12.2 Elektrische Kraft
In Bild 12.9 siehst du eine Influenzmaschine im Betrieb.
In diesem Kapitel erfährst du unter anderem, was die Begriffe elektrische Influenz und elektrische Polarisation bedeuten und das Kraftgesetz für elektrische Kräfte.
12.2.1 Ladungsverschiebung in Metallen
Metallische Festkörper werden als elektrische Leiter (engl. electrical conductor) bezeichnet und sind so aufgebaut, dass die positiven Atomrümpfe in einem Gitter angeordnet sind, während die Außenelektronen nicht fix einem Atom zugeordnet werden können, sondern sich relativ frei im Leitermaterial bewegen können („Elektronengas“).
Wird ein elektrisch negativ geladener Körper wie in Bild 12.10 an einen Leiter angenähert – ohne ihn zu berühren! –, werden die negativ geladenen Elektronen im Metall zurückgedrängt und es entsteht ein elektrischer Dipol (engl. electric dipole), ein Körper, der auf einer Seite positiv und auf der anderen Seite negativ geladen ist. Da die positiv geladene Seite des Metallkörpers dem negativ geladenen Körper näher ist, kommt es insgesamt zu einer anziehenden Kraft.
Das Ändern der Konzentration von Elektronen an einer Stelle in einem Leiter aufgrund einer elektrischen Kraft wird elektrische Influenz (engl. electrostatic induction) genannt. Das Wort Influenz kommt von influere, dem lateinischen Wort für „beeinflussen“.
12.2.2 Ladungstrennung durch Influenz
Hat in einem Körper Ladungsverschiebung durch Influenz stattgefunden, kannst du den Metallkörper teilen (12.11) oder an einem der geladenen Enden Ladungen entnehmen oder aufbringen.
Auf diese Weise erhältst du zwei geladene Körper.
12.2.3 Ladungsverschiebung in Nichtmetallen
Nicht-leitende Festkörper werden als elektrische Isolatoren (engl. electrical insulator) bezeichnet. Sie sind so aufgebaut, dass sowohl die positiven Atomrümpfe, also auch die Außenelektronen ihren Platz im Atomgitter nicht verlassen können.
Wird ein elektrisch negativ geladener Körper wie in Bild 12.12 an einen Nichtleiter angenähert, werden die Atomkerne angezogen, die Elektronenhülle abgestoßen – die ursprünglich elektrisch neutralen Atome bilden atomare Dipole. Die Bildung von atomaren Dipolen wird elektrische Polarisation (engl. electrostatic polarization) genannt. Ungleichnamige Ladungen sind einander näher als gleichnamige Ladungen und es kommt zu einer anziehenden Kraft. Sie ist, verglichen mit der elektrischen Influenz, wesentlich kleiner. Das ist der Grund, warum zum Beispiel elektrisch geladene Luftballons an Wänden haften.
Manche Moleküle wie zum Beispiel das Wassermolekül bilden bereits einen elektrischen Dipol ohne Polarisation durch einen äußeren geladenen Körper (Bild 12.13) (permanenter Dipol). Sie richten sich in der Nähe eines geladenen Körpers aus. Die Ausrichtung von molekularen Dipolen wird Orientierungspolarisation genannt.
12.2.4 Elektroskop
Eines der einfachsten Geräte zum Nachweis elektrischer Ladungen ist das Elektroskop (engl. electroscope). Der Innenteil besteht aus einem Leiter. Am unteren Ende befindet sich entweder ein drehbar gelagerter metallischer Zeiger oder zwei dünne leitende Folien (Bild 12.14).
Wird ein positiv geladener Körper in die Nähe der oberen Metallkugel gebracht, werden durch Influenz Elektronen von dem unteren Teil des Elektroskops abgezogen. Die dort verbleibenden positiven Ladungen stoßen einander ab und es kommt zum Ausschlag. Da es bei der Annäherung eines negativ geladenen Körper ebenfalls zu einem Ausschlag kommt, kann mit einem Elektroskop nicht die Art der Ladung unterschieden werden.
