9.4 Pendel

Im letzten Kapitel hast du gesehen, dass Federpendel (9.3) harmonische Oszillatoren ist. In diesem Kapitel betrachten wir Pendel und untersuchen, ob sie ebenfalls die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators (9.2.7)

\[ a = -\omega^2\cdot y \]

erfüllen.

Stroboskopbild eines Pendels image source

Bild 9.16: Stroboskopbild eines Pendels

9.4.1 Das Fadenpendel

Wird ein Massestück \(m\) an einem (für unsere Überlegungen massenlosen) Faden der Länge \(l\) aufgehängt erhält man ein Fadenpendel oder mathematisches Pendel (engl. simple pendulum) (Bild 9.17). Wir tun so, als ob die gesamte Masse des Pendelkörpers in einem Punkt konzentriert ist und vernachlässigen Lager- und Luftreibung.

Schwingendes Fadenpendel image source

Bild 9.17: Schwingendes Fadenpendel

Für die rücktreibende Kraft ist die Gewichtskraft (3.4) verantwortlich.

Die Bewegung eines Fadenpendels ist im allgemeinen keine(!) harmonische Schwingung! Für kleine Amplituden (\(\varphi < 8^\circ\)) verhält sich ein Fadenpendel annähernd wie ein harmonischer Oszillator. In diesem Fall gilt für Frequenz \(f\) und Periodendauer \(T\): \[ f = \frac{1}{2\pi}\cdot\sqrt{\frac{g}{l}} \qquad\qquad T = 2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}} \]

Unter der Einschränkung auf kleine Amplituden sind Frequenz und Periodendauer des Fadenpendels nur abhängig von der Fadenlänge \(l\) und dem Ortsfaktor \(g\). Insbesondere sind Frequenz und Periodendauer nicht abhängig von der Masse \(m\) des Pendelkörpers und der Anfangsamplitude \(A\)!

Aus den Formeln kannst du erkennen: Je länger der Faden des Federpendels, desto größer wird seine Periodendauer. Umgekehrt gilt: Je größer der Ortsfaktor (2.10.2), desto kleiner die Periodendauer.

Bei einer Fadenlänge von \(l=1\;\mathrm{m}\) entsprechen \(8^\circ\) ungefähr einer Amplitude von

\[ 1\;\mathrm{m}\cdot \sin(8^\circ) = 0{,}13...\;\mathrm{m} \approx 14\;\mathrm{cm} \]

9.4.2 Herleitung Fadenpendel

Kräfte am Fadenpendel image source

Bild 9.18: Kräfte am Fadenpendel

Im Bild 9.18 siehst du die Kräfte bei einem Fadenpendel. Die Gewichtskraft \(F_G\) kann in zwei Teilkräfte zerlegt werden: \(F_1\) entlang des Fadens und \(F_R\) normal dazu. Die Kraft \(F_1\) sorgt dafür, dass der Faden gespannt bleibt. Sie hebt sich mit der Spannkraft \(F_s\) des Fadens auf, und spielt damit für die Bewegung des Fadenpendels keine Rolle. Die Teilkraft \(F_R\) ist die Rückstellkraft der Schwingung.

Als Elongation wählen wir die von der Ruhelage abweichende Bogenlänge \(y\).

Ist das Fadenpendel um den Winkel \(\varphi\) aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, ergibt sich für die Rückstellkraft

\[ \begin{aligned} F_R = {} & F_G\cdot\sin(\varphi) \\ F_R = {} & -m\cdot g\cdot\sin(\varphi) \\ \end{aligned} \]

Messen wir den Winkel \(\varphi\) im Bogenmaß (8.1.2) gilt:

\[ \varphi = \frac{\text{Bogenlänge}}{\text{Radius}} = \frac{y}{l} \]

und wir erhalten für die Rückstellkraft

\[ F_R = -m\cdot g\cdot\sin(\frac{y}{l}) \]

Setzen wir Rückstellkraft in das dynamisches Grundgesetz (3.3.3) ein, erhalten wir:

\[ \begin{aligned} F = {} & F_r \\ m\cdot a = {} & -m\cdot g\cdot\sin(\frac{y}{l}) \qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{m}\\ a = {} & -g\cdot\sin(\frac{y}{l}) \\ \end{aligned} \]

Da die Elongation \(y\) im Argument der Sinus-Funktion vorkommt, ist die Beschleunigung \(a\) nicht proportional zu \(y\). Damit ist die Bewegung eines Fadenpendels ist keine harmonische Schwingung!

