11.11 Kinetische Gastheorie

Bisher haben wir ein Gas immer makroskopisch behandelt und uns Druck, Temperatur und Volumen angesehen. Außerdem haben wir schon mehrmals erwähnt, dass es einen Zusammenhang zwischen innerer Energie und Temperatur gibt. In diesem Kapitel werden wir uns mit den mikroskopischen Eigenschaften der Gasteilchen (Masse und kinetische Energie) beschäftigen und den Zusammenhang mit den makroskopischen Größen zeigen.

In Bild 11.60 siehst du das Modell eines Gases. Die Teilchen bewegen sich in zufällige Richtungen und mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten (Die Farbe der Gasteilchen in dem Bild hat keine Bedeutung und soll dir nur helfen die Bewegung des Gasteilchen zu verfolgen).

Modell eines Gasvolumens (Farbe ohne Bedeutung)

Bild 11.60: Modell eines Gasvolumens (Farbe ohne Bedeutung)

In einem Liter Luft bei Normalbedingungen befinden sich rund \(10^{22}\)(!) Luftteilchen. Daher können wir nicht mehr nur mit einzelnen Teilchen rechnen, sondern müssen die Statistik zu Hilfe nehmen. Der Teil der Mechanik, der physikalische Größen einer große Anzahl von Teilchen mit statistischen Mitteln beschreibt, heißt Statistische Mechanik.

11.11.1 Mittlere kinetische Energie und Druck

Stell dir ein Gas in einem geschlossenen Volumen vor (Bild 11.60). Jedes Mal, wenn ein Gasteilchen auf eine Wand trifft, wird es reflektiert und überträgt Kraft auf diese Wand. Da ein Gas aus so vielen und so kleinen Teilchen besteht, können wir eine einzelne Kollision makroskopisch nicht beobachten. Die Summe all dieser Kollisionen erscheint uns als ein kontinuierlicher Druck auf die Gefäßwände.

Gehen wir von einem einatomigen Gas aus (alle Gasteilchen sind gleich), dann lautet der Zusammenhang:

\[ p = \frac{2}{3}\cdot\frac{N}{V}\cdot\left(\frac{m\cdot\overline{v^2}}{2}\right) \]

In dieser Gleichung steht

  • \(p\) für den makroskopisch messbaren Druck (Einheit \(\mathrm{Pa}\))
  • \(V\) für das makroskopisch messbare Volumen (Einheit \(\mathrm{m}^3\))
  • \(N\) für die Anzahl der Gasteilchen in dem Volumen (in Stück, also eine dimensionslose Größe)
  • \(m\) die Masse eines Gasteilchens (Einheit \(\mathrm{kg}\))
  • \(\overline{v^2}\) für das mittlere Geschwindigkeitsquadrat der Teilchen (Einheit \(\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2\))

Vielleicht wunderst du dich, das die Zwei in der Formel nicht gekürzt wurde. Das ist Absicht. So kannst du den Ausdruck für die mittlere kinetische Energie der Gasteilchen in der Formel erkennen.

Beachte: Die Ausdrücke \(\overline{v^2}\) und \(\overline{v}^2\) sind nicht dasselbe (11.11.2)!

Die Herleitung für diesen Zusammenhang findest du am Ende des Kapitels in Abschnitt 11.11.7.

11.11.2 Mittlere Geschwindigkeitsquadrat

Die Ausdrücke \(\overline{v^2}\) (also das mittlere Geschwindigkeitsquadrat, engl. average squared speed) und \(\overline{v}^2\) (also das Quadrat der mittleren Geschwindigkeit) sind nicht dasselbe!

Ein einfaches Zahlenbeispiel soll dir den Unterschied zeigen. Nehmen wir die Zahlenmenge \(\{1, 2, 3, 4\}\).

  • Bildest du davon den Mittelwert (\(\overline{v}=2{,}5\)) und anschließend das Quadrat erhältst du das Quadrat der mittleren Geschwindigkeit: \(\overline{v}^2=6{,}25\)

  • Bildest du zuerst die Quadrate (\(\{1, 4, 9, 16\}\)) und bildest davon den Mittelwert, erhältst du das mittlere Geschwindigkeitsquadrat: \(\overline{v^2}=7{,}5\)

Wie du an den Ergebnissen sehen kannst, liefern beide Ausdrücke im allgemeinen nicht denselben Wert!

