14.10 Thermisches Verhalten von Gasen
Gas ist Materie in einem verdünnten Zustand. In diesem Zustand sind zum Beispiel die Molekülkräfte zwischen den Teilchen sehr klein oder die Größe der Teilchen spielt kaum eine Rolle. Für so ein ideales Gas ist die Beschreibung des thermischen Verhaltens – der Zusammenhang zwischen den makroskopischen Eigenschaften Volumen, Temperatur und Druck – besonders einfach.
In Bild 14.64 siehst du eine Gasflasche. Erwärmst du den Gaszylinder, erhöhst du die Temperatur des Gases. Dabei ändert sich auch der Druck des Gases, während das Volumen – aufgrund des geschlossenen Behälters – unverändert bleibt.
In diesem Kapitel untersuchen wir solche Prozesse. Der Einfachheit halber lassen wir zunächst immer eine der Größen konstant und untersuchen die Abhängigkeit der beiden restlichen Größen. Das führt und schließlich zum idealen Gasgesetz.
14.10.1 Ideale Gase
Das Modell des idealen Gases (engl. ideal gas) setzt folgende vereinfachende Annahmen voraus:
Der Abstand der Gasmoleküle ist groß, verglichen mit der Molekülgröße. Das Volumen der Moleküle muss nicht berücksichtigt werden.
Alle Zusammenstöße von Molekülen mit anderen Molekülen und mit der Wand sind vollkommen elastische Stöße. Während eines Stoßes bleibt \(E_\text{kin}\) erhalten.
Alle Molekularkräfte zwischen den Molekülen sind vernachlässigbar.
Praktisch alle Gase verhalten sich bei geringem Druck (\(<100\;\mathrm{bar}\)) und hoher Temperatur (\(>200\;\mathrm{K}\)) wie ein ideales Gas. Insbesondere verhält sich Luft bei Normalbedingungen wie ein ideales Gas.
14.10.2 Isobare Zustandsänderung eines idealen Gases
Bei der isobaren Zustandsänderung (engl. isobaric process) wird das Gasvolumen auf konstanten Druck gehalten. Das kann zum Beispiel durch einen (reibungsfrei) beweglichen Kolben mit einer bestimmten Masse erreicht werden (Bild 14.65). Das Gas kann sein Volumen ändern, aber die immer gleiche Gewichtskraft des Kolbens sorgt für einen konstanten Druck.
Bei einer Temperaturänderung entsteht eine Kurve wie in Bild 14.66.
Die Form ist eine Gerade. Daher gilt:
\[ \frac{V}{T} = \mathrm{konstant} \]
Wiederholst du das Experiment mit derselben Gasmenge bei unterschiedlichen Drücken (\(p_1 <p_2 <p_3\)), erhältst du unterschiedliche Steigungen.
Dieser Zusammenhang wird auch als Gesetz von Gay-Lussac (engl. Charles’s law) bezeichnet.
14.10.3 Isochore Zustandsänderung eines idealen Gases
Bei der isochoren Zustandsänderung (engl. isochoric process) wird das Gasvolumen durch einen verschlossenen Behälter konstant gehalten. Bei einer Temperaturänderung entsteht eine der Kurven in Bild 14.67.
Die Form ist eine Gerade. Daher gilt:
\[ \frac{p}{T} = \mathrm{konstant} \]
Wiederholst du das Experiment mit derselben Gasmenge bei unterschiedlichen Volumen (\(V_1 <V_2 <V_3\)), erhältst du unterschiedliche Steigungen.
Dieser Zusammenhang wird auch als Gesetz von Amontons (engl. Gay-Lussac’s law. Vorsicht: Während im Deutschen der Zusammenhang bei der isobaren Zustandsänderung als Gesetz von Gay-Lussac bezeichnet wird, ist im Englischen der Zusammenhang bei der isochoren Zustandsänderung mit diesem Namen gemeint.)
14.10.4 Isotherme Zustandsänderung eines idealen Gases
Bei der isothermen Zustandsänderung (engl. isothermal process) wird das Gasvolumen durch ein umgebendes Wärmebad auf einer konstanten Temperatur gehalten. Änderst du langsam das Volumen, hat das Gas Zeit, durch Wärmetransport über die Gefäßwände seine Temperatur an die des Wärmebades anzugleichen und du erhältst du eine der Kurven in Bild 14.68.
