9.7 Einfache Überlagerung von Schwingungen

In diesem Kapitel geht es um die Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen. Wie daraus so interessante Kurven wie in Bild 9.31 entstehen, erfährst du etwas weiter unten im Text.

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Bild 9.31: Geschlossene Kurve aus Sand

9.7.1 Überlagerung von zwei Schwingungen

Überlagern sich zwei Schwingungen spricht man von Interferenz (engl. interference). Mit dem Applet 9.32 kannst du die Interferenz von zwei harmonischen Schwingungen erkunden.

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Bild 9.32: Allgemeine Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen

Die Elongation der resultierende Schwingung \(y(t)\) entsteht durch Addition der Elongationen \(y_1(t)\) und \(y_2(t)\). Die Elongationen können auch negativ sein kann, also beachte bei der Summe immer das Vorzeichen.

Die Interferenz von zwei harmonischen Schwingungen ist in den meisten Fällen eine nicht-harmonische Schwingung

Die Interferenz von Schwingungen ist ein Beispiel der Superposition (1.5.5) in der Physik.

9.7.2 Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit gleicher Frequenz

Nur für den Spezialfall, dass beide harmonischen Schwingungen dieselbe Frequenz haben (\(\omega=\omega_1=\omega_2\)), ist die Summe ebenfalls eine harmonische Schwingung (ebenfalls mit derselben Frequenz). Das erkennst du am besten im Zeigerdiagramm der Schwingungen.

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Bild 9.33: Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz

Bei einem Zeigerdiagramm verwenden wir wieder den Vergleich einer harmonischen Schwingung und einer rotierenden Kreisscheibe (9.3). Die Amplituden der Ausgangsschwingungen \(A_1\) und \(A_2\) bilden Vektoren auf der Kreisscheibe. Wie du in Bild 9.33 leicht erkennen kannst: Diese Vektoren schließen bei gleicher Frequenz aber immer denselben Winkel ein. Der Amplitudenvektor \(A_{ges}\) (Vektorsumme der beiden Amplitudenvektoren) ist daher zu allen Zeiten gleich groß und dreht sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit \(\omega\), wie die beiden anderen Amplitudenvektoren.

9.7.3 Konstruktive Interferenz

Bei der Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit dieselbe Frequenz (\(\omega_1=\omega_2\)), ergibt sich für die Phasenverschiebung von \(\Delta\varphi=0, \pm2\pi, \pm4\pi,\ldots\) ein Spezialfall. Bei diesen Bedingungen wird die Schwingung maximal verstärkt (siehe Bild 9.34). Diesen Fall nennt man konstruktive Interferenz (engl. constructive interference).

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Bild 9.34: Konstruktive Interferenz

9.7.4 Destruktive Interferenz

Bei der Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit dieselbe Frequenz (\(\omega_1=\omega_2\)), ergibt sich für die Phasenverschiebung von \(\Delta\varphi=\pm\pi, \pm3\pi,\ldots\) ebenfalls ein Spezialfall. Bei diesen Bedingungen wird die Schwingung maximal geschwächt (siehe Bild 9.35). Diesen Fall nennt man destruktive Interferenz (engl. destructive interference).

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Bild 9.35: Destruktive Interferenz

Sind die Amplituden der roten und blauen harmonischen Schwingung auch noch gleich groß, kommt es zu einer vollkommenen Auslöschung der Schwingung!

Das Prinzip der destruktiven Interferenz wird zum Beispiel in der Akustik beim Bau von geräuschreduzierenden Kopfhörern verwendet. Dort wird Schall mit Schall bekämpft.

9.7.5 Schwebung

Kommt es zur Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen, mit fast gleicher Frequenz, kommt es zum Phänomen der Schwebung (engl. beat): Eine periodisch zu- und abnehmende Amplitude (siehe Bild 9.36).

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Bild 9.36: Schwebung

Unter der Schwebungsfrequenz (engl. beat frequency) versteht man die Anzahl der Amplitudenschwankungen pro Sekunde. Du kannst sie mit der folgenden Formel berechnen:

\[ f_s = f_2-f_1 \]

Dieses An- und Abschwellen der Amplitude bei Schall kannst du als periodische Lautstärkenschwankung hören. Hier zwei Beispiele:

Die Schwebung kann zum Beispiel beim Stimmen von Musikinstrumenten verwendet werden. Dabei wird eine Saite so lange gespannt, bis die Schwebung mit dem Ton der Stimmgabel verschwindet. Dann haben Stimmgabel und Saite dieselbe Frequenz.

