10.4 Sphärische Spiegel

Gekrümmte Spiegel kennt man mindestens seit der Antike. Angeblich soll schon Archimedes von Syrakus die angreifende römische Flotte mit einem solchen Spiegel in Brand gesetzt haben.

Obwohl diese Geschichte vermutlich nicht wahr ist, werden gekrümmte Spiegel bis heute verwendet. Für Kosmetik- oder Verkehrsspiegel, aber auch in der Wissenschaft und der Kunst.

Detail des Atomiums

Bild 10.30: Detail des Atomiums

In Bild 10.30 siehst du eine der neun verspiegelten Kugeln des Atomiums in Brüssel. Das Bauwerk symbolisiert das Kristallgitter von Eisen. Wie du sehen kannst, erzeugt ein gekrümmter Spiegel – im Gegensatz zu ebenen Spiegeln (10.3) – immer ein verzerrtes Bild seiner Umwelt!

10.4.1 Geometrie eines sphärischen Spiegels

Schneidest du von einer Kugelschale ein Stück ab, erhältst du eine Kugelkalotte – die Form eines sphärische Spiegels (Bild 10.31).

sphärischen Spiegel als Teil einer Kugel

Bild 10.31: sphärischen Spiegel als Teil einer Kugel

Die Krümmung ist auf der gesamten Oberfläche gleich groß. Der Mittelpunkt der Kugelschale ist der Krümmungsmittelpunkt \(M\). Die Gerade durch Krümmungsmittelpunkt und Mittelpunkt der Spiegel (Scheitel) wird optische Achse \(a\) (engl. optical axis) genannt.

Je nachdem, welche Seite der Kugelkalotte verspiegelt wird, entsteht ein

  • Sammelspiegel: Innenseite verspiegelt; konkav (nach innen gewölbt, daher „zieht den Bauch ein“)
  • Zerstreuungsspiegel: Außenseite verspiegelt; konvex (nach außen gewölbt)

10.4.2 Reflexionsgesetz für gekrümmte Oberflächen

Wie beim ebenen Spiegel gilt auch bei gekrümmten Spiegeln das Reflexionsgesetz (10.3.1). Bei einem gekrümmten Spiegel steht das Lot dabei jeweils normal auf die Tangentefläche der Spiegelfläche.

Reflexion bei einem sphärischen Spiegel

Bild 10.32: Reflexion bei einem sphärischen Spiegel

Bei sphärischen Spiegeln ist die Konstruktion eines Lots besonders einfach: Da jeder Radius normal auf die Kugeloberfläche steht, ist das Lot einfach der Radius durch den Kurvenpunkt (Bild 10.32).

10.4.3 Hauptstrahlen

Betrachtest du dich in einem gekrümmten Spiegel siehst du (verzerrt) dich und deine Umgebung. Um das entstehende Bild eines Objekts im Spiegel zu konstruieren, gehen wir so wie beim ebenen Spiegel vor. Von einem Objektpunkt zeichnen wir den Strahlenverlauf von mindestens zwei Strahlen und wo sich die reflektierten Lichtstrahlen (oder ihre gedachte Verlängerung) treffen erhalten wir den Bildpunkt. So wie beim ebenen Spiegel können wir die zwei Strahlen aus einer unendlichen Anzahl von möglichen Strahlen auswählen. Dabei gibt es jedoch ein paar besondere Lichtstrahlen, die besonders einfach zu konstruieren sind. Diese sogenannten Hauptstrahlen werden wir in Zukunft zur Bildkonstruktion verwenden.

Hauptstrahlen beim sphärischen Spiegel

Bild 10.33: Hauptstrahlen beim sphärischen Spiegel

  • Parallelstrahlen (engl. incident ray) verlaufen parallel zur optischen Achse und werden durch den Brennpunkt (Fokus, engl. focal point) \(F\), dem Mittelpunkt zwischen Krümmungsmittelpunkt \(M\) und Spiegelmitte \(S\), reflektiert (Bild 10.33, orange).

  • Brennpunktstrahlen (oder Brennstrahlen) verlaufen durch den Brennpunkt. Entsprechend dem Prinzip der Strahlenumkehr (10.3.2) verläuft der reflektierte Strahl parallel zur optischen Achse (Bild 10.33, rot).

  • Mittelpunktstrahlen verlaufen durch den Krümmungsmittelpunkt \(M\) des sphärischen Spiegels. Diese Strahlen verlaufen entlang der Radien. Da dort Tangente und Radius aber immer normal auf einander stehen, fallen Strahl, Lot und reflektierter Stahl zusammen (Bild 10.33, blau).

  • Scheitelstrahlen verlaufen durch den Schnittpunkt der optischen Achse und dem sphärischen Spiegels. Für diese Strahlen ist die optische Achse gleich dem Lot. Der reflektierte Strahl entspricht dem an der optischen Achse gespiegelten einfallenden Strahl (Bild 10.33, grün).

Alle Hauptstrahlen kannst du zeichnen, ohne dass du vorher die Tangente oder das Lot konstruieren musst!

