17.4 Schrödinger und die Wellenmechanik

Das Modell der Quantenobjekte (17.3.7) ist mit nichts aus deinem Alltag vergleichbar. Auch die Physikerinnen und Physiker mussten das feststellen. Nach und nach entschlüsselten sie die Spielregeln, nach denen sich Quantenobjekte verhalten. Heute ist die Quantenmechanik eine der erfolgreichsten Beschreibungen der Natur.

Schrödingers Katze?

Bild 17.34: Schrödingers Katze?

Eine dieser Beschreibungen ist die Wellenmechanik von Erwin Schrödinger. Er hat eine der bedeutendsten Gleichungen der Physik aufgestellt – die Schrödingergleichung. Trotzdem fällt den meisten Menschen bei seinem Namen vor allem eine Katze ein (Bild 17.34).

In diesem Kapitel lernst du zunächst die „Spielregeln“ von Quantenobjekten kennen und du erfährst was es mit Schrödingers Katze auf sich hat.

17.4.1 Differenzialgleichung

Wenn du bis hierher in diesem Buch vorgedrungen bist, weißt du bereits, was eine Gleichung ist. Die Lösung einer Gleichung findest du entweder durch

Ob eine Zahl Lösung einer Gleichung ist oder nicht, kannst du durch Einsetzen der Zahl in die Gleichung feststellen. Ist das Ergebnis eine wahre Aussage, erfüllt die Zahl die Gleichung.

Im Gegensatz zu normalen Gleichungen ist die Lösung einer Differenzialgleichung (engl. differential equation) keine Zahl sondern eine Funktion! Üblicherweise kommen in einer Differentialgleichung nicht nur die Funktion selbst, sondern auch Ableitungen dieser Funktion vor, daher der Name.

Als Beispiel sieh dir die folgende einfache Differentialgleichung an.

\[ f'(x)=f(x) \tag{17.4} \]

Auch wenn du kein formales Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen kennst, kannst du sie vielleicht durch „intelligentes Raten“ lösen. Wir suchen eine Funktion, die identisch mit ihrer ersten Ableitung ist. Das erfüllt – neben der Funktion \(f(x)=0\) – nur die natürliche Exponentialfunktion \(e^x\) (oder \(\exp(x)\)). Somit Ist

\[ f(x)=e^x \]

Lösung der obigen Differentialgleichung (17.4).

17.4.2 Leibniz-Notation für Ableitungen

Es gibt unterschiedliche Notationen um die Ableitung einer Funktion darzustellen. Vermutlich kennst du die Notation \(f'\) für die erste, \(f''\) für die zweite und \(f'''\) für die dritte Ableitung der Funktion \(f\). Diese Notation ist superpraktisch, wenn die Funktion \(f\) nur eine Variable hat. In der Physik haben die meisten Funktionen mehrere Variablen und dann ist die Leibniz-Notation vorteilhaft. Sie drückt mit dem Differenzialoperator

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm {d} x} \]

(gesprochen: „d nach dx“) unmissverständlich aus, dass nach der Variable \(x\) abgeleitet wird (alle anderen Variablen werden als Konstanten behandelt). Die „Übersetzung“ für die erste, zweite und dritte Ableitung sieht daher so aus:

\[ f'(x)={\frac {\mathrm {d}f(x)}{\mathrm {d} x}},\quad f''(x)={\frac {\mathrm {d}^{2}f(x)}{\mathrm {d} x^{2}}},\quad f'''(x)={\frac {\mathrm {d} ^{3}f(x)}{\mathrm {d} x^{3}}},\quad \ldots \]

17.4.3 Wellenfunktion

Für ein einzelnes Quantenobjekt ist keine Vorhersage möglich. Die Wellenfunktion (engl. wave function) \(\psi(x,y,z,t)\) (Kleinbuchstabe Psi) beschreibt den Zustand unendlich vieler gleich präparierter Quantenobjekte. Um die Situation so einfach wie möglich zu halten, beschränken wir uns in der Folge auf den eindimensionalen, zeitunabhängigen Fall mit einer Wellenfunktion \(\psi(x)\).