11.11.3 Mittlere kinetische Energie und Temperatur

Mit dem Zusammenhang von mittlerer kinetische Energie der Gasteilchen und dem makroskopischen Druck (11.11.1) können wir einen Zusammenhang zwischen absoluter Temepratur \(T\) und der mittleren kinetischen Energie der Teilchen herstellen.

\[ \begin{aligned} p = {} & \frac{2}{3}\cdot\frac{N}{V}\cdot\left(\frac{m\cdot\overline{v^2}}{2}\right) \qquad\Bigr\rvert\cdot V\\ p\cdot V = {} & \frac{2}{3}\cdot N\cdot\left(\frac{m\cdot\overline{v^2}}{2}\right) \\ \end{aligned} \]

Für \(p\cdot V\) setzen wir das ideale Gasgesetz (11.10.5) in der Form \(p\cdot V=N\cdot k\cdot T\) ein und du erhältst den Zusammenhang

\[ T = \frac{2}{3\cdot k}\cdot\left(\frac{m\cdot\overline{v^2}}{2}\right) \]

In dieser Gleichung steht

  • \(T\) für die absolute Temperatur (Einheit \(\mathrm{K}\))
  • \(k\) für die Boltzmann-Konstante (\(1{,}4\cdot 10^{-23}\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\))
  • \(m\) die Masse eines Gasteilchens (Einheit \(\mathrm{kg}\))
  • \(\overline{v^2}\) für das mittlere Geschwindigkeitsquadrat der Teilchen (Einheit \(\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2\))
Die Temperatur misst die durchschnittliche kinetische Energie, der zufälligen translatorischen (geradlinigen) Bewegung der Moleküle in einem Gas.

Wie bei der Formel für den Druck (11.11.1) gilt auch hier: Die Zwei in der Formel wurde absichtlich nicht gekürzt, damit du die Formel für die mittlere kinetische Energie der Gasteilchen in der Formel erkennen kannst.

Beachte: Die Ausdrücke \(\overline{v^2}\) und \(\overline{v}^2\) sind nicht dasselbe (11.11.2)!

11.11.4 Temperatur und Innere Energie

Bisher wurde schon mehrmals erwähnt, dass die Temperatur ein Maß für die innere Energie ist. Für ein Gas wollen wir den Zusammenhang konkret zeigen. Die innere Energie ist die Summe aller Bewegungsenergien (11.3.3). Bei \(N\) Gasteilchen mit je einer mittlere kinetische Energie von \(m\cdot\overline{v^2}/2\) ergibt sich für die innere Energie \(U\) eines Gases der Ausdruck

\[ U = N\cdot \left(\frac{m\cdot\overline{v^2}}{2}\right) \]

Aus dem Zusammenhang zwischen mittlerer kinetischer Energie und Temperatur (11.11.3) erhalten wir einen Ausdruck für die mittlere kinetische Energie

\[ \begin{aligned} T = {} & \frac{2}{3\cdot k}\cdot\left(\frac{m\cdot\overline{v^2}}{2}\right)\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{3\cdot k}{2}\\ \frac{3}{2}\cdot k\cdot T = {} & \left(\frac{m\cdot\overline{v^2}}{2}\right)\\ \end{aligned} \]

Setzt du diesen Ausdruck in die Formel für die innere Energie ein, erhältst du

\[ U = \frac{3}{2}\cdot N\cdot k\cdot T \]

In dieser Gleichung steht

  • \(U\) für die innere Energie (Einheit \(\mathrm{J}\))
  • \(N\) für die Anzahl der Gasteilchen in dem Volumen (in Stück, also eine dimensionslose Größe)
  • \(k\) für die Boltzmann-Konstante (\(1{,}4\cdot 10^{-23}\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\))
  • \(T\) für die absolute Temperatur (Einheit \(\mathrm{K}\))

Du siehst also:

Die absolute Temperatur ist direkt proportional zur inneren Energie eines Gases.