Ein Elektroskop mit kalibrierter Skala, bei der du auch die Menge der Ladung ablesen kannst, wird Elektrometer genannt.
Links:
- Video: Elektroskop-Versuche
12.2.5 Influenzmaschinen
Als Influenzmaschinen werden Maschinen bezeichnet, die Ladungstrennung nur durch Influenz erzeugen. Die bekannteste Influenzmaschine ist die Influenzmaschine von Wimshurst (engl. Wimshurst machine, Bild 12.15).
Eine Influenzmaschine funktioniert im Groben folgendermaßen. Die beiden durchsichtigen Plastikscheiben drehen sich in entgegengesetzter Richtung. Dabei wandern die aufgeklebten Metallplättchen aneinander vorbei und influenzieren einander. Das tun sie deshalb, weil sie nie \(100\,\%\) elektrisch neutral sind. Dieses Ungleichgewicht wird durch das Drehen verstärkt.
Durch zwei schräg angebrachte Metallstangen (vorne / hinten) und den Bürsten an deren Enden (Neutralisatoren) können die influenzierten Ladungen abgeleitet werden. Die beiden flaschenförmigen Teile - links und rechts im Vordergrund - (Leidener Flaschen) sammeln die getrennten Ladungen. Wird der Ladungsunterschied zwischen ihnen zu groß, kommt es zu einer Entladung in Form eines Funkens (Bild 12.9 am Anfang des Kapitels).
Wenn alle Teile der Maschine zu Beginn ungeladen sind, kommt es nie zur Influenz. Damit die Maschine also funktioniert, muss mindestens eines der Plättchen elektrisch geladen sein. Meist ist durch den letzten Betrieb noch eine Restladung auf den Plättchen vorhanden. Wenn nicht, kann durch Reibungselektrizität ein Plättchen geladen werden.
Eine genauere Erklärung findest du im folgenden Video.
Links:
12.2.6 Beschreibung der elektrischen Kraft
Wie wir bereits in den Abschnitten über elektrische Influenz und Polarisation gesehen haben, können wir drei Eigenschaften der elektrischen Kraft festhalten:
- Es gibt anziehende und abstoßende elektrische Kräfte.
- Die elektrische Kraft nimmt mit zunehmender Entfernung der Ladungen ab.
- Je größer die Ladungsmenge, desto größer ist die Kraft.
Um 1800 wurde das Coulombsche Gesetz (engl. Coulomb’s law) zur Beschreibung der elektrischen Kraft zwischen zwei Ladungen von Charles-Augustin de Coulomb formuliert (Bild 12.16).
Es lautet:
| \[\begin{equation} F_C=k\cdot{\frac {Q_{1}\cdot Q_{2}}{r^{2}}} \tag{12.2} \end{equation}\] |
In dieser Formel bedeuten:
- \(F_C\) Coulomb Kraft (in \(\mathrm{N}\))
- \(Q_1\), \(Q_2\) Ladungen (in \(\mathrm{C}\))
- \(r\) Entfernung der Mittelpunkte der Ladungsmengen (in \(\mathrm{m}\))
- \(k\) die Coulomb-Konstante (\(9\cdot 10^{9}\,\frac{\textrm{N}\cdot\textrm{m}^2}{\textrm{C}^2}\))
Die Formel ist ähnlich aufgebaut wie das Gravitationsgesetz. Auch die elektrische Kraft ist proportional zu den beiden Ladungen und sie nimmt ebenfalls mit dem Quadrat ihres Abstandes (\(r^{2}\)) ab.
Jede Kraft hat eine Richtung. Die Formel oben liefert dir aber nur eine Zahl. Die Richtung der Kraft ist durch die Verbindungslinie der beiden Ladungen (Wirklinie) festgelegt. Ihre Orientierung ergibt sich aus dem Vorzeichen der Ladungen. Da sich gleichnamige Ladungen abstoßen, gilt für die Coulomb-Kraft:
- Ein positiver Wert (\(+\cdot+=+\) und \(-\cdot-=+\)) entspricht einer abstoßenden Kraft.