Die Wellenfunktion \(\psi\) dient zunächst nur der Berechnung von Quantenobjekten. Sie selbst ist nicht direkt mess- oder beobachtbar. Aus ihr können aber beobachtbare Eigenschaften der Quantenobjekte wie zum Beispiel ihre Antreffwahrscheinlichkeit in einem Intervall (17.4.4) abgeleitet werden.

17.4.4 Antreffwahrscheinlichkeit

Werden in einem Experiment, wie zum Beispiel beim Doppelspaltexperiement mit Elektronen (17.3.3) die Elektronen in jedem Abschnitt gezählt, ergibt sich daraus eine Wahrscheinlichkeitverteilung. Die Wahrscheinlichkeit \(P_{[a,b]}\) ein Quantenobjekt im Intervall \([a,b]\) anzutreffen (Bild 17.35) kann aus der Wellenfunktion (@ref({wave-function)) berechnet werden.

Intervall [a,b] im Messbereich

Bild 17.35: Intervall [a,b] im Messbereich

Die Wahrscheinlichkeit \(P_{[a,b]}\) ein Quantenobjekt im Intervall \([a,b]\) anzutreffen (Bild 17.35) wird mit Hilfe der Wellenfunktion (@ref({wave-function)) über das folgende bestimmte Integral berechnet (Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation, engl. born rule):

\[ P_{[a,b]} = \int_{a}^{b} \psi^2(x)\,\mathrm dx \]

Die so berechnete Antreffwahrscheinlichkeit kann mit dem Experiment dann verglichen werden. Die Funktion \(\psi^2(x)\) wird dabei als Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion bezeichnet.

17.4.5 „Bewegungsgleichung“ für Quantenobjekte

Die Schrödingergleichung (engl. Schrödinger equation) entspricht einer quantenmechanischen Bewegungsgleichung. Sie ist eine Wellengleichung. Ihre Lösungen sind Wellenfunktionen die das Verhalten von Quantenobjekten in einer bestimmten physikalischen Situation (zum Beispiel ein Elektron in der Atomhülle) beschreiben.

Gedenktafel am Grab von Erwin Schrödinger

Bild 17.36: Gedenktafel am Grab von Erwin Schrödinger

In Bild 17.36 siehst du das Grab von Erwin Schrödinger in Alpbach, Österreich. Die Form der Schrödingergleichung (engl. Schrödinger equation) die du auf der Grabinschrift erkennen kannst, ist sehr kurz und knapp. Etwas ausführlicher lautet sie (Bild 17.37)

Eine Form der Schrödingergleichung

Bild 17.37: Eine Form der Schrödingergleichung

Zugegeben, diese Gleichung sieht auf den ersten Blick sehr heftig aus. Wir werden sie Teil für Teil besprechen und versuchen das Wesentliche hervorzuheben.

  • Der Faktor \(-\hbar^2/2m\) am Beginn der Gleichung (orange) beinhaltet das Plancksche Wirkungsquantum (17.1.9) und die Masse \(m\) der Quantenobjekte.

  • In der Schrödingergleichung kommt nicht nur die Wellenfunktion \(\psi(x)\) (lila), sondern auch ihre 2. Ableitung \(\mathrm{d}^{2}\psi(x)/\mathrm{d}x^{2}\) (blau) vor. Daher handelt es sich um eine Differenzialgleichung (17.4.1). Bei der Lösung der Schrödingergleichung suchen wir also Funktionen, die diese Gleichung erfüllen.

  • Die Potentialfunktion \(U(x)\) (rot) beschreibt die Umgebung der Quantenobjekte – welche Kräfte auf sie wirken.

  • \(E\) (grün) ist die Gesamtenergie der Quantenobjekte.

In diesem Buch beschränken wir uns auf die zeitunabhängige Schrödingergleichung in einer Dimension. Die allgemeine Schrödingergleichung ist um einiges komplizierter. Sie beinhaltet alle drei Raumdimension und die Zeit. Die Lösung ist im allgemeinen eine Schar von komplexen Funktionen.

17.4.6 Normierung der Wellenfunktion

In unserem eindimensionalen Fall soll die Größe \(\psi^2(x)\cdot\mathrm dx\) die Wahrscheinlichkeit darstellen, das mit der Wellenfunktion beschriebene Quantenobjekt im Intervall \(\mathrm dx\) an irgendeiner Position \(x\) zu finden (Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation, 17.4.4).