11.11.5 Molekülgeschwindigkeit in einem idealen Gas

Wie groß ist die Geschwindigkeit eines Gasteilchens, dass eine mittlere kinetische Energie von \(m\cdot\overline{v^2}/2\) besitzt? Der Zusammenhang zwischen Temperatur und Innere Energie in einem Gas (11.11.4) liefert uns eine Antwort auf diese Frage.

\[ \begin{aligned} U = \left(\frac{m\cdot\overline{v^2}}{2}\right)\cdot N = {} & \frac{3}{2}\cdot N\cdot k\cdot T \qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{N} \\ \frac{m\cdot\overline{v^2}}{2} = {} & \frac{3}{2}\cdot k\cdot T \qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{2}{m} \\ \overline{v^2} = {} & \frac{3\cdot k\cdot T}{m} \qquad\Bigr\rvert \sqrt{(\ldots)} \\ \sqrt{\overline{v^2}} = {} & \sqrt{\frac{3\cdot k\cdot T}{m}} = v_{rms}\\ \end{aligned} \]

Dieser Wert hat die Dimension einer Geschwindigkeit. Diese Abschätzung für die Molekülgeschwindigkeit in einem Gas wird als quadratisch gemittelte Geschwindigkeit \(v_{rms}\) (engl. thermal speed) bezeichnet (die Abkürzung kommt von root mean square – der englischen Bezeichnung für das Quadratisches Mittel).

Vorsicht: die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit \(\sqrt{\overline{v^2}}\) unterscheidet sich von der mittleren Geschwindigkeit \(\overline{v}\) in einem Gas!

Aus der Gleichung kannst du erkennen:

  • Je größer die Temperatur, desto größer die Geschwindigkeit

  • Je kleiner die Masse der Moleküle, desto größer die Geschwindigkeit (bei gleicher Temperatur)

In der Wikipedia findest du konkrete Werte für die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit einiger Gase bei Raumtemperatur. Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit von Luft bei \(20\;^\circ\mathrm{C}\) (\(293{,}15\;\mathrm{K}\)) liegt ist \(v_{rms}=464\;\mathrm{m/s}\). Vergleichst du das Ergebnis mit der Animation 11.60 am Anfang des Kapitels, wirst du feststellen, dass diese stark untertrieben sind. Die Geschwindigkeiten in einem Gas sind rund \(10{.}000\) Mal schneller als in der Animation dargestellt!

Interessanterweise ist diese Geschwindigkeit in der Größenordnung der Schallgeschwindigkeit in Luft bei Raumtemperatur von rund \(340\;\mathrm{m/s}\). Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit liefert eine ungefähre Obergrenze für die maximale Geschwindigkeit mit der Informationen durch Druckschwankungen übertragen werden können – in unserem Fall durch Schall in Luft.

11.11.6 Geschwindigkeitsverteilung in einem idealen Gas

In allen Abschnitten dieses Kapitels haben wir immer nur Aussagen über durchschnittliche Werte erhalten. So liefert uns die Formel für die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit (11.11.5) zum Beispiel einen Eindruck wie schnell sich Moleküle in einem Gas ungefähr bewegen. Aber sind die Geschwindigkeiten der Gasmoleküle alle fast gleich groß oder über einen weiten Geschwindigkeitbereich verteilt?

Die Antwort darauf gibt uns, die nach James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann benannte, Maxwell-Boltzmann Verteilung (engl. Maxwell-Boltzmann distribution) für die Molekülgeschwindigkeit in einem Gas. In Bild 11.61 siehst du die konkreten Verteilungen für unterschiedliche Temperaturen.

Maxwell-Boltzmann Geschwindigkeitsverteilung

Bild 11.61: Maxwell-Boltzmann Geschwindigkeitsverteilung

Im Gegensatz zu anderen Verteilungsfunktionen (wie zum Beispiel der Normalverteilung), ist die Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten nicht symmetrisch. Während die kleinste mögliche Geschwindigkeit Null ist (also nach unten begrenzt ist), kann die Geschwindigkeit beliebig groß werden. Diese Asymmetrie in der Verteilungskurve bewirkt, dass die häufigste vorkommende Geschwindigkeit in einem Gas (beim Maximum der Verteilungskurve, Punkt 1) immer kleiner als die durchschnittliche Molekülgeschwindigkeit \(\overline{v}\) (Punkt 2) ist. Punkt 3 in Bild 11.61 zeigt die Lage der quadratisch gemittelte Geschwindigkeit \(v_{rms}\) (11.11.5).

Steigt die Temperatur, wird die Kurve immer breiter und niedriger. Die Geschwindigkeit der Gasteilchen verteilt sich auf einen immer größeren Geschwindigkeitbereich, aber die Anzahl der Teilchen bleibt unverändert. Daher ist der Flächeninhalt unter allen Kurven eines Gases immer gleich groß.

Links:

11.11.7 Herleitung Zusammenhang von mittlerer kinetischer Energie und Druck

Für die Herleitung nehmen wir an, dass sich \(N\) gleiche Gasteilchen mit der Masse \(m\) in einem würfelförmigen Gasbehälter mit der Seitenlänge \(d\) befinden (Bild 11.62). Das Gasvolumen ist konstant mit einem Volumen \(V = d\cdot d\cdot d = d^3\).

Seitenfläche A eines würfelförmiges Gasvolumens

Bild 11.62: Seitenfläche A eines würfelförmiges Gasvolumens

Die Gasmoleküle bewegen sich in zufälliger (Raum-)Richtung. Im allgemeinen wird daher jeder Geschwindigkeitsvektor aus drei Geschwindigkeitskomponenten \(v_x\), \(v_y\) und \(v_z\) bestehen (Bild 11.63).

Geschwindigkeitsvektor und seine Komponenten

Bild 11.63: Geschwindigkeitsvektor und seine Komponenten

Zunächst betrachten wir nur den vollkommen elastischen Stoß (5.2.5) eines einzelnen Teilchens mit der Seitenwand \(A\) (Bild 11.62), die normal auf die \(x\)-Achsenrichtung an der Stelle \(x=0\) steht. Bei einer Kollision mit dieser Wand ändert sich nur die Geschwindigkeitskomponente \(v_x\) und somit der Impuls in \(x\)-Richtung. Der Impuls vor dem Stoß ist \(p_x=-m\cdot v_x\) (das Teilchen bewegt sich in negative x-Achsenrichtung auf die Wand zu) und nach dem Stoß \(p^\prime_x=m\cdot v_x\) (Bild 11.64).

Impulsänderung bei einem Zusammenstoß mit der Gefäßwand

Bild 11.64: Impulsänderung bei einem Zusammenstoß mit der Gefäßwand

Für die Impulsänderung erhältst du den Wert:

\[ \Delta p = p^\prime_x - p_x = m\cdot v_x - (-m\cdot v_x) = 2\cdot m\cdot v_x \]

Trifft ein Molekül auf die Wand übt es kurzfristig eine Kraft auf diese Wand aus, die dieser Impulsänderung (5.1.3) entspricht. Erst wenn das Molekül an anderen Wänden reflektiert wird, kehrt es zu dieser Wand zurück und übt erneut eine kurzfristig eine Kraft auf diese Wand aus (Bild 11.65, oben).

Äquivalenter Kraftstoß

Bild 11.65: Äquivalenter Kraftstoß

Für eine gleichwertige konstante Kraft \(F_A\) die auf die Wand \(A\) wirkt (Bild 11.65, unten) gilt

\[ F_A = \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{2\cdot m\cdot v_x}{\Delta t} \]

wobei die Zeit \(\Delta t\) die Zeit zwischen zwei aufeinander folgender Stöße mit derselben Wand ist. Nach einem Stoß muss das Molekül die Würfelseite \(d\) durchlaufen, an der gegenüber liegenden Wand reflektiert werden, wieder die Distanz \(d\) zurücklegen bevor sie auf die Wand \(A\) wieder auftrifft (Bild 11.66).

Teilchen zwischen zwei Gefäßwand A und B.

