2.4.1 Vorsätze (Vorsilben) für Maßeinheiten

Damit sich sehr große und kleine Zahlen leichter lesen und schreiben lassen, werden in der Wissenschaft Vorsätze (Vorsilben) (engl. prefix) verwendet. Ein Vorsatz ist nichts anderes als eine Abkürzung für eine fixe Zahl, so wie die Bezeichnung „ein Dutzend“ für die Zahl 12 steht. Die häufigsten Vorsätze sind:

Vielleicht merkst du dir die Namen und Werte der Vorsätze leichter, wenn du ihre Wort-Herkunft kennst:

• Der Vorsatz kilo- (\(10^{3}\)) leitet sich vom griechischen Wort χίλιοι (chílioi) ab und bedeutet „tausend“, während milli- (\(10^{-3}\)) vom lateinischen Wort millesimus stammt und „der tausendste“ bedeutet.

• Die Gegensätze mega- (\(10^{6}\)) und mikro- (\(10^{-6}\)) kommen von den griechischen Wörtern μέγας (mégas) für „groß“ und μικρός (mikrós) für „klein“.

• Die Gegensätze giga- (\(10^{9}\)) und nano- (\(10^{-9}\)) kommen von den griechischen Wörtern γίγας (gígas) für „Riese“ und νάνος (nános) für „Zwerg“.

In der Wikipedia findest du eine vollständige Liste aller Vorsätze (Vorsilben) und ihrer Zahlenwerte.

2.4.2 Rechnen mit Vorsätzen (Vorsilben)

Willst du einen Wert ohne Vorsatz (Vorsilbe) anschreiben, ersetze den Buchstaben durch die Zahl, für die der Vorsatz steht. Hier einige Beispiele:

• \(0{,}2\;\mathrm{km} = 0{,}2\cdot 1000\;\mathrm{m} = 200\;\mathrm{m}\)
• \(500\;\mathrm{ms} = 500\cdot 0{,}001\;\mathrm{s} = 0{,}5\;\mathrm{s}\)

Willst du umgekehrt einen Wert mit einem Vorsatz anschreiben, spalte zunächst die entsprechende Zehnerpotenz von der Zahl ab. Jetzt ersetzt du die Zehnerpotenz durch den Buchstaben des Vorsatzes. Hier einige Beispiele:

• \(60\,000\,000\;\mathrm{Pa} = 60\cdot 1\,000\,000\;\mathrm{m} = 60\cdot 10^6\;\mathrm{m} = 60\;\mathrm{MPa}\)
• \(0{,}008\;\mathrm{N} = 8\cdot 0{,}001\;\mathrm{N} = 8\cdot 10^{-3}\;\mathrm{N} = 8\;\mathrm{mN}\)
• \(35\,400\,000\,000\;\mathrm{J} = 35{,}4\cdot 1\,000\,000\,000\;\mathrm{J} = 35{,}4\cdot 10^9\;\mathrm{J} = 35{,}4\;\mathrm{GJ}\)

Üblicherweise wird der Vorsatz so immer gewählt, dass die Zahl davor einen Wert zwischen \(1\) und \(999{,}9\) hat, also zum Beispiel:

• \(200\;\mathrm{nm}\) (aber nicht \(0{,}2\;\mathrm{\mu m}\))
• \(30\;\mathrm{MW}\) (aber nicht \(0{,}03\;\mathrm{GW}\))
• \(7\;\mathrm{GW}\) (aber nicht \(7000\;\mathrm{MW}\))

Da Vorsätze nichts anderes als Stellvertreter für eine Zahl sind, kannst du sie selbstverständlich auch kürzen wie eine Zahl.

\[ \displaystyle \frac{ 1\;\mathrm{MJ} }{ 4\;\mathrm{Ms} } = \frac{ 1\;\mathrm{\cancel{M}J} }{ 4\;\mathrm{\cancel{M}s} } = \frac{ 1\;\mathrm{J} }{ 4\;\mathrm{s} } = 0{,}25\;\mathrm{J/s} \]

2.4.3 Wissenschaftliche Notation

Eine andere Möglichkeit, Nullen bei großen und kleinen Zahlen zu vermeiden, ist die wissenschaftliche Notation (engl. scientific notation). Dabei wird die Zahl so geschrieben, dass immer nur eine, von null verschiedene Ziffer, vor dem Komma steht und die Stellen werden durch eine entsprechende Zehnerpotenz (engl. power of 10) angeschrieben. Zum Beispiel:

• Atomradius eines Wasserstoffatoms: \(5{,}9\cdot 10^{-11}\;\mathrm{m}\) (\(=0{,}000\,000\,000\,059\;\mathrm{m}\))
• Durchmesser der Milchstraße: \(1{,}04068\cdot 10^{21}\;\mathrm{m}\) (\(=1\,040\,680\,000\,000\,000\,000\,000\;\mathrm{m}\))

Willst du einen Wert in die wissenschaftliche Notation umwandeln, bedenke, dass im Dezimalsystem folgendes gilt:

• Die Multiplikation einer Zahl mit 10 entspricht dem Verschieben des Kommas um eine Stelle nach rechts (die Einerstelle wird zur Zehnerstelle, die Zehnerstelle zur Hunderterstelle und so weiter).

• Die Division einer Zahl durch 10 entspricht dem Kommaverschieben um eine Stelle nach links (die Einerstelle wird zur Zehntelstelle, die Zehnerstelle zur Einerstelle und so weiter).

Damit ist die Anzahl der Stellen, um die das Komma verschoben wurde gleich der Hochzahl der Zehnerpotenz. Bei großen Zahlen größer als 9 erhältst du einen positiven Exponenten und bei Zahlen kleiner als 1 einen negativen Exponenten.

2.4.4 E-Schreibweise

Da hochgestellte Exponenten (wie zum Beispiel in \(10^7\)) auf einer Anzeige nicht immer dargestellt werden können, verwenden die meisten Taschenrechner und viele Computerprogramme die E-Schreibweise (engl. e-notation) zur Darstellung von Zahlen in wissenschaftlicher Notation. In Bild 2.20 siehst du die Ausgabe der Avogadro-Zahl auf dem einzeiligen Display eines Taschenrechners. Dabei steht das E (oder e) für „mal zehn hoch“ und trennt die Mantisse von dem Exponenten.

Bild 2.20: Avogadro-Konstante in E-Schreibweise

Wissenschaftliche Taschenrechner haben eine eigene Taste für die Eingabe einer Zahl in E-Notation. Je nach Hersteller und Modell unterscheidet sich die Bezeichnung dieser Taste. In der Regel hat sie die Aufschrift \(\boxed{\text{EE}}\), \(\boxed{\text{EX}}\), \(\boxed{\text{EXP}}\), \(\boxed{\text{E}}\) oder \(\boxed{\times10^n}\) (Bild 2.21).

Bild 2.21: Taste für die E-Notation auf üblichen Taschenrechnern

Die E-Notation erleichtert dir nicht nur die Eingabe von Zahlen in wissenschaftlicher Notation, sondern hilft dir auch Fehler bei der Rechnung zu vermeiden, die durch fehlende Klammern entstehen können.

Vorsicht: Das Zeichen E in der E-Notation hat nichts mit der Eulerschen Zahl \(e\) oder der Exponentialfunktion \(\exp(x)\) zu tun, für die es ebenfalls Tasten auf deinem Taschenrechner geben könnte!