Beispiel einer gültigen Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion

Bild 17.38: Beispiel einer gültigen Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion

Damit \(\psi^2\) die Funktion einer Wahrscheinlichkeitsdichte erfüllten kann, muss die Wahrscheinlichkeit das Quantenobjekt irgendwo im gesamten Intervall anzutreffen eins sein (sichere Ereignis). Mathematisch wird das mit dem bestimmten Integral

\[ \int_{- \infty}^{+\infty} \psi^2(x)\,\mathrm dx=1 \tag{17.5} \]

ausgedrückt.

Haben wir eine geeignete Lösung \(\psi(x)\) für die Schrödingergleichung (17.4.5) gefunden, muss diese Normbedingung (engl. normalization condition) verwendet werden, um ihre Skalierung festzulegen.

17.4.7 Quanten-Superposition

Das Prinzip der Superposition (2.6.5) ist dir in diesem Buch schon an unterschiedlichen Stellen begegnet. Das Superpositionsprinzip der Quantenphysik besagt ganz allgemein, dass zwei (oder mehr) beliebige Quantenzustände addiert (“überlagert”) werden können und das Ergebnis ein anderer gültiger Quantenzustand (Überlagerungszustand) ist. Mit einem Quantenzustand ist unter anderem der lokalisierbare Ort, der Impuls oder die Energie eines Quantenobjekts gemeint.

Hier einige Beispiele von Superposition in der Quantenmechanik:

  • die Interferenz-Verteilung der Elektronen beim Doppelspalt-Versuch (17.3.3) lässt sich als Summe der Quantenzustände „geht durch Spalt eins“ und „geht durch Spalt zwei“ beschreiben

  • ein Atom kann sich in dem überlagerten Energie-Zustand „angeregt“ und „nicht angeregt“ befinden

  • die Überlagerung von zwei Spin-Zuständen eines Elektrons (17.9.2) vor der Messung

  • ein Photon, das sich im überlagerten Zustand „waagrecht polarisiert“ und „senkrecht polarisiert“ befindet

  • ein Qubit, die kleinste Informationseinheit eines Quantencomputers, das aus der Überlagerung der logischen Zustände \(0\) und \(1\) besteht

Das Superpositionsprinzip der Quantenmechanik steckt bereits in der Beschreibung von Quantenobjekten durch die Wellenmechanik: Addierst du zwei Wellenfunktionen (17.4.3) die beide Lösungen der Schrödingergleichung (17.4.5) sind, ist die Summe ebenfalls eine Lösung der Schrödingergleichung.

Links:

17.4.8 Kollaps der Wellenfunktion

Als Kollaps der Wellenfunktion (engl. wave function collapse oder auch Zustandsreduktion) wird der Übergang von allen möglichen Zuständen (die durch die Wellenfunktion \(\psi\) (17.4.3) beschrieben werden) zu einem konkreten gemessenen Zustand eines Quantenobjekts bezeichnet.

Was genau verursacht diesen Kollaps der Wellenfunktion? Jede Beobachtung und jede Messung setzt eine Wechselwirkung zwischen dem zu messenden Objekt und dem Messapparat oder Beobachter voraus. Daher ist es die Wechselwirkung zwischen dem Quantenobjekt und den Quantenobjekten seiner Umgebung die zu einem Kollaps der Wellenfunktion führt.

Die durchschnittliche Zeit, bis es zur ersten Wechselwirkung eines Quantenobjekts mit seiner Umgebung, kommt – und damit zum Kollaps seiner Wellenfunktion – wird als Dekohärenzzeit bezeichnet.

17.4.9 Schrödingers Katze

Schrödingers Katze (engl. Schrödinger’s cat) ist ein Gedankenexperiment (2.2.2) von Erwin Schrödinger.

Schrödingers Katze in der Kiste vor dem Öffnen

Bild 17.39: Schrödingers Katze in der Kiste vor dem Öffnen

Dabei wird eine Katze gemeinsam mit einem Mechanismus in eine Kiste gesperrt. Der Mechanismus besteht aus einem Gift-Vorrat, der freigesetzt wird, sobald ein im Apparat befindlicher radioaktiver Kern zerfällt (??). Da ein radioaktiver Zerfall ein zufälliger Prozess ist, kann eine Person außerhalb der Kiste nicht wissen, ob die Katze zu einem bestimmten Zeitpunkt noch lebendig oder schon tot ist. Vor dem Öffnen der Kiste befindet sich die Katze in einer Überlagerung der beiden möglichen Zustände „lebendig“ und „tot“ (Bild 17.39). Erst das Öffnen der Kiste durch einen Beobachter stellt einen konkreten Zustand „lebendig“ oder „tot“ her.