Die Form der Kurve entspricht einem Hyperbelast. Für Druck und Volumen gilt daher:
\[ p \cdot V = \mathrm{konstant} \]
Wiederholst du das Experiment mit derselben Gasmenge bei unterschiedlichen Temperaturen (\(T_1 <T_2 <T_3\)) erhältst du unterschiedliche Hyperbeläste.
Dieser Zusammenhang wird auch als Gesetz von Boyle-Mariotte (engl. Boyle’s law) bezeichnet.
14.10.5 Ideales Gasgesetz
Setzen wir die Erkenntnisse aus der isochoren, isobaren und isothermen Zustandsänderung zusammen, erhalten wir den Zusammenhang:
\[ \frac{p\cdot V}{T} = \mathrm{konstant} \]
Durch die Messung der konkreten Werte im Experiment erhältst du das ideale Gasgesetz (engl. ideal gas law):
\[ \frac{p\cdot V}{T} = N\cdot k \]
In dieser Gleichung steht \(N\) für die Anzahl der Gasteilchen (in Stück, also eine dimensionslose Zahl). Die Konstante \(k\) ist für alle Gase gleich und hat den Wert:
\[ k = 1{,}4\cdot 10^{-23}\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}} \]
Sie wird zu Ehren von Ludwig Boltzmann, der maßgeblich an der Entwicklung der mikroskopischen Beschreibung thermischer Phänomene beteiligt war, Boltzmann-Konstante genannt.
14.10.6 Ideales Gasgesetz für die Stoffmenge
Weil die Anzahl der Gasteilchen für alltägliche Volumen eine so große Zahl ist, gibt es noch eine zweite, gleichwertige Form der idealen Gasgleichung. Sie lautet:
\[ \frac{p\cdot V}{T} = n\cdot R \]
In dieser Formel steht \(n\) für die Stoffmenge (Einheit \(\mathrm{mol}\)) und \(R\) für die universelle Gaskonstante (engl. ideal gas constant). Ihren Wert erhältst du als Produkt aus Boltzmann-Konstante und Avogadro-Konstante:
\[ R = k \cdot N_A =1{,}4\cdot 10^{-23}\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}} \cdot 6\cdot 10^{23}\;\frac{1}{\mathrm{mol}} = 8{,}3\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\cdot K}} \]
14.10.7 p-V-T-Diagramm für ideale Gase
Das ideale Gasgesetz beschreibt in einem dreidimensionalen p-V-T-Diagramm die gekrümmte hellgraue Fläche in Bild 14.69. Eine beliebige Zustandsänderung eines Gases entspricht immer einer Kurve auf dieser gekrümmten Fläche.
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Die Zustandsänderungen für jeweils eine konstant gehaltene Größe kannst du als Projektionen entlang der Achsen erkennen:
- isobare Zustandsänderungen entlang der p-Achse (grünes Diagramm unten)
- isochore Zustandsänderungen entlang der V-Achse (blaues Diagramm rechts)
- isothermen Zustandsänderungen zusammen entlang der T-Achse (rotes Diagramm links)
14.10.8 Thermisches Verhalten von reale Gasen
Das ideale Gasgesetz ist erstaunlich einfach. Es hängt weder von der Art der jeweiligen Gasteilchen ab, noch von der Masse der einzelnen Gasteilchen.
Erst bei niedrigen Temperaturen und großen Drücken weicht das ideale Gasgesetz immer mehr von den tatsächlichen Werten ab. Alle Gase, die sich nicht nach dem idealen Gasgesetz verhalten, werden reale Gase genannt. Bei diesen Bedingungen kann das Eigenvolumen der Gasteilchen (Kovolumen) nicht mehr vernachlässigt werden und auch die Van-der-Waals-Kräfte zwischen den Gasteilchen spielt eine immer größere Rolle. In diesem Fall muss die Van-der-Waals-Gleichung oder ähnliche Gleichungen für die Berechnung verwendet werden.