- Ein negativer Wert (\(+\cdot-=-\) und \(-\cdot+=-\)) entspricht einer anziehenden Kraft.
Links:
- Applet: Coulombsches Gesetz
12.2.7 Coulomb-Konstante
Die Größe der Coulomb-Konstante muss experimentell bestimmt werden. Dafür kann – wie zuvor bei der Bestimmung der Gravitationskonstante – eine Drehwaage verwendet werden. Statt Massen werden geladene Körper verwendet. Der Wert der Coulomb-Konstante ist extrem groß im Vergleich zur Gravitationskonstante! Sie hat den Wert:
\[\begin{equation} k = 9\cdot 10^{9}\,\frac{\textrm{N}\cdot\textrm{m}^2}{\textrm{C}^2} \tag{12.3} \end{equation}\]
Die Einheit der Coulomb-Konstante leitet sich direkt aus der Umformung des Coulombschen Gesetzes her.
\[ [k]= [F]\cdot\frac{[r]^2}{[Q_1]\cdot[Q_2]} = \textrm{N}\cdot\frac{\textrm{m}^2}{\textrm{C}\cdot\textrm{C}} = \frac{\textrm{N}\cdot\textrm{m}^2}{\textrm{C}^2} \]
In Formelsammlungen fehlt oft die Coulomb-Konstante. Du kannst sie dann mithilfe einer anderen Konstanten – der elektrischen Feldkonstante \(\varepsilon_{0}\) (engl. permittivity of free space) – berechnen. Die beiden Konstanten hängen über folgende Formel zusammen:
\[\begin{equation} k = \frac {1}{4\pi\varepsilon_{0}} \tag{12.4} \end{equation}\]
12.2.8 Coulombsches Gesetz in Vektorschreibweise
Die Formel
\[\begin{equation} \vec{F}_{12}=k\cdot\frac{Q_1\cdot Q_2}{|\vec{r}_{12}|^2}\cdot\frac{\vec{r}_{12}}{|\vec{r}_{12}|} \tag{12.5} \end{equation}\]
ist die vektorielle Form des Coulombschen Gesetzes. Du berechnest damit den elektrischen Kraftvektor \(\vec{F}_{12}\) – also die Kraft, welche die Ladung \(Q_1\) auf die Ladung \(Q_2\) ausübt. Dabei ist \(\vec{r}_{12}\) der Verbindungsvektor von der Ladung \(Q_1\) zu der Ladung \(Q_2\) (Bild 12.17).
Wie auch in der Vektorform des Gravitationsgesetzes ist der erste Teil der Formel derselbe Wert, den du bereits mit der nicht-vektoriellen Formel für das Coulombsche Gesetz ausgerechnet hast – sie entspricht einfach der Länge des Kraftvektors \(\vec{F}_{12}\).
Der letzte Faktor ist der Verbindungsvektor von Ladung \(Q_1\) zu Ladung \(Q_2\) dividiert durch seine Länge, also der Einheitsvektor (der Richtungsvektor \(\vec{r}_{12}\) auf die Länge eins normiert) – er legt die Richtung der Kraft fest, trägt aber nichts zur Stärke (Länge des Vektors) bei.
Als Kraft \(\vec{F}_{21}\) (vertauschte Indizes!) wird dann die elektrische Kraft bezeichnet, die Ladung \(Q_2\) auf die Ladung \(Q_1\) ausübt. In der Gleichung kannst du sehen, dass sich bei der Berechnung nur der Richtungsvektor (der letzte Faktor in der Gleichung) umkehrt. In Einklang mit dem Wechselwirkungsgesetz gilt:
\[ \vec{r}_{12} = -\vec{r}_{21} \qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21} \]
Setzt du die Ladungen immer mit dem richtigen Vorzeichen ein, werden anziehende und abstoßende Kräfte automatisch bei der Kraftrichtung berücksichtigt und du brauchst dich darum nicht mehr kümmern.
