14.3 Thermisches Verhalten von Materie
Vielleicht hast du schon einmal einen so unmotivierten Knick in einer Pipeline wie in Bild 14.19 gesehen. Mussten die Rohre einer Einfahrt weichen?
Den Grund, warum alle großen Rohrsysteme solche Knicke haben und auf Rollen gelagert sind, erfährst du in diesem Kapitel.
14.3.1 Thermische Längsausdehnung
Wird ein Festkörper erwärmt, dehnt er sich aus. Entsprechend werden seine Länge, Oberfläche und sein Volumen größer. Der Grund dafür ist die immer stärker werdende Zitterbewegung der Atome und Moleküle um ihre Ruhelage.
Die Längsausdehnung kann nach der folgenden Formel berechnet werden:
| \[\begin{equation} \Delta \ell = \alpha \cdot \Delta T \cdot \ell_0 \tag{14.6} \end{equation}\] |
In dieser Formel steht \(\Delta T\) für die Temperaturänderung, \(\ell_0\) für die Länge vor der Temperaturänderung und \(\alpha\) für den materialabhängigen thermischen Längenausdehnungskoeffizient (engl. coefficient of linear thermal expansion). Die Werte für bestimmte Materialien kannst du in Tabellen nachschlagen.
\(\Delta \ell\) ist die Längenänderung – willst du die Gesamtlänge nach der Temperaturänderung wissen, musst du zur ursprünglich Länge \(\ell_0\) noch \(\Delta \ell\) addieren (Bild 14.20).
\[ \begin{aligned} \ell = {} & \ell_0 + \Delta \ell \\ = {} & \ell_0 + \alpha \cdot \Delta T \cdot \ell_0 \\ = {} & \ell_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T) \\ \end{aligned} \]
Wird der Körper abgekühlt, ist die Differenz \(\Delta T\) negativ und die Formel liefert korrekt eine verkürzte Länge.
Beachte: In dieser Formel kommt nur die Temperaturänderung vor. Es ist also egal, ob du die Anfangs- und Endtemperatur in Grad Celsius oder Kelvin einsetzt.
Links:
- Video: Demonstration der Kräfte durch Wärmeausdehnung (Bolzensprengversuch)
14.3.2 Thermische Flächenausdehnung
Mit der Formel für die Längenausdehnung lässt sich auch die Ausdehnung einer Fläche berechnen (unter der Annahme, dass sich der Körper in alle Richtungen gleich ausdehnt):
\[\begin{equation} \begin{aligned} A = {} & \ell\cdot\ell \\ = {} & \ell^2 &&\qquad\Bigr\rvert\ \ell = \ell_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T) \\ = {} & [\ell_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)]^2 \\ = {} & \ell_0^2 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)^2 &&\qquad\Bigr\rvert\ A_0=\ell_0\cdot\ell_0 \\ = {} & A_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)^2 \\ \end{aligned} \tag{14.7} \end{equation}\]
Beachte, dass sich die Fläche des Lochs in der Mitte der Platte (Bild 14.21) bei Erwärmung ebenfalls vergrößert, als wäre es mit dem Material der Platte gefüllt.
14.3.3 Thermische Volumenausdehnung
Mit der Formel für die Längenausdehnung lässt sich auch die Ausdehnung eines Volumens berechnen (unter der Annahme, dass sich der Körper in alle Richtungen gleich ausdehnt):
\[\begin{equation} \begin{aligned} V = {} & \ell\cdot\ell\cdot\ell \\ = {} & \ell^3 &&\qquad\Bigr\rvert\ \ell = \ell_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T) \\ = {} & [\ell_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)]^3 \\ = {} & \ell_0^3 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)^3 &&\qquad\Bigr\rvert\ V_0=\ell_0\cdot\ell_0\cdot\ell_0 \\ = {} & V_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)^3 \\ \end{aligned} \tag{14.8} \end{equation}\]
14.3.4 Thermischer Raumausdehnungskoeffizient
Ausmultiplizieren des Faktors in der Formel für die Volumenausdehnung (oder anwenden der binomischen Formeln) liefert den Ausdruck:
\[ (1 + \alpha \cdot \Delta T)^3 = 1 + 3 \cdot (\alpha \cdot \Delta T)^1 + 3 \cdot (\alpha \cdot \Delta T)^2 + 1 \cdot (\alpha \cdot \Delta T)^3 \]
Die Ausdehnungskoeffizienten \(\alpha\) von Festkörpern sind üblicherweise sehr klein (in der Größenordnung von einem Millionstel), daher sind die Faktoren mit \(\alpha^2\) und \(\alpha^3\) vernachlässigbar klein und wir erhalten in guter Näherung
\[ V = V_0 \cdot (1 + 3 \cdot \alpha \cdot \Delta T) \]
oder mit \(\gamma = 3\cdot\alpha\) dem
\[\begin{equation} V = V_0 \cdot (1 + \gamma \cdot \Delta T) \tag{14.9} \end{equation}\]
Der Faktor \(\gamma\) heißt Volumen- oder Raumausdehnungskoeffizient (engl. coefficient of volumetric expansion).
Im Gegensatz zu Festkörpern haben Flüssigkeiten keine klar definierte Form und nehmen jeweils die Form des Behälters an. Die lineare und flächenhafte Ausdehnung hat für Flüssigkeiten keine Bedeutung. Für die thermische Ausdehnung von Flüssigkeiten wird daher der Raumausdehnungskoeffizient verwendet. Seinen Wert für gängige Flüssigkeiten kannst du in Tabellen nachschlagen.
