound-Rebka-Experiment konnten Robert Pound und Glen Rebka 1960 die Änderung der Frequenz von Licht durch die Gravitation (16.8.10) zum ersten Mal experimentell nachweisen.

Zur Messung wurde die Gammastrahlung (??) eines radioaktiven Isotops verwendet. Radioaktive Quelle und Detektor wurden bei diesem Experiment in einem vertikalen Abstand von rund \(20\;\mathrm{m}\) montiert – dazu mussten sie ein Loch in die Geschoßdecke des Universitätsgebäudes stemmen. Im Zwischenraum befand sich ein Foliensack, durch den Helium gepumpt wurde, um die Streuung der Gammastrahlung an Luftmolekülen zu verringern.

Um relative Frequenzunterschiede in der Größenordnung von \(10^{-15}\) überhaupt messen zu können, wurden spezielle experimentelle Methoden (Mößbauer-Effekt) verwendet. Die Ergebnisse bestätigten die Vorhersage mit einer Genauigkeit von \(10\%\). Dabei wurde sowohl die Rotverschiebung (Quelle unten, Detektor oben) als auch die Blauverschiebung (Detektor unten, Quelle oben) überprüft.

16.8.12 Relativistische Effekte bei der Satellitennavigation

Um eine Genauigkeit in der Standortbestimmung von unter einem Meter zu erreichen, müssen alle Navigationssatellitensysteme, wie zum Beispiel GPS, GLONASS, Galileo oder Beidou, die Veränderung der Zeit aufgrund relativistischer Effekte berücksichtigen.

Bahnen der GPS Satelliten

Bild 16.86: Bahnen der GPS Satelliten

Aus der Bahn der GPS Satelliten (Bild 16.86) ergibt sich zum Beispiel:

  • Ohne Berücksichtigung der Effekte der speziellen Relativitätstheorie (Geschwindigkeit), werden die Satellitenfrequenzen um \(0{,}835\cdot10^{-8}\) Prozent unterschätzt.

  • Ohne Berücksichtigung der Effekte der allgemeinen Relativitätstheorie (Gravitation), werden die Satellitenfrequenzen um \(5{,}28\cdot10^{-8}\) Prozent überschätzt.

Insgesamt verhalten sich die Satellitenuhren so, als ob sie um \(4{,}44\cdot10^{-8}\) Prozent schneller gingen, als sie auf der Erde geeicht worden sind.

Dabei sind diese relativistischen Effekte verblüffend einfach zu berücksichtigen: Die Satellitenuhren werden nicht auf \(10{,}23\;\mathrm{MHz}\), sondern auf die etwas kleinere Frequenz \(10{,}229999995453\;\mathrm{MHz}\) geeicht und die Empfänger tun so, also ob die Satelliten-Eigenfrequenz \(10{,}23\;\mathrm{MHz}\) wäre.

Links: