17.1 Welle mit Teilcheneigenschaften

In Bild 17.2 siehst du ein ganz besonderes Musikinstrument: eine Laserharfe. Jeder Strahl entspricht einem Ton. Wird der Strahl unterbrochen, zum Beispiel durch Abdecken mit der Hand, erklingt der Ton.

Laserharfe

Bild 17.2: Laserharfe

Obwohl Isaac Newton noch davon überzeugt war, dass es sich bei Licht um einzelne Teilchen handelt, wurde bis Ende des 19. Jahrhunderts angenommen, Licht sei eine Welle. Wie sonst ist die Beugung (9.6.4) und Interferenz (8.7.1) von Licht zu erklären?

Um 1900 zeigten aber immer mehr Experimente, dass Licht sich unter bestimmten Umständen wie ein Strahl aus Teilchen verhält. Dieses Wissen ermöglicht es uns zum Beispiel eine Lichtquelle wie einen Laser zu konstruieren, mit seinen außergewöhnlichen Eigenschaften.

17.1.1 Diskrete Energie

In Abschnitt 14.6.2 hast du schon das Strahlungsverhalten eines schwarzen Körpers kennen gelernt. Der Kurvenverlauf war experimentell sehr genau bestimmt worden. Aber jeder Versuch, diesen Kurvenverlauf aus Gesetzen der klassischen Physik herzuleiten, scheiterte. In Bild 17.3 siehst du den tatsächlichen Kurvenverlauf und die beste Näherung, die aus der klassischen Physik hergeleitet werden konnte (Rayleigh-Jeans-Gesetz). Sie stimmt im Infrarotbereich noch halbwegs mit den experimentellen Werten überein, versagt aber vollkommen im UV-Bereich („Ultraviolett-Katastrophe“).

Schwarzkörperstrahlung und Rayleigh-Jeans-Gesetz (rechts)

Bild 17.3: Schwarzkörperstrahlung und Rayleigh-Jeans-Gesetz (rechts)

Max Planck (Nobelpreis 1918) gelang es, um 1900 eine Formel herzuleiten, die den Verlauf der spektralen Strahlungsleistung korrekt beschreibt. Für die Herleitung seiner Formel musste er allerdings einen – wie er glaubte rein mathematischen – Trick anwenden: Energie kann nur in diskreten Portionen ausgetauscht werden!

In der klassischen Physik kann ein schwingendes Molekül eine beliebige Energie besitzen, und seine Energie kann sich durch Absorption oder Emission einer beliebigen Energiemenge ändern. Nach der Herleitung von Max Planck ist die Energie eines schwingenden Moleküls aber „quantisiert“ – es kann nur bestimmte diskrete Werte annehmen. Für diese Energie gilt:

\[ E=n\cdot h\cdot f \]

In dieser Gleichung bedeuten:

  • \(E\), die Energie des Moleküls (in \(\mathrm{J}\))
  • \(n\), eine natürliche Zahl (\(n=0,1,2,3,\ldots\))
  • \(h\), das Plancksche Wirkungsquantum (eine Konstante mit dem Wert \(6{,}6\cdot 10^{-34}\;\mathrm{Js}\))
  • \(f\), die Schwingungsfrequenz des Moleküls (in \(\mathrm{Hz}\))

Dass die Energie eines Körpers nur ein ganzzahliges Vielfaches einer bestimmten Energiemenge sein kann, scheint befremdlich. Fährst du mit dem Rad \(5\;\mathrm{km/h}\) und fügst ihm durch Treten zusätzliche Energie zu, so ändert sich seine Geschwindigkeit nicht sprunghaft auf \(10\;\mathrm{km/h}\), sondern die Geschwindigkeit erhöht sich kontinuierlich (und damit die kinetische Energie). Oder auch beim Gehen auf einer Rampe: Jede Höhe (potenzielle Energie) ist für dich erlaubt. Stell dir vor, nur die Höhen \(1\;\mathrm{m}\) und \(3\;\mathrm{m}\) sind erlaubt, aber keine Höhe dazwischen…

17.1.2 Photonenhypothese

Albert Einstein greift die Idee der diskreten Energie-Pakete von Max Planck für Licht auf und behauptet (Photonenhypothese):

  1. Licht besteht aus kleinen Energie-Paketen (Photonen oder Lichtquanten).

  2. Jedes Photon besitzt eine frequenzabhängige Energie \(E=h\cdot f\) (mit \(h = 6{,}6\cdot 10^{-34}\;\mathrm{Js}\) dem Planckschen Wirkungsquantum). Je größer die Frequenz des Lichts (je kürzer die Wellenlänge), desto größer die Energie eines Photons.

  3. Ein Photon kann seine Energie immer nur zur Gänze an ein Elektron abgeben.

Aus dem relativistischen Impuls eines masselosen Teilchens (16.6.11) \(p=E/c\) und der Grundgleichung der Wellenlehre (9.2.1) \(\lambda=c/f\) folgt daraus für den Impuls eines Photons:

\[ p = \frac{E}{c} = \frac{h\cdot f}{c} = \frac{h}{\lambda} \]

17.1.3 Photoelektrischer Effekt

Richtest du Licht auf ein Stück Metall, werden Elektronen aus der Oberfläche herausgelöst. Dieser Effekt heißt photoelektrischer Effekt (oder Photoeffekt) (engl. photoelectric effect) und ist scheinbar nichts Besonderes. Jede Welle besitzt Energie. Wird diese Energie auf die Elektronen übertragen, werden sie von der Oberfläche abgetrennt.

Ablösen von Elektronen einer Metallplatte durch Bestrahlung

Bild 17.4: Ablösen von Elektronen einer Metallplatte durch Bestrahlung

Es treten dabei aber einige Details auf, die durch das Wellenmodell nicht erklärbar sind.

  • Die kinetische Energie der abgelösten Elektronen ist unabhängig von der Intensität der Strahlung.

  • Unter einer bestimmten Lichtfrequenz (ab einer bestimmten Lichtwellenlänge) kommt es überhaupt zu keiner Ablösung von Elektronen – egal wie groß die Intensität der Strahlung ist!

Da die Energie einer Welle mit der Amplitude steigt (8.2.1), sollte nach dem Wellenmodell mit der Lichtintensität auch die kinetische Energie der Elektronen steigen und bei entsprechend hoher Lichtintensität sollte es bei jeder Frequenz/Wellenlänge möglich sein, Elektronen abzulösen.

Ablösen von Elektronen durch Photonen unterschiedlicher Wellenlänge

Bild 17.5: Ablösen von Elektronen durch Photonen unterschiedlicher Wellenlänge

Albert Einstein findet mit der Photonenhypothese (17.1.2) eine verblüffend einfache Erklärung für den Photoeffekt (und erhält dafür 1921 den Nobelpreis). Mit diesem Modell stellt sich der Photoeffekt jetzt so dar (Bild 17.5):

  • Für das Ablösen eines Elektrons ist eine (für das jeweilige Material charakteristische) Austrittsarbeit \(W\) nötig. Ist die Energie der einfallenden Photonen kleiner als diese Austrittsarbeit, wird kein Elektron losgelöst. Daran ändert auch die Erhöhung der Lichtintensität (Anzahl der Photonen pro Zeit) nichts, da ja keines der Photonen ein Elektron ablösen kann.

  • Ist die Energie eines Photons größer als die Austrittsarbeit \(W\) des Elektrons, wird es losgelöst. Und da die Photonen-Energie immer vollständig auf das Elektron übergeht, findet sich die restliche Energie in der Bewegungsenergie \(E_\text{KIN}\) des Elektrons.

\[ E_\text{KIN} = h\cdot f-W = \frac{m_e\cdot v^2}{2} \]

Je kleiner die Wellenlänge der Photonen, desto größer ist die kinetische Energie der losgelösten Elektronen. In Bild 17.6 siehst du den Zusammenhang von Frequenz der einfallenden Strahlung und kinetischer Energie der abgetrennten Elektronen für eine Zink-Platte. Erst ab einer Lichtfrequenz von \(10{,}4\cdot10^{14}\;\mathrm{Hz}\) besitzen die Photonen ausreichend Energie um Elektronen aus einer Zink-Platte abzulösen.

Photoeffekt für Caesium (Cs), Zink (Zn) und Silber (Ag)

Bild 17.6: Photoeffekt für Caesium (Cs), Zink (Zn) und Silber (Ag)

17.1.4 Compton-Streuung

Nach der Vorstellung der klassischen Physik funktioniert die Streuung elektromagnetischer Strahlung an einem Elektron folgendermaßen: In dem elektromagnetischen Wechselfeld der einfallenden Welle wird das Elektron beschleunigt hin- und herbewegt (Schwingung). Jede beschleunigte Ladung ist aber wieder Quelle eines elektromagnetischen Feldes. Die abgestrahlte Welle sollte dieselbe Wellenlänge haben und die maximale Abstrahlung sollte normal zur Bewegungsrichtung des Elektrons erfolgen.

Bei der Streuung von Röntgenstrahlen an freien Elektronen fand Arthur Holly Compton (Nobelpreis 1927) allerdings etwas ganz anderes heraus. Photon und Elektron verhalten sich wie Teilchen bei einem elastischen Stoß (5.6.2), bei dem ein Teil der Photon-Energie an das Elektron abgegeben und seine Wellenlänge dadurch größer wird (Bild 17.7).

Kollision von Photon und ruhendem Elektron

Bild 17.7: Kollision von Photon und ruhendem Elektron

Wenn wir diese Compton-Streuung (engl. compton scattering) als relativistischen Stoß zwischen einem Photon mit dem Impuls

\[ p=\frac{E}{c}=\frac{h\cdot f}{c}=\frac{h}{\lambda} \]

und einem anfänglich ruhenden Elektron betrachten, erhalten wir mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung die folgende Formel für die Änderung der Wellenlänge (ohne Herleitung):

\[ \lambda'-\lambda = \Delta\lambda = \frac{h}{m_e\cdot c}\cdot [1-cos(\varphi)] \]

Mit der Elektronenmasse \(m_e\) und dem Streuwinkel \(\varphi\) zwischen einfallendem und gestreuten Photon.

17.1.5 Atomspektren

Werden Atome mit Licht bestrahlt, absorbieren sie nur bestimmte Wellenlängen und senden sie anschließend in alle Raumrichtungen wieder aus. In Bild 17.8 siehst du dieses diskrete Emissionsspektrum von Wasserstoff-Atomen.

Emissionsspektrum von Wasserstoff

Bild 17.8: Emissionsspektrum von Wasserstoff

Nach dem Bohr-Modell des Atoms bewegen sich Elektronen auf kreisförmigen Bahnen um den Kern. Die Elektronen werden durch die elektrische Kraft (12.2.6) in der Umlaufbahn gehalten. Nach der klassischen Physik sollte jeder Bahnradius und entsprechend jede Energie und jeder Drehimpuls möglich sein. Um ein Linienspektrum wie in Bild 17.8 erklären zu können, behauptete Bohr, dass nur bestimmte Bahnen möglich sind – nämlich solche, deren Drehimpuls ein Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantums durch zwei Pi ergibt:

\[ L=n\cdot\frac{h}{2\pi} \quad (n=1,2,\dotsc ) \]

Nimmt ein Elektron die Energie eines einfallenden Photons auf, hebt diese Energie das Elektron aus der untersten Umlaufbahn (Grundzustand) auf eine der höheren erlaubten Umlaufbahnen (angeregter Zustand). Nach kurzer Zeit (etwa \(10^{-8}\;\mathrm{s}\)) fällt es wieder ohne äußere Ursache (spontan) auf eine darunterliegende Umlaufbahn zurück, bis es schließlich wieder im Grundzustand ist. Die Energiedifferenz der beiden Umlaufbahnen wird als Photon mit der Energie \(\Delta E=h\cdot f\) in beliebiger Richtung abgestrahlt (Bild 17.9). Dieser Vorgang wird als spontane Emission (engl. spontaneous emission), der Übergang zwischen Energieniveaus aus „Quantensprung“ bezeichnet.

Beispiele von Photonen-Emissionen beim Zurückfallen auf unterschiedliche Elektronenbahnen

Bild 17.9: Beispiele von Photonen-Emissionen beim Zurückfallen auf unterschiedliche Elektronenbahnen

Die Linien im Emissionsspektrum entsprechen dann allen möglichen Kombinationen von Bahn-Sprüngen und erzeugen so den charakteristischen „Fingerabdruck“ eines Elements. Obwohl die willkürliche Annahme von „erlaubten“ Bahnen tatsächlich das Linienspektrum von Wasserstoff (ein Elektron umkreist ein Proton) korrekt beschreibt, scheitert das Modell bei der Erklärung von Linienspektren aller anderen Elemente.

17.1.6 Franck-Hertz-Experiment

Im Franck-Hertz-Experiment (engl. Franck-Hertz experiment) werden Quecksilber-Atome durch inelastische Stöße mit freien Elektronen angeregt. Für diesen ersten direkten Nachweis für diskrete Energieniveaus von Atomen erhielten James Franck und Gustav Hertz 1925 den Nobelpreis.

Franck-Hertz-Experiment Versuchsaufbau

Bild 17.10: Franck-Hertz-Experiment Versuchsaufbau

In Bild 17.10 siehst du den Aufbau des Experiments. Elektronen sondern sich von der Glühkathode ab und werden durch eine Spannung zum Gitter hin beschleunigt. Hinter dem Gitter müssen die Elektronen eine Gegenspannung überwinden. Haben sie genügend kinetische Energie, erreichen sie den Auffänger. In Bild 17.10 siehst du den Auffänger-Strom in Abhängigkeit von der Beschleunigungs-Spannung.

Beschleunigungs-Spannung zu Auffängerstrom

Bild 17.11: Beschleunigungs-Spannung zu Auffängerstrom

Zunächst ist die kinetische Energie der Elektronen zu gering das Gegen-Potenzial beim Auffänger zu überwinden. Steigt die Beschleunigungsspannung, erreichen immer mehr Elektronen den Auffänger und die Stromstärke steigt (1). Ab einer Beschleunigungs-Spannung von \(4{,}9\;\mathrm{V}\) haben die Elektronen ausreichend Energie, um bei einem Stoß mit einem Quecksilber-Atom dessen Hüllenelektron anzuregen. Das freie Elektron besitzt jetzt nicht mehr ausreichend Energie um nach dem Gitter das Gegen-Potenzial zu überwinden, daher sinkt die Stromstärke (2). Bei einer Energie von \(9{,}8\;\mathrm{V}\) (\(=2\cdot 4{,}9\;\mathrm{V}\)) haben die Elektronen genug Energie, um auf ihrem Weg zum Gitter zwei Quecksilber-Atom anzuregen, und so weiter.

Franck-Hertz-Versuch mit Neon-Atomen

Bild 17.12: Franck-Hertz-Versuch mit Neon-Atomen

Da die Elektronen beschleunigt werden, benötigen sie eine gewisse Strecke, bis ihre kinetische Energie groß genug für eine Anregung ist. Daher passiert die Anregung erst in einem bestimmten Abstand von der Kathode. Die Atome geben die angeregte Energie kurze Zeit später durch Aussenden von Photonen wieder ab. Bei Quecksilber liegt die Wellenlänge des ausgesendeten Lichts im für uns unsichtbaren UV-Bereich. In Bild 17.12 wurde der Franck-Hertz-Versuch mit Neon-Atomen durchgeführt. Weil Neon-Atome Photonen im sichtbaren Wellenlängen-Bereich aussenden, kannst du die drei Zonen der Anregung zwischen Kathode und Gitter wirklich sehen.

17.1.7 Stimulierte Emission

In einem früheren Abschnitt hast du die spontane Emission (17.1.5) von Photonen kennen gelernt. Trifft ein Photon mit passender Energie auf ein Atom wird es angeregt. Der Rücksprung des angeregten Elektrons auf ein niedrigeres Energieniveau und die Aussendung des Photons erfolgt zu einem beliebigen Zeitpunkt. Es gibt aber einen Sonderfall: Trifft ein weiteres Photon mit derselben Energie auf ein Atom, das sich bereits in einem angeregten Zustand befindet, wird der Rücksprung auf ein niedrigeres Energie-Niveau ausgelöst (Bild 17.13). Insgesamt verlassen also zwei Photonen das Atom – das einfallende und das ausgesendete (emittierte).

Stimulierte Emission: (a) vor, (b) während und (c) danach

Bild 17.13: Stimulierte Emission: (a) vor, (b) während und (c) danach

Das unter diesen Umständen emittierte Photon hat nicht nur

  • dieselbe Frequenz, sondern auch
  • dieselbe Richtung
  • dieselbe Phasenlage und
  • dieselbe Polarisation

wie das einfallende Photon. Dieser Vorgang wird stimulierte Emission (oder induzierte Emission, engl. stimulated emission) genannt.

17.1.8 Laser

Das Wort Laser ist ein Akronym für die englische Bezeichnung light amplification by stimulated emission of radiation und bedeutet „Licht-Verstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung“. Es bezeichnet eine Lichtquelle, die einen optimal parallelen Strahl aus monochromatischen und kohärenten (gleichphasigen) Licht aussendet.

Aufbau eines Lasers

Bild 17.14: Aufbau eines Lasers

In Bild 17.14 siehst du den allgemeinen Aufbau eines Lasers. Er besteht aus zwei optischen Spiegeln zwischen denen es zu einer stehenden Welle (9.4.1) kommt (optischer Resonator).

Zwischen den beiden Spiegeln befinden sich Atome mit einer besonderen Eigenschaft: Sie besitzen ein metastabiles Energieniveau. In diesem Niveau verbleiben angeregte Elektronen etwa \(10^{-3}\;\mathrm{s}\) (also rund \(10^{5}\) Mal länger als bei normalen angeregten Zuständen). Durch Energiezufuhr werden die Elektronen auf das metastabile Energieniveau gebracht (dieser Vorgang wird „pumpen“ genannt). Befinden sich mehr Elektronen in dem angeregten Zustand als im Grundzustand wird das Besetzungsinversion (Besetzungsumkehr, engl. population inversion) genannt. Durch stimulierte Emission (17.1.7) kommt es zu einem lawinenartigen Freisetzen von Photonen gleicher Frequenz und gleicher Phasenlage. Einer der beiden Spiegel ist etwas lichtdurchlässig (Auskoppelspiegel) und ein Teil der Strahlung kann den Laser verlassen.

Durch ihre außergewöhnlichen Eigenschaften werden sie zum Beispiel für Laserpointer, Entfernungsmessgeräte, Schneid- und Schweißwerkzeuge (auch in der Medizin), zum Auslesen und Schreiben von optischen Speichermedien wie CDs, DVDs und Blu-ray Discs verwendet. Die Eigenschaft der Kohärenz macht den Laser zur idealen Lichtquelle für Interferometer.

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17.1.9 Plancksches Wirkungsquantum

Eine Konstante ist in diesem Kapitel immer wieder aufgetaucht. Das Plancksche Wirkungsquantum (engl. planck constant) – benannt nach Max Planck – hat den Wert

\[ h = 6{,}6\cdot 10^{-34}\;\mathrm{Js} \tag{17.1} \]

Der Name dieser Konstante kommt von der physikalischen Dimension

\[ \text{[Energie]}\cdot\text{[Zeit]} =\text{[Impuls]}\cdot\text{[Weg]} =\text{[Drehimpuls]} \]

die in der Physik als Wirkung (engl. action) bezeichnet wird. Der Begriff Quantum bezeichnet eine kleine Menge von etwas.

In einigen Formeln der Quantenphysik findest du auch das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum mit dem Formelzeichen \(\hbar\) (gesprochen „h quer“). Dabei handelt es sich um die Größe

\[ \hbar ={\frac {h}{2\pi }}\approx 1{,}05\;\mathrm{Js} \]

Kommt in einem physikalischen System eine Größe mit der Einheit einer Wirkung vor und ist diese Wirkung sehr viel größer als das Plancksche Wirkungsquantum, dann gelten mit ausreichender Genauigkeit die Gesetze der klassischen Physik. Sind die Wirkungen allerdings in der Größenordnung von \(h\), dann muss die quantenmechanische Beschreibung (17.4) verwendet werden.