Diese Sichtweise ist für Quantenobjekte korrekt. Erst der Kollaps der Wellenfunktion (17.4.8), wie sie zum Beispiel durch eine Beobachtung passiert, erzeugt einen konkreten Zustand.

Das Gedankenexperiment von Schrödingers Katze solltest du aber nicht zu wörtlich nehmen. Katzen sind makroskopische Objekte und keine Quantenobjekte. Alle Atome der Katze sind ständig in Wechselwirkung untereinander. Ebenso wechselwirken diese Atome ständig mit den rund \(10^{25}\) Luftmolekülen, die sich mit ihr in der Kiste befinden, ganz zu schweigen von den Photonen der überall vorhandenen Wärmestrahlung. Daher befindet sich eine echte Katze immer in einem konkreten Zustand („lebendig“ oder „tot“), auch wenn keine Person die Kiste öffnet und nachsieht. Anders als Quantenobjekte befinden sich makroskopische Objekte ständig in einem konkreten Zustand, weil sie ununterbrochen mit der Umgebung wechselwirken.

17.4.10 Bedeutung der Wellenfunktion

Alle Experimente zeigen, dass das Verhalten von Quantenobjekten erfolgreich mit der Quantenmechanik beschrieben werden kann. Die Experimente lassen keinen Zweifel an der Richtigkeit dieses Modells.

Trotzdem gibt es seit Beginn unterschiedliche Interpretationen der Quantenmechanik. Also was die Wellenfunktion genau bedeutet und was sie uns über die Natur verrät. Wir stellen dir einige der bekanntesten Interpretationen am Beispiel von Schrödingers Katze (17.4.9) vor:

  • Kopenhagener Interpretation: Erst im Moment der Messung erfolgt der Kollaps der Wellenfunktion des gemessenen Systems. Beim Öffnen der Kiste und Beobachtung seines Inneren (Messung) geht das System von der Überlagerung möglicher Zustände in einen konkreten Zustand über. Erst bei der Messung entscheidet sich also, ob die Katze tot oder lebendig ist. Ein Zweig bleibt also immer bestehen, während die restlichen möglichen Zweige mit der Zeit verschwinden (Bild 17.40).
Schrödinger Katze nach der Kopenhagener Interpretation

Bild 17.40: Schrödinger Katze nach der Kopenhagener Interpretation

  • Viele-Welten-Interpretation: In dieser Interpretation ist jedes Quantenereignis ein Verzweigungspunkt; die Katze ist sowohl lebendig als auch tot, noch bevor die Kiste geöffnet wird, aber die “lebendige” und die “tote” Katze befinden sich in verschiedenen Zweigen des Universums (Bild 17.41). Beide sind gleichermaßen real und entwickeln sich von nun an unabhängig voneinander weiter. Die beiden Filmstreifen in Bild 17.41 entsprechen also zwei unterschiedlichen, getrennten Universen!
Schrödinger Katze nach der Viele-Welten-Interpretation

Bild 17.41: Schrödinger Katze nach der Viele-Welten-Interpretation

  • De-Broglie-Bohm-Theorie: In dieser alternativen Formulierung der Quantenmechanik gibt es eine zusätzliche Bewegungsgleichung, die den Ort sämtlicher Teilchen zu jeder Zeit festlegt. Die Beschreibung wird dadurch deterministisch. Zu jeder Zeit steht genau fest, ob die Katze tot oder lebendig ist (Bild 17.42). Der Anfangszustand des Systems lässt sich jedoch nicht genau messen, ohne das System zu stören. Daher lassen sich nur Wahrscheinlichkeiten für den Fall einer toten oder einer lebendigen Katze angeben.
Schrödinger Katze nach der De-Broglie-Bohm-Theorie

Bild 17.42: Schrödinger Katze nach der De-Broglie-Bohm-Theorie