9.7.6 Herleitung der Schwebungsfrequenz

Um die Herleitung zu vereinfachen, gehen wir von gleichen Amplituden (\(A_1=A_2=1\)) aus. Für die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen der Frequenzen \(f_1\) und \(f_2\) gilt dann

\[ y(t) = y_1(t) + y_2(t) = \sin(2\pi f_1\cdot t) + \sin(2\pi f_2\cdot t) \]

In der Trigonometrie gilt für die Summe von zwei Sinus-Funktionen die folgende Beziehung (Additionstheorem):

\[ \sin \alpha +\sin \beta = 2 \cdot \sin\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right) \]

Wenden wir diese Formel für die Summe unserer zwei harmonischen Schwingungen an, erhalten wir

\[ \begin{aligned} y(t) = {} & 2 \cdot \sin\left(\frac{(2\pi f_1\cdot t) +(2\pi f_2\cdot t) }{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{(2\pi f_1\cdot t) - (2\pi f_2\cdot t) }{2}\right) \\ y(t) = {} & 2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi (f_1 + f_2)\cdot t }{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{2\pi (f_1 - f_2)\cdot t}{2}\right) \\ y(t) = {} & 2 \cdot \sin\left(2\pi\left(\frac{ (f_1 + f_2)}{2}\right)\cdot t \right) \cdot \cos \left(2\pi\left(\frac{ (f_1 - f_2)}{2}\right)\cdot t \right) \\ \end{aligned} \]

In Bild 9.37 siehst du den Sinus- und den Kosinus-Anteil der Schwingung.

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Bild 9.37: Bestandteile der Schwebung

Wenn die Frequenzen \(f_1\) und \(f_2\) fast gleich groß sind, wird die Differenz \(f_1-f_2\) sehr klein (rote Kurve) und die Frequenz des Kosinus Anteils ist für das Ohr als Ton nicht wahrnehmbar (zum Beispiel \((442\;\mathrm{Hz} - 440\;\mathrm{Hz})/2=1\;\mathrm{Hz}\)). Sie gibt aber die Dauer für das An- und Abschwellen der Lautstärke vor. In einer Periode der roten Schwingung kommt es gleich zwei Mal zum maximalen Anstieg der Lautstärke. Somit ist die gesuchte Schwebungsfrequenz \(f_s\) doppelt so groß wie die Frequenz des Kosinus-Anteils:

\[ f_{\text{s}}=2\cdot\frac{ (f_1 - f_2)}{2}=f_{1}-f_{2} \]

Welche Frequenz hört man aber? Wenn \(f_{1} < f_{2}\) gilt, dann gilt für die Frequenz des Sinus-Anteils (blaue Kurve):

\[ f_{1} < \frac{(f_1 + f_2)}{2} < f_{2} \]

Und wenn beide Frequenzen – wie im Fall der Schwebung – fast gleich sind, gilt

\[ f_{1} \approx \frac{(f_1 + f_2)}{2} \approx f_{2} \]

und du hörst (fast) den ursprünglichen Ton. Zum Beispiel wäre bei den Frequenzen \(f_1=440\;\mathrm{Hz}\) und \(f_2=442\;\mathrm{Hz}\) die hörbare Frequenz

\[ \frac{(f_1 + f_2)}{2} = \frac{(440\;\mathrm{Hz} + 442\;\mathrm{Hz})}{2} = 441\;\mathrm{Hz} \]

9.7.7 Lissajous-Figuren

Hängst du ein Fadenpendel (9.5) auf, kann es entlang der x-Achse, aber auch entlang der y-Achse schwingen. Auf diese Weise erhält man eine zweidimensionale Schwingung. Füllt man den Pendelkörper mit Sand kann man die dabei entstehende Kurve aufzeichnen (Harmonograph, Bild 9.31).

Überlagert man zwei harmonische Schwingung in x-Richtung und y-Richtung erhält man sogenannte Lissajous-Figuren (engl. lissajous curve).

\[ \begin{aligned} x(t) = {} & A_x\cdot\sin(\omega_x\cdot t+\varphi_x) \\ y(t) = {} & A_y\cdot\sin(\omega_y\cdot t+\varphi_y) \\ \end{aligned} \]

Mit dem Applet 9.38 kannst du die Form von Lissajous-Figuren erforschen.

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Bild 9.38: Entstehtung von Lissajous-Figuren

Ist das Verhältnis der beiden Frequenzen \(\omega_x:\omega_y\) eine rationale Zahl, dann entsteht eine geschlossene Kurve. Die Form der Lissajous-Figur ist abhängig von dem Frequenzverhältnis und der Phasendifferenz der beiden Schwingungen. Mit etwas Übung, kannst du alleine aus dem Kurvenverlauf der Lissajous-Figur beides ablesen. In der Elektrotechnik werden Lissajous-Figuren auf einem Oszilloskop verwendet um zwei elektrische Wechselströme miteinander zu vergleichen (Bild 9.39).

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Bild 9.39: Lissajous-Figure auf einem Oszilloskop

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