10.6 Reibungsfreie Strömungen

In diesem Kapitel werden wir uns mit waagrecht strömenden Fluiden (Flüssigkeiten und Gase) beschäftigen. Wir setzen dabei voraus, dass es zu keiner Reibung – weder zwischen den Fluid-Teilchen, noch zwischen Fluid-Teilchen noch den Gefäßwänden – kommt. Des weiteren nehmen wir an, dass die strömenden Fluide inkompressible sind – daher ihre Dichte sich nicht ändert. Diese Annahme trifft selbst für Gase bei alltäglichen Strömungsgeschwindigkeiten zu.

Pitot-Sonde an einem Hubschrauber

Bild 10.36: Pitot-Sonde an einem Hubschrauber

Vielleicht hast du schon einmal die seltsamen Rohre (Bild 10.36) an Flugzeugen oder Hubschraubern gesehen. Einige sind zum Betanken in der Luft vorgesehen. Die meisten Rohre haben aber eine ganz andere Aufgabe, die du weiter unter erfährst…

10.6.1 Stationäre Strömungen

Bringt man Glitter oder andere kleine leichte Teilchen in eine Flüssigkeit, kann man die Bewegung der Flüssigkeits-Teilchen sichtbar machen. Im einfachsten Fall entdeckst du eine stationäre Strömung (engl. steady flow). Wählst du eine beliebige Stelle in einer stationären Strömung, ist die Geschwindigkeit dort zu allen Zeiten gleich groß. Die Strömungsgeschwindigkeit ist also nur vom Ort, nicht aber von der Zeit abhängig.

Stromlinien einer stationären Strömung

Bild 10.37: Stromlinien einer stationären Strömung

Eine stationäre Strömungen kann durch ein Stromlinienbild dargestellt werden. Die Stromlinien zeigen dabei die Bahnen der Fluid-Teilchen. Alle Stromlinien zusammen ergeben das Strömungsfeld eine Fluids (Bild 10.37).

Der an einem bestimmten Punkt im Strömungsfeld herrschende Druck heißt stationärer Druck \(p_stat\).

10.6.2 Volumenstrom

Da bei einer stationären Strömung die Geschwindigkeit \(v\) an einem Ort immer gleich ist, strömt in einem Rohr pro Sekunde immer dasselbe Fluidvolumen \(V\) durch einen Rohrquerschnitt \(A\). Diese Größe wird Volumenstrom (engl. volumetric flow rate) genannt.

Volumenstrom durch Querschnitt A

Bild 10.38: Volumenstrom durch Querschnitt A

Betrachte die Zeichnung 10.38. Die Ebene deutet die Querschnittsfläche zum Zeitpunkt Null an. Nach einer Zeit \(\Delta t\) hat sich die Querschnittsfläche \(A\) um den Weg \(\Delta s = v\cdot \Delta t\) weiterbewegt. Das durch den Querschnitt geströmte Volumen entspricht dem Zylindervolumen \(A\cdot \Delta s\).

\[ I_V = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{A\cdot \Delta s}{\Delta t} = A\cdot \frac{\Delta s}{\Delta t} = A\cdot v \]

10.6.3 Kontinuitätsgleichung

In einer stationären Strömung muss der Volumenstrom an jeder Stelle in einem Rohr gleich groß sein. Wäre das nicht der Fall – würde es zum Beispiel an einer Engstelle zu einem Stau kommen – könnten die nachfolgenden Teilchen nicht nachrücken und wir hätten keine stationäre Strömung mehr. Ganz ähnlich ist die Situation bei einem Verkehrsstrom auf einer mehrspurigen Straße, bei der eine oder mehrere Spuren gesperrt wurden.

Volumenstrom bei einer Engstelle

Bild 10.39: Volumenstrom bei einer Engstelle

Ändert sich bei einer stationären Strömung der Rohrquerschnitt gilt die Kontinuitätsgleichung (engl. continuity equation). Die beiden Zylinder in Bild 10.39 müssen also immer dasselbe Volumen haben. Mit der Formel für den Volumenstrom (10.6.2) gilt

\[ \begin{aligned} I_{V_1} = {} & I_{V_2} \\ \frac{\Delta V_1}{\Delta t}= {} & \frac{\Delta V_2}{\Delta t} \\ A_1\cdot v_1 = {} & A_2\cdot v_2 \\ \end{aligned} \]

Wird der Rohrquerschnitt kleiner, muss sich dort die Strömungsgeschwindigkeit erhöhen, um eine stationäre Strömung zu ermöglichen.