12.2.9 Elektrische Kraft bei mehr als zwei Ladungen
Das Coulombsche Gesetz beschreibt nur die Kräfte zwischen zwei geladenen Körpern. Befinden sich mehr als zwei geladene Körper in einer Ladungsanordnung, muss das Coulombsche Gesetz mehrmals, nämlich auf alle Ladungspaare, angewandt werden.
Sieh dir die Ladungskonfiguration in Bild 12.18 an. Sie besteht aus zwei negativen Ladungen (\(Q_1\) und \(Q_3\)) und einer positiven Ladung (\(Q_2\)). Um die elektrische Gesamtkraft \(\vec{F}_{3}\) auf die Ladung \(Q_3\) zu berechnen, musst du zunächst die Kraft \(\vec{F}_{13}\), also die Kraft, die die Ladung \(Q_1\) auf \(Q_3\) ausübt, berechnen. Dann berechnest du die Kraft \(\vec{F}_{23}\), also die Kraft, die die Ladung \(Q_2\) auf \(Q_3\) ausübt. Auf diese Weise erhältst du alle Teilkräfte, die auf die Ladung \(Q_3\) wirken. Die gesuchte Kraft \(\vec{F}_{3}\) ist die Vektorsumme aus den Teilkräften \(\vec{F}_{13}\) und \(\vec{F}_{23}\).
12.2.10 Rechenbeispiel zum Coulombschen Gesetz
Berechne das Verhältnis \(F_C : F_G\) von elektrischer Kraft und Gravitationskraft zwischen einem Proton und einem Elektron.
Zunächst scheint eine wichtige Information in der Angabe zu fehlen – die Entfernung der Teilchen. Schreibst du das Verhältnis allgemein an, siehst du, dass das Verhältnis unabhängig vom jeweiligen (gleichen) Abstand ist.
\[\begin{align} F_C:F_G = {} & \left(k\cdot\frac{Q_1\cdot Q_2}{r^2}\right) : \left(G\cdot\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\right) \notag \\ = {} & \left(k\cdot Q_1\cdot Q_2\right) : \left(G\cdot m_1\cdot m_2\right) \notag \\ = {} & \frac{k\cdot Q_1\cdot Q_2}{G\cdot m_1\cdot m_2} \notag \\ \end{align}\]
Sowohl die Gravitationskraft als auch die elektrische Kraft zwischen Elektron und Proton sind anziehend. Wir werden daher die Vorzeichen der Ladungen bei der Berechnung weglassen. Sowohl Proton (\(m_p=1{,}7\cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg}\)) als auch Elektron (\(m_e=9{,}1\cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg}\)) besitzen eine Ladung von einer Elementarladung (\(e=1{,}6\cdot 10^{-19}\;\mathrm{C}\)) (siehe die Liste mit physikalischen Konstanten). Für das Verhältnis erhältst du:
\[\begin{align} F_C:F_G = {} & \frac{k\cdot Q_1\cdot Q_2}{G\cdot m_1\cdot m_2} \notag \\ = {} & \frac{k\cdot e\cdot e}{G\cdot m_p\cdot m_e} \notag \\ = {} & \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}} \notag \\ = {} & \frac{2{,}304\cdot 10^{-28}}{1{,}03\ldots\cdot 10^{-67}} \notag \\ = {} & 2{,}23\ldots\cdot 10^{39} \notag \\ \end{align}\]
Das Verhältnis beider Kräfte ist eine unglaublich große Zahl. Wirken elektrische Kräfte zwischen Elementarteilchen, ist die Gravitationskraft zwischen ihnen stets unbedeutend klein und sie muss in Berechnungen nicht berücksichtigt werden.