9.8 Mehrfache Überlagerung von Schwingungen

In den 1970iger Jahren wurden so genannte Synthesizer populär (Bild 9.40). Das sind Musikinstrumente, die auf elektronischem Wege Klänge erzeugen.

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Bild 9.40: Synthesizer von 1979 (Hörprobe: Jean-Michel Jarre – Arpegiator audio abspielen)

In diesem Kapitel erfährst du die Grundlagen für die Synthese und Analyse von Klängen.

9.8.1 Satz von Fourier

Der Grund, warum wir uns bisher ausschließlich mit harmonischen Schwingungen beschäftigt haben, ist der Satz von Fourier (engl. fourier principle):

Jede periodische Schwingung lässt sich als Summe von harmonischen Schwingungen erzeugen.

\[ \begin{aligned} y(t) = A_0 + {} & A_1\cdot\sin(t) & + & B_1\cdot\cos(t) & + & \\ & A_2\cdot\sin(2\cdot t) & + & B_2\cdot\cos(2\cdot t) & + & \\ & A_3\cdot\sin(3\cdot t) & + & B_3\cdot\cos(3\cdot t) & + &\ldots \\ \end{aligned} \]

Die Amplituden \(A_0, A_1, B_1, A_2, B_2, A_3, B_3,\ldots\) heißen Fourierkoeffizienten (engl. fourier coefficients). Mit dem Applet 9.41 kannst du mit den ersten Fourierkoeffizienten experimentieren und beobachten, welche Schwingung sich als Überlagerung ergibt.

Synthese einer Schwingung nach Fourier image source

Bild 9.41: Synthese einer Schwingung nach Fourier

Das „Nachbauen“ einer periodischen Schwingung aus harmonischer Schwingungen bezeichnet man als Fourier-Synthese (engl. fourier synthesis). Nach diesem Prinzip erzeugt der Synthesizer seine Klänge. In den folgenden Abschnitten findest du Beispiele für die Erzeugung einiger recht exotischer Schwingungen.

Links:

9.8.2 Synthese einer Rechteckschwingung

Eine Rechteckschwingung (engl. pulse wave) lässt sich als Summe von harmonischen Schwingungen bilden:

\[ y(t) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2 n-1)^2}\cdot\sin((2 n-1)\cdot t) \]

Das Ergebnis der ersten \(n\) Summanden siehst du in Bild 9.42.

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Bild 9.42: Rechteckschwingung aus harmonischen Schwingungen

Das blaue Diagramm in Bild 9.43 nennt man Frequenzspektrum. Darin kannst du die zur Synthese einer Schwingung notwendigen Frequenzen und Amplituden der harmonischen Teilschwingungen ablesen.

Schwingungsverlauf und Frequenzspektrum image source

Bild 9.43: Schwingungsverlauf und Frequenzspektrum

Als Schallschwingung klingt eine Rechteckschwingung so audio abspielen.

9.8.3 Synthese einer Sägezahnschwingung

Auch eine Sägezahnschwingung oder Kippschwingung (engl. sawtooth wave) lässt sich als Summe von harmonischen Schwingungen erzeugen:

\[ y(t) = \sum_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{n}\cdot \sin(n\cdot t) \]

Das Ergebnis der ersten \(n\) Summanden siehst du in Bild 9.44.

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Bild 9.44: Sägezahnschwingung aus harmonischen Schwingungen

Als Schallschwingung klingt eine Sägezahnschwingung so audio abspielen.

9.8.4 Synthese einer Dreieckschwingung

Eine Dreieckschwingung (engl. triangle wave) erhältst du durch die Summe:

\[ y(t) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2 n-1)^2}\cdot \cos((2 n-1)\cdot t) \]

Das Ergebnis der ersten \(n\) Summanden siehst du in Bild 9.45.

