5.7.1 Anwendung: Schräger Stoß mit einer Wand

Für die Untersuchung eines Stoßes einer Kugel mit einer Wand zerlegen wir den Impulsvektor der Kugel in zwei Komponenten - eine normal zur Wand, die andere parallel zur Wand (Bild 5.37).

Bild 5.37: Schräger Stoß einer Kugel mit einer Wand

Durch diese kluge Wahl der Komponenten erhalten wir einen Teilimpuls, der vor und nach dem Stoß unverändert bleibt, es gilt:

\[ \vec{p}'_x = \vec{p}_x \]

Die y-Komponente des Impulses können wir jetzt wie einen eindimensionalen Stoß behandeln. Dabei handelt es sich um einen elastischen Stoß bei einer ruhenden, sehr großen zweiten Masse. Vom senkrechten Stoß mit einer Wand wissen wir bereits, dass sich in diesem Fall der Impuls vollständig umkehrt. Aus der Impulskomponente in y-Richtung wird:

\[ \vec{p}'_y = -\vec{p}_y \]

Da das Impulsdreieck bei diesem Vorgang nur gespiegelt wird, gilt insbesondere, dass die Winkel vor und nach dem Stoß mit der Wand gleich groß sind.

5.7.2 Anwendung: Schiefer Stoß zweier Billardkugeln

In Bild 5.38 siehst du eine Kugel, die sich mit der Geschwindigkeit \(\vec{v}\) auf eine ruhende Kugel zubewegt. Die Geschwindigkeitsrichtung ist so gewählt, dass es zu einem schiefen Stoß der beiden Kugeln kommt. Nach dem Stoß hat die ursprüngliche Kugel die Geschwindigkeitsrichtung \(\vec{v}_1\) und die zuvor ruhende Kugel die Geschwindigkeit \(\vec{v}_2\). Wir möchten einen Ausdruck für den Winkel \(\alpha\) zwischen den Kugeln nach dem Stoß finden. Wir gehen von einem elastischen Stoß aus.

Bild 5.38: Zwei Billardkugeln (a) vor und (b) nach dem Stoß.

Nach dem Impulserhaltungssatz muss die Vektorsumme aus den beiden Impulsvektoren nach dem Stoß gleich dem Impulsvektor vor dem Stoß sein (Bild 5.39):

\[ \begin{aligned} m\cdot \vec{v} = {} & m\cdot \vec{v}_1 + m\cdot \vec{v}_2 &&\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{m} \\ \vec{v} = {} & \vec{v}_1 + \vec{v}_2 \end{aligned} \]

Da alle Stoßpartner dieselbe Masse haben, muss diese Vektorsumme auch für die Geschwindigkeiten gelten. Die Längen der Geschwindigkeitsvektoren bilden ein Dreieck.

Bild 5.39: Vektorsumme der Geschwindigkeiten für zwei Billardkugeln

Wenden wir jetzt den Energieerhaltungssatz an. Für die kinetischen Energien gilt (Summe der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß gleich):

\[ \begin{aligned} \frac{m\cdot v^2}{2} = {} & \frac{m\cdot v^2_1}{2} + \frac{m\cdot v^2_2}{2} &&\qquad\Bigr\rvert\cdot \frac{2}{m} \\ v^2 = {} & v^2_1 + v^2_2 \\ \end{aligned} \]

Die Seiten des Dreiecks in Bild 5.39 erfüllen den Satz des Pythagoras, der nur für rechtwinkelige Dreiecke gilt. Da die Katheten in diesem Dreieck den Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) nach dem Stoß entsprechen, bilden diese einen \(90^\circ\) Winkel.

Unabhängig davon, unter welchem Winkel eine ruhende Kugel getroffen wird, ist der Winkel zwischen beiden Stoßpartnern nach dem Stoß – unter der Voraussetzung gleich großer Massen – immer \(90^\circ\). Dieses erstaunliche Ergebnis kannst du leicht auf jedem Billardtisch selbst im Experiment bestätigen.

5.7.3 Massenmittelpunkt bei elastischen Stößen

Betrachten wir den Massenmittelpunkt bei elastischen Stößen (Bild 5.40), stellen wir etwas Interessantes fest: Der Bewegungszustand des Massenmittelpunktes vor und nach dem Stoß ist immer gleich.

Bild 5.40: Bewegung des Massenmittelpunkts für elastischen Stöße bei unterschiedliche Massenverhältnissen

5.7.4 Impuls im Schwerpunktsystem

Die Größe des Impulses, ebenso wie die von Geschwindigkeit und kinetischer Energie, hängt von der Wahl des Bezugssystems ab. Die Formeln der Physik sind aber in allen Inertialsystemen gültig, und wir haben die freie Wahl, welches davon wir verwenden. Im Abschnitt Massenmittelpunkt bei elastischen Stößen hast du gesehen, dass die Geschwindigkeit des Gesamtschwerpunkts aller Massen vor und nach dem Stoß immer gleich groß ist. Bei der Betrachtung von Stoßvorgängen wird oft das Schwerpunktsystem (engl. center-of-momentum frame (COM frame)) – Inertialsystem, in dem der Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) ruht – für die Beschreibung verwendet.

Bild 5.41: Vollkommen elastischer zentrischer Stoß zweier Billardkugeln (a) im Bezugssystem des Billardtisches (b) im Schwerpunktsystem

Die Vorteile des Schwerpunktsystems sind:

• Der Gesamtimpuls ist zu allen Zeiten null:

\[ p_\text{ges} = p_\text{ges}^\prime = 0 \]

• Bei elastischen Stößen ist die Bewegung der am Stoß beteiligten Körper vor und nach dem Stoß spiegelbildlich (Bild 5.41).

• Da die kinetische Energie des Schwerpunkts wegfällt, vereinfachen sich im Allgemeinen die Energiebeiträge.

• Um den Streuwinkel für einen Stoß zweier Körper zu erhalten, muss im Schwerpunktsystem nur die Drehung des Impulsvektors einer der beiden Körper berechnet werden.