Für das Strömungsfeld gilt: Je dichter die Stromlinien in einem Stromlinienbild liegen, desto größer ist an dieser Stelle die Strömungsgeschwindigkeit.

10.6.4 Hydrodynamisches Paradoxon (Bernoulli-Effekt)

Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass die Geschwindigkeit von Fluiden an Engstellen größer ist als an weiten Stellen. Daraus folgt, dass die Fluid-Teilchen am Eingang einer Verengung beschleunigt werden. Damit der Fluidzylinder (Bild 10.40) beschleunigt werden kann, muss die Kraft auf die linke Stirnfläche größer sein, als die Kraft auf die rechte Stirnfläche. Und daraus folgt, dass der Druck auf die rechte Stirnfläche und damit an der gesamten Engstelle kleiner sein muss als im weiten Teil.

Kräfte auf einen Fluidzylinder beim Eintritt in eine Verengung

Bild 10.40: Kräfte auf einen Fluidzylinder beim Eintritt in eine Verengung

Da an einer Engstelle weniger Platz ist, vermutet die meisten Menschen, dass sich an diesen Stellen der Druck erhöht. Tatsächlich sinkt an Engstellen der Druck. Zu Ehren des Schweizer Mathematikers und Physikers Daniel Bernoulli spricht man vom Bernoulli-Effekt (engl. Bernoulli’s principle). Weil dieser Effekt doch recht überraschend ist, nennt man ihn auch hydrodynamisches Paradoxon.

Als Radfahrer hast du den Bernoulli-Effekt vielleicht schon erlebt. Wenn dich ein Auto knapp überholt spürst du den Unterdruck deutlich bei der Vorbeifahrt des Autos. Weder in Deutschland noch in Österreich ist ein gesetzlicher Mindestabstand beim Überholen von Radfahrern im Gesetz festgelegt. In Fahrschulen wird die Daumenregel von „1m + 1cm pro Fahrgeschwindigkeit“ angegeben, also zum Beispiel \(1{,}5\;\mathrm{m}\) bei \(50\;\mathrm{km/h}\) des Autos.

Dasselbe gilt auch beim Überholen von Schiffen auf Parallelkurs. Ist der seitliche Abstand zu klein kann es durch den Bernoulli-Effekt zu Zusammenstößen kommen.

10.6.5 Venturirohr

Das sogenannten Venturirohr (engl. venturi tube) (Bild 10.41) ist eine einfache Anordnung um das Hydrodynamisches Paradoxon (Bernoulli-Effekt) zu zeigen.

Druckdifferenz beim Venturirohr

Bild 10.41: Druckdifferenz beim Venturirohr

Bei dem Venturirohr sind die Stellen mit unterschiedlichem Querschnitt (1 und 2) mit einem U-förmigen Rohr verbunden. Befindet sich eine Flüssigkeit in dem U-Rohr und strömt ein Gas durch das Venturirohr wird die Druckdifferenz (3) sichtbar.

Links:

10.6.6 Staudruck

Als Staupunkte (engl. stagnation point) bezeichnet man die Punkte im Strömungsfeld eines Fluids, an denen die Fluid-Teilchen auf die Geschwindigkeit Null abgebremst werden. An diesen Stellen kommt es durch das Abbremsen (negative Beschleunigung) und der damit verbundene Kraft zu einem Druckanstieg, dem sogenannten Staudruck (engl. stagnation pressure).

Bestimmung des Staudrucks einer Gasströmung

Bild 10.42: Bestimmung des Staudrucks einer Gasströmung

Eine Möglichkeit den Staudruck zu messen ist das Pitotrohr (engl. pitot tube) (Bild 10.42). Am Staupunkt (1) herrscht der Gesamtdruck (Umgebungsdruck plus Staudruck). An der Öffnung (2) herrscht nur der Umgebungsdruck. Der in (3) gemessene Druckunterschied muss daher dem Staudruck entsprechen. Der Staudruck ist ein Maß für die Strömungsgeschwindigkeit. Außerdem zeigt das Pitot-Rohr den Staudruck unabhängig vom Umgebungsdruck an. Daher ist es eine sehr einfache Möglichkeit – unabhängig von der Flughöhe – die Reisegeschwindigkeit von Flugzeugen (relativ zur umgebenden Luft) zu messen.