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Bild 9.45: Dreieckschwingung aus harmonischen Schwingungen

9.8.5 Ton, Klang und Geräusch

Sprechen Physikerinnen und Physiker von einem Ton (engl. tone), ist immer eine harmonische (sinusförmige) Schallschwingung einer einzigen Frequenz gemeint. Das einzige Instrument, dass einen Ton erzeugt ist die Stimmgabel.

Unter einem Klang (engl. sound) verstehen Physikerinnen und Physiker eine Schallschwingung, die aus mehreren harmonische Schallschwingung unterschiedlicher Frequenz zusammengesetzt ist. Die Tasten und Saiten von Musikinstrumenten erzeugen daher Klänge.

Die harmonische Schwingung mit der tiefsten Frequenz eine Klanges nennt man Grundschwingung, alle weiteren Oberschwingungen. Die Frequenz der Grundschwingung entscheidet, welche Tonhöhe (9.1.5) wir wahrnehmen. Im Bild 9.46 siehst du links jeweils das Ort-Zeit-Diagramm der Schwingung und rechts das zugehörige Frequenzspektrum, also die Fourierkoeffizienten der Schwingung. Das Amplitudenverhältnis der Teilschwingungen ist dabei charakteristisch für ein Musikinstrument und bestimmt die sogenannte Klangfarbe (engl. timbre). Jetzt verstehst du auch, warum eine Flöte audio abspielen und eine Geige audio abspielen (selbst bei gleicher Tonhöhe) unterschiedlich klingen – sie erzeugen unterschiedliche Obertöne.

(a) Stimmgabel audio abspielen (Ton), (b) Geige audio abspielen (Klang), (c) Flöte audio abspielen (Klang), (d) Wasserfall audio abspielen (Geräusch) image source

Bild 9.46: (a) Stimmgabel audio abspielen (Ton), (b) Geige audio abspielen (Klang), (c) Flöte audio abspielen (Klang), (d) Wasserfall audio abspielen (Geräusch)

Jede nicht-periodische Schallempfindung wird als Geräusch oder Rauschen (engl. noise) bezeichnet.

Sei bitte nicht verwirrt: In der Musik wird eine Schallempfindung, die durch eine Taste, eine Saite, etc. eines Musikinstruments erzeugt wird, als „Ton“ bezeichnet (physikalisch also ein Klang, außer bei einer Stimmgabel). Das Zusammenwirken mehrere „Töne“ wird in der Musik als „Klang“ bezeichnet (physikalisch ebenfalls ein Klang).

Ein Synthesizer (Bild 9.40) versucht durch Überlagerung von Tönen den Klang von natürlichen Instrumenten elektronisch „nachzubauen“.

Links: - Einfacher Synthesizer zum Experimentieren - Moog Synthesizer (1969)

9.8.6 Fourier-Analyse

Die Umkehrung, also das Bestimmen der Fourierkoeffizienten bei einer gegebenen Schwingung, nennt man Fourier-Analyse (engl. fourier analysis). In Bild 9.47 siehst du das zeitliche Frequenzspektrum hintereinander gespielter Klänge als Ergebnis einer Fourier-Analyse.

Zeit-Frequenz-Diagramm (Anhören audio abspielen) image source

Bild 9.47: Zeit-Frequenz-Diagramm (Anhören audio abspielen)

Für die Fourier Analyse gibt es viele Anwendungsgebiete, zum Beispiel die eindeutige Stimmerkennung oder das Abspielen einer Audio CD. Das mathematische Verfahren hinter einer Fourier Analyse heißt Fourier Transformation (engl. fourier transform). Was eine Fourier Transformation macht, kann man am besten mit einer Analogie zu sichtbaren Licht beschreiben. Ein weißer Lichtstrahl ist eine Mischung aus vielen Farben (Licht unterschiedlicher Frequenzen). Ein Prisma (Bild 9.48, analog der Fourier Transformation) spaltet die enthaltenen Frequenzen so auf, dass sie erkennbar werden.

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Bild 9.48: Weißes Licht wird in seine Bestandteile (Frequenzen) zerlegt

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