Bild 11.66: Teilchen zwischen zwei Gefäßwand A und B.

Gehen wir von einer konstanten Geschwindigkeit \(v_x\) (2.8.3) aus, erhältst du für die Zeit zwischen zwei Stößen mit der Wand \(A\):

\[ \Delta t = \frac{2\cdot d}{v_x} \]

Für die Kraft bedeutet das

\[ F_A = \frac{2\cdot m\cdot v_x}{\Delta t} = \frac{2\cdot m\cdot v_x}{\frac{2\cdot d}{v_x}} = \frac{m\cdot v^2_x}{d} \]

Um die Kraft auf die Seitenfläche \(A\) zu erhalten, die durch alle \(N\) gleichen Gasteilchen ausgeübt wird, bilden wir die Summe:

\[ \begin{aligned} F_{A, ges} = {} & \frac{m\cdot v^2_{x,1}}{d} + \frac{m\cdot v^2_{x,2}}{d} + \ldots + \frac{m\cdot v^2_{x,N}}{d}\\ = {} & \frac{m}{d}\cdot (v^2_{x,1} + v^2_{x,2} + \ldots + v^2_{x,N})\\ \end{aligned} \]

Definieren wir das mittlere Geschwindigkeitsquadrat (Mittelwert der Geschwindigkeitsquadrate) als

\[ \overline{v_x^2} = \frac{v^2_{x,1} + v^2_{x,2} + \ldots + v^2_{x,N}}{N} \]

können wir die Kraft in der folgenden Form anschreiben:

\[ F_{A, ges} = \frac{m}{d}\cdot N\cdot \overline{v_x^2} \]

Bisher haben wir immer nur die \(x\)-Komponente der Geschwindigkeit berücksichtigt. Für das Quadrat des Geschwindigkeitsvektors eine beliebigen Moleküls gilt aber

\[ v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \]

Und für das mittlere Geschwindigkeitsquadrat

\[ \overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} \]

Jetzt kommt die Statistik ins Spiel. Wenn wir von der Voraussetzung ausgehen, dass die Geschwindigkeitsrichtungen der Moleküle zufällig verteilt sind, gibt es keine Vorzugsrichtung und jede Richtung ist gleich wahrscheinlich. Dann gilt für eine große Anzahl an Teilchen

\[ \overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} \]

und für das mittlere Geschwindigkeitsquadrat

\[ \begin{aligned} \overline{v^2} = {} & 3\cdot\overline{v_x^2}\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}\cdot\overline{v^2} = {} & \overline{v_x^2}\\ \end{aligned} \]

Damit können wir die Gesamtkraft auf die Seitenfläche \(A\) so anschreiben:

\[ F_{A, ges} = \frac{m}{d}\cdot N\cdot \overline{v_x^2} = \frac{m}{d}\cdot N\cdot \left(\frac{1}{3}\cdot\overline{v^2}\right) = \frac{1}{3}\cdot\frac{N}{d}\cdot m \cdot \overline{v^2} \]

Druck (3.6.1) ist als die Kraft pro Fläche definiert. Für den Druck auf die Seitenfläche \(A=d^2\) gilt

\[ p = \frac{F_{A, ges}}{d^2} = \frac{1}{3}\cdot\frac{N}{d^3}\cdot m \cdot \overline{v^2} = \frac{1}{3}\cdot\frac{N}{V}\cdot m \cdot \overline{v^2} = \frac{1}{3}\cdot\frac{N}{V}\cdot m \cdot \overline{v^2} \]

Erweitern wir den Ausdruck mit \(2/2\) erhalten wir den Zusammenhang von mittlerer kinetischer Energie und Druck aus Abschnitt 11.11.1:

\[ p = \frac{2}{3}\cdot\frac{N}{V}\cdot\left(\frac{m\cdot\overline{v^2}}{2}\right) \]

Aber haben wir nicht die anderen Seitenflächen vergessen? Berücksichtigen wir alle sechs Seitenflächen erhalten wir zwar die sechsfache Kraft aber die verteilt sich auch auf eine sechsfach so große Fläche und damit erhältst du wieder denselben Druck.