Für kleine Winkel in Radiant sind \(\theta\) und \(\sin(\theta)\) fast gleich image source

Bild 9.19: Für kleine Winkel in Radiant sind \(\theta\) und \(\sin(\theta)\) fast gleich

Für kleine Winkel im Bogenmaß (siehe Bild 9.19) allerdings gilt:

\[ \sin(\varphi)\approx\varphi \qquad\Rightarrow\qquad\sin(\frac{y}{l})\approx\frac{y}{l} \]

damit erhältst du

\[ \begin{aligned} a \approx {} & -g\cdot\frac{y}{l} \\ a \approx {} & -\frac{g}{l}\cdot y \\ \end{aligned} \]

also einen lineareren Zusammenhang zwischen der Beschleunigung \(a\) und der Elongation \(y\). Für kleine Amplituden verhält sich ein Fadenpendel annähernd wie ein harmonischer Oszillator.

Vergleichst du die Formel mit der Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators (9.2.7) bekommst du folgenden Ausdruck für die Kreisfrequenz \(\omega\):

\[ \omega^2 = \frac{g}{l} \qquad\Rightarrow\qquad \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} \]

Damit wissen wir die Frequenz \(f\) der Schwingung des Fadenpendels:

\[ \begin{aligned} 2\pi f = {} & \omega &\\ 2\pi f = {} & \sqrt{\frac{g}{l}} &\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{2\pi}\\ f = {} & \frac{1}{2\pi}\cdot\sqrt{\frac{g}{l}}\\ \end{aligned} \]

Und in der Folge auch die Periodendauer \(T=1/f\):

\[ T = 2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}} \]

9.4.3 Physikalisches Pendel

Das vorgestellte Fadenpendel, wird auch mathematisches Pendel genannt. Bei ihm ist die gesamte Masse am Ende des Fadens in einem Punkt konzentriert.

Beispiel für ein physikalisches Pendel image source

Bild 9.20: Beispiel für ein physikalisches Pendel

Im Gegensatz dazu berücksichtigt man beim physikalischen Pendel (engl. physical pendulum) die Form und die Massenverteilung eines schwingenden Körpers (siehe Bild 9.20). Die Periodendauer bei einem physikalischen Pendel ist

\[ T = \frac {2 \pi} {\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac {I} {m\cdot g\cdot l}} \]

Wobei hier \(l\) der Abstand von Drehpunkt zu Massenmittelpunkt (1.13.3) des Körpers bedeutet und \(I\) das Trägheitsmoment (??) des Körpers um den Drehpunkt ist.

9.4.4 Bestimmung des Ortsfaktors mit Hilfe eines Fadenpendels

Ein Astronaut auf dem Mars misst bei einem Fadenpendel mit der Fadenlänge \(l=70\;\mathrm{cm}\) (bei kleiner Amplitude) eine Periodendauer von \(T=2{,}74\;\mathrm{s}\) berechne die Fallbeschleunigung am Ort des Astronauten.

Da die Periodendauer eines Fadenpendels (bei kleinen Amplituden) nur von der Länge des Fadens und dem Ortsfaktor abhängen, kannst du ein Fadenpendel mit bekannter Länge als einfaches Messgerät für die Bestimmung der Fallbeschleunigung vor Ort verwenden.

Bevor wir den Ortsfaktor berechnen können, müssen wir aus der Gleichung für die Periodendauer die Fallbeschleunigung \(g\) explizit ausdrücken.

\[ \begin{aligned} T = {} & 2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}} \qquad\Bigr\rvert (\ldots)^2 \\ T^2 = {} & 4\pi^2\cdot\frac{l}{g} \qquad\Bigr\rvert\cdot g \\ T^2\cdot g = {} & 4\pi^2\cdot l \qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{T^2} \\ g = {} & \frac{4\pi^2\cdot l}{T^2} \\ \end{aligned} \]

Einsetzen der Werte liefert das Ergebnis

\[ g = \frac{4\pi^2\cdot 0{,}7\;\mathrm{m}}{(2{,}74\;\mathrm{s})^2} = 3{,}68...\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \]

für den Ortsfaktor.