11.9 Thermodynamisches Gleichgewicht und Mischtemperatur

In Bild 11.50 siehst du einen Becher aus einer thermochromatischen Beschichtung. Je nach Temperatur des Inhalts ändert sich die Aufschrift und die Farbe.

Thermochromatischer Becher

Bild 11.50: Thermochromatischer Becher

Du hast schon vom thermodynamischen Gleichgewicht (11.3.6) zweier Systeme erfahren und weißt auch schon, dass es sich in einer endlichen Zeit immer von alleine einstellt. In diesem Kapitel gehen wir der Frage nach wie und bei welcher Temperatur es sich einstellt.

11.9.1 Gleichgewichtstemperatur (Mischtemperatur)

Bringen wir zwei Systeme in thermischen Kontakt in dem wir zum Beispiel zwei Flüssigkeiten mischen (Bild 11.51), stellt sich immer ein thermodynamisches Gleichgewicht ein. Wie groß ist aber die Temperatur beider Systeme beim Erreichen des Gleichgewichts?

Mischtemperatur zweier Flüssigkeiten

Bild 11.51: Mischtemperatur zweier Flüssigkeiten

Diese Gleichgewichtstemperatur (Mischtemperatur) \(T_m\) kannst du mit der Richmannsche Mischungsregel (engl. Richmann’s calorimetric mixing formula) berechnen.

\[ T_{m} = \frac{m_{1}\cdot c_{1}\cdot T_{1} + m_{2}\cdot c_{2}\cdot T_{2}}{m_{1}\cdot c_{1} + m_{2}\cdot c_{2}} \]

In dieser Formel bedeuten die Größen \(m_1\), \(m_2\) die Massen, \(c_1\), \(c_2\) die spezifischen Wärmekapazitäten und \(T_1\), \(T_2\) die Temperaturen der beiden Systeme.

Beachte: Aus dieser Formel lässt sich ein konstanter Summand bei den Temperaturen herausheben. Es ist also egal, ob du bei dieser Formel die Temperaturen in Grad Celsius oder Kelvin einsetzt. Entsprechend erhältst du die Mischtemperatur in Grad Celsius oder Kelvin.

11.9.2 Herleitung der Richmannsche Mischungsregel

Im thermischen Kontakt tauschen beide Systeme innere Energie in Form von Wärme aus. Daher können wir die Energieerhaltung verwenden, um die Gleichgewichtstemperatur (Mischtemperatur) \(T_m\) zu berechnen.

\[ Q_{\text{abgegeben}} = Q_{\text{aufgenommen}} \]

Masse, spezifische Wärmekapazität und Temperatur für das erste System lauten \(m_1, c_1\) und \(T_1\). Die des zweiten Systems lauten \(m_2, c_2\) und \(T_2\). Wir wählen die Bezeichnung so, dass System eins die größere Temperatur hat, dann gilt: \(T_1 > T_m > T_2\). Dann können wir einsetzen in die Formel für die Wärme (11.8.1) und erhalten

\[ \begin{aligned} m_{2}\cdot c_{2}\cdot (T_{m}-T_{2}) = {} & m_{1}\cdot c_{1}\cdot (T_{1}-T_{m}) \\ m_{2}\cdot c_{2}\cdot T_{m} - m_{2}\cdot c_{2}\cdot T_{2} = {} & m_{1}\cdot c_{1}\cdot T_{1}-m_{1}\cdot c_{1}\cdot T_{m}\qquad\Bigr\rvert +m_{2}\cdot c_{2}\cdot T_{2}+m_{1}\cdot c_{1}\cdot T_{1}\\ m_{2}\cdot c_{2}\cdot T_{m} + m_{1}\cdot c_{1}\cdot T_{m} = {} & m_{1}\cdot c_{1}\cdot T_{1} + m_{2}\cdot c_{2}\cdot T_{2} \qquad\Bigr\rvert\; T_m \;\text{herausheben}\\ (m_{2}\cdot c_{2} + m_{1}\cdot c_{1})\cdot T_{m} = {} & m_{1}\cdot c_{1}\cdot T_{1} + m_{2}\cdot c_{2}\cdot T_{2} \qquad\Bigr\rvert\cdot\frac{1}{m_{2}\cdot c_{2} + m_{1}\cdot c_{1}} \\ T_{m} = {} & \frac{m_{1}\cdot c_{1}\cdot T_{1} + m_{2}\cdot c_{2}\cdot T_{2}}{m_{2}\cdot c_{2} + m_{1}\cdot c_{1}}\\ \end{aligned} \]

11.9.3 Erreichen der Gleichgewichtstemperatur

Du legst einen heißen Stein (rote Kurve) in ein Gefäß mit kaltem Wasser (blaue Kurve). Im Diagramm 11.52 siehst du den zeitlichen Verlauf der Temperaturänderung beider Systeme.

Temperatur-Zeit-Diagramm

Bild 11.52: Temperatur-Zeit-Diagramm

Wie du am Kurvenverlauf erkennen kannst, ist der Wärmestrom (und damit die Änderungsrate der Temperatur) umso größer, je größer die Temperaturdifferenz der beiden Systeme ist. Das Erreichen der Gleichgewichtstemperatur ist also ein asymptotischer Prozess.

Die Gesetzmäßigkeit, dass die Abkühlungskurve eine Körpers einer negativen Exponentialfunktion folgt, wird Newtonsches Abkühlungsgesetz (engl. Newton’s law of cooling) genannt.

11.9.4 Rechenbeispiel zur Mischtemperatur

Du füllst in einen Topf \(1\) Liter kochendes Wasser (\(100\;^{\circ}\mathrm{C}\)) aus dem Wasserkocher. Danach gibst du \(1{,}5\) Liter Leitungswasser (\(15\;^{\circ}\mathrm{C}\)) dazu. Berechne die Temperatur des Wassers im Topf.

Mischtemperatur zweier Flüssigkeiten mit gleicher spezifischer Wärmekapazität

Bild 11.53: Mischtemperatur zweier Flüssigkeiten mit gleicher spezifischer Wärmekapazität

Für die Lösung dieser Aufgabe können wir die Richmannsche Mischungsregel (11.9.1) verwenden. In unserem Fall haben beide Systeme dieselbe spezifische Wärmekapazität (\(c_{1}=c_{2}\)):

\[ \begin{aligned} T_{m} = {} & \frac{m_{1}\cdot c\cdot T_{1} + m_{2}\cdot c\cdot T_{2}}{m_{2}\cdot c + m_{1}\cdot c} \\ = {} & \frac{c\cdot(m_{1}\cdot T_{1} + m_{2}\cdot T_{2})}{c\cdot (m_{2} + m_{1})} \\ = {} & \frac{m_{1}\cdot T_{1} + m_{2}\cdot T_{2}}{m_{2}+ m_{1}} \\ \end{aligned} \]

Die Mischtemperatur ist in diesem Fall einfach das gewichtete Mittel der Anfangstemperaturen. Setzen wir die konkreten Werte in der Angabe ein erhalten wir:

\[ T_{m} = \frac{m_{1}\cdot T_{1} + m_{2}\cdot T_{2}}{m_{2}+ m_{1}} = \frac{1\;\mathrm{kg}\cdot 100\;^{\circ}\mathrm{C} + 1{,}5\;\mathrm{kg}\cdot 15\;^{\circ}\mathrm{C}}{1\;\mathrm{kg}+ 1{,}5\;\mathrm{kg}} =49\;^{\circ}\mathrm{C} \]

Nach dem Mischen hat das Wasser eine Temperatur von \(49\;^{\circ}\mathrm{C}\).