10.4.4 Bilder beim sphärischen Sammelspiegel

Je nach der Position des Gegenstandes lassen sich beim sphärischen Sammelspiegel (engl. concave mirror) unterschiedliche Bilder unterscheiden (Bild 10.34).

Synthese einer Schwingung nach Fourier

Bild 10.34: Synthese einer Schwingung nach Fourier

Befindet sich der Gegenstand zwischen Brennpunkt \(F\) und Scheitel \(S\)innerhalb der einfachen Brennweite – entstehen divergente Strahlen und das Bild ist

  • virtuell
  • aufrecht
  • vergrößert

Befindet sich der Gegenstand zwischen Mittelpunkt \(M\) und Brennpunkt \(F\)zwischen einfacher und doppelter Brennweite – entstehen konvergente Strahlen und das Bild ist

  • reell
  • verkehrt
  • vergrößert

Befindet sich der Gegenstand in einer Entfernung größer als der Spiegelradius – außerhalb der doppelten Brennweite) entstehen ebenfalls konvergente Strahlen und das Bild ist

  • reell
  • verkehrt
  • verkleinert

Befindet sich der Gegenstand exakt im Brennpunkt \(F\) erhältst du kein Bild. Befindet sich der Gegenstand exakt im Mittelpunkt \(M\) sind Gegenstand und Bild gleich groß.

10.4.5 Bilder beim sphärischen Zerstreuungsspiegel

Synthese einer Schwingung nach Fourier

Bild 10.35: Synthese einer Schwingung nach Fourier

Beim sphärischen Zerstreuungsspiegel (engl. convex mirror) entstehen stets divergente Strahlen (Bild 10.35) und das Bild ist immer

  • virtuell
  • aufrecht
  • verkleinert

10.4.6 Virtuelle Bilder

Was genau ist ein virtuelles Bild (engl. virtual image) eines Gegenstandes? In Bild 10.36 siehst du was passiert, wenn divergente Strahlen in dein Auge fallen. Die Linse deines Auges macht aus den divergenten Strahlen, die von dem Spiegel kommen, konvergente Strahlen die einen Punkt des Gegenstands auf der Netzhaut scharf abbilden. Du siehst also die Kerze.

Virtuelles Bild durch ein Auge gesehen

Bild 10.36: Virtuelles Bild durch ein Auge gesehen

Fängst du aber die divergenten Lichtstrahlen eines Gegenstandes auf einer Leinwand auf, wird die Leinwand zwar hell, weil die Lichtstrahlen auftreffen, aber es kann kein Bild entstehen, weil sich die Lichtstrahlen eines Punktes nicht in einem Punkt wieder vereinigen (Bild 10.37). Ein virtuelles Bild kann also nicht projiziert werden.

Virtuelles Bild auf eine Leinwand projiziert

Bild 10.37: Virtuelles Bild auf eine Leinwand projiziert

10.4.7 Reelle Bilder

Im Gegensatz zu einem virtuellen Bild, kannst du ein reelles Bild (engl. real image) auf eine Leinwand projizieren, da sich die konvergenten Strahlen in einem Punkt vereinigen und dort den Gegenstandspunkt scharf abbilden (Bild 10.38).

Reelles Bild auf eine Leinwand projiziert

Bild 10.38: Reelles Bild auf eine Leinwand projiziert

Ein reelles Bild kann – ebenso wie ein virtuelles Bild – von unseren Augen gesehen werden (Bild 10.39)

Reelles Bild durch ein Auge gesehen

Bild 10.39: Reelles Bild durch ein Auge gesehen

10.4.8 Sphärische Aberration

Bei Spiegeln (und auch bei Linsen) werden meist kugelförmigen Oberflächen verwendet, weil diese relativ leicht herzustellen sind. In den Bilder 10.34 und 10.35 haben wir geschummelt! Der tatsächliche Krümmungsmittelpunkt des Spiegels befindet sich sehr viel weiter weg als der eingezeichnete Mittelpunkt. Denn nicht alle Parallelstrahlen werden durch den Brennpunkt reflektiert!

Lichtstrahlen parallel zur optischen Achse

Bild 10.40: Lichtstrahlen parallel zur optischen Achse

In Bild 10.40 siehst du den Vergleich von parallel einfallenden Strahlen: Strahlen nahe der optischen Achse werden recht gut im Brennpunkt reflektiert (a), während achsenferne Stahlen nicht mehr durch den Brennpunkt verlaufen (b). Der Abbildungsfehler ist daher umso kleiner,

  • je größer Spiegelradius ist, beziehungseise
  • je näher die Strahlen an der optischen Achse verlaufen

und entsprechend schärfer ist das entstehende Bild. Diese Abweichung von der Idealvorstellung nennt man sphärische Aberration (engl. spherical aberration).

Die durch die sphärische Aberration bei kleinen Radien entstehende Brennfläche nennt man Katakaustik (engl. caustic). Du kannst sie an runden Flächen im Freien beobachten (Bild 10.41).

Katakaustik bei einem Goldring

Bild 10.41: Katakaustik